高考数学百大经典例题-绝对值不等式

1、典型例题一绝对值不等式例1解不等式x+1 |2x3 -2分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念a=3a(a*0)，将不等式中-a(a0)的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解.去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论.3解：令 x +1 =0 ,， x = -1,令 2x -3 = 0 ,，x =，如图所示.2(1)当xW1时原不等式化为 (x+1)(2x3)2 x A 2与条件矛盾，无解.一3(2)当1 x -(2x -3) -2 .23 x A 0 ,故 0 x 时，原不等式化为23x+1

2、2x-3-2 .，x 6 ,故 x6.2综上，原不等式的解为 0 :二x :二6:.说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这 样做条理分明、不重不漏.典型例题二例2求使不等式x-4 + x-3a有解的a的取值范围.分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简 便.解法一：将数轴分为(-叫33,4,(4，收)三个区间 TOC o 1-5 h z 7 - a7 - a当x3时，原不等式变为(4 一x)+(3 -x) 有解的条件为 1 ；当 3 MxM4时，得(4 -x) +(x3) 1 ；a ：；,7a ：:. 7.当x 4时，得（

3、x 4）+（x 3） M a,即x4 - a 1 .22以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为 a1 .P A B1，解法二：设数x, 3, 4在数轴上对应的点分别为P, A, B,如图，由绝对值的几何定义，原不等式PA +|PB 1 时，x4+x3a 有解.典型例题三例 3 已知 x -a -,0 |y -b 弟，y w (0, M),求证 xy-ab s . 2 M2 a分析：根据条件凑x -a, y -b .证明： xy-ab =xy-ya ya-ab+ a2M2|a|y(x a) +a(y b) | y x -a +|a| y -b |a - b1a分析：使用分析

4、法22证明i a 0，只需证明a2 -b2至a - a|b ,两边同除b ,即只需证明b2 一仃-1/）当亘之1时,b当月1时,ba 2a 2、 a 2(-)-1 =(一) -1(-)bbb-b 0,原不等式显然成立.，原不等式成立.说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法.本例也可以一开始就用定理:a(1)如果b1.则a - b 0 ,原不等式显然成立. TOC o 1-5 h z .一 bb(2)如果 l -b ,利用不等式的传递性知aa|原不等式也成立.典型例题五小 “十 a +baIbl例 5 求证! 十LL .1 +|a+b| 1 +|a| 1 +|b|分析：本题的证法很多， 下面给出

5、一种证法： 比较要证明的不等式左右两边的形式完全 相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.x 1x7/1证明：设 f (x) =1 -.1 x 1 x 1 x定义域为 x x w R ,且x # 1 , f (x)分别在区间 y , -1),区间(1,十8)上是增函数.又 0 平 +b |a +|b ,f (a +b) W f (a + b)a +b|a| +|b|a|b|忖 H即=1, 十1 ； , 0 ,.a +b|a| +|b|1al1bl1al|b, , 士=T三:T.1+a+b 1 +|a +b| 1+|a+b| 1+|a+b|1 +|a| 1Hbi错误在不能保证1 +

6、 a +b|之1 + a , 1 +|a+b之1 + b .绝对值不等式 a b a + b在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活. 放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构.典型例题六例6关于实数x的不等式x2(a 1)2(a _1)2 与 x2 -3(a +1)x +2(3a +1) 0 (aw R)2的解集依次为 A与B ,求使A = B的a的取值范围.解：解不等式_ (a_1)22(a-1)2一 ?2(a-1)2(a 1)2 (a-1)2x 一-222，A = 4 2a x a2 +1, a = R解不等式 x2 -3(a+1)x+2(3a +1)0

7、, x-(3a+1)(x-2) 0 .-1 .当a a时(即3a +1 a2时)，得B =x3-1 . 一当 a E时(即 3a +1 M2时)，得 B =，x3.1当a a-时，要满足 3a =1 .所以a的取值范围是八c ，12MxM 3a 1, a33a+1x2,a. ，32a 2,AB ,必须0故1 EaE3;a2 +1 3a +1, 2a2 +1;a 1,-1an时，求证：am -an -.2n分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式a1 +a2 +an nsin(n +2)a 22sin(n+1)a sin(n+2)a sin ma a

8、m -an =2+22+ + 2m-sin(n 1)a（1 - ？m）11 -22 n 11十 一 十2m1111声)T-严 1) -1为公比，共有2m -n项的等比数列r 1111,、，.，说明：匕+是以1A为首项，以 2 n 2n 22m 2n 1的和，误认为共有 m -n -1项是常见错误.正余弦函数的值域，即 sin q 1, cosod 1 ,是解本题的关键.本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目.如果将本题中 的正弦改为余弦，不等式同样成立.典型例题八例 8 已知 f (x)=x2 -x+13, x-a 1 ,求证：|f(x) f

9、(a) 2(a +1)分析：本题中给定函数 f(x)和条件|x-a 1 ,注意到要证的式子右边不含 x,因此对 条件x-a 1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a-1xa+1,替出x; (3)用绝对值的性质 x -a |x-a 1= |x |a +1进行替换.证明：= f (x) =x2 -x+13 ,f (a) =a2-a+13 ,x -a 1, l- x-a |x -a 1 .x a +1,f (x) - f (a) = x2 -a2 +a -x=(x -a)(x a) -(x-a)=|(x -a)(x +a -1)=x a x +a -1|x +a -1 |x +|a

10、+1 |a +1 +|a +1 =2(a +1),：2（a说明：这是绝对值和函数的综合题,这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用.分析中对条件x-a 3 +x 2 +xA. x 0 cx 2C. 1x 0 cx 46)。0cx2.5D. x 0 x 七4 ,知3 + x 2 +x舒0-3 x 3 ,又x A0 ,0 x 3 ,解原不等式组实为解不等式3 -x3 x2 二x 2-x(0 x(3 + x)2(2-x)2 .(x2 -x -6)2 (x2 +x -6)2 , 即(x2 x - 6 +x2 +x -6)(x2 - x- 6-x2-x+6)0,1- x(6 -x2)

11、0 ,又 0 cx 3 .2 2x2 -6 00 x 300 , 可分成两种情况讨论：（1）当0 cxM2时，不等式组化为 32 （02时，不等式组可化为 3口 2二（x 2 ）,3 x 2 x解得 2 x V6 .综合（1）、（2）得，原不等式组的解为 0 x0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意， 只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方.另种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号.当然本题还可用特殊值排除法求解.典型例题十例 10 设二次函数 f (x) =ax2 +bx+c( a0 ,且 b#0),已知 b a , f(0) 0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从xM1且f(1)M1, f(1) 15 知，要求证的是|f(x) -,所以抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴上方.因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在.证明：2b =(a+b+c) (ab+c)|a +b +c +|a -b + c=f(1) + f (-1) 1 +1=2 ,b 1 .又 b a ,b2a121 又 |c = f(0)W1, f (焉)4ac -b24a fT)=cb24aEcb24aI；而f(x)的图像为开口向上