概率论与数理统计概率统计chapt7

1、一、矩估计法第二节 点估计的求法 二、极大似然估计法一. 矩估计法理论依据：记总体k阶矩为样本k阶矩为 （辛钦大数定律及其推论）则样本 k 阶矩 依概率收敛于总体 k 阶矩 . 方法：出待估参数.用样本 k 阶矩估计总体 k 阶矩 建立含有待估参数的方程, 从而解样本 X1, X2, Xn的前 k 阶矩记为步骤：设总体的分布函数的形式已知，待估参数为总体的前 k 阶矩存在.（1）求出总体的前 k 阶矩，一般是这 k 个参数的函函数,记为：7-12（3）解此方程组 , 得 k 个统计量： 称为未知参数 1, ,k 的矩估计量这是含未知参数 1,2, ,k 的k个方程构成的方程组，（2）令7-12

2、代入样本值，得 k 个数:称为未知参数 1, ,k 的矩估计值例1.设总体 X B( m, p), 其中p 未知， X1, X2, Xn为总体的样本, 求p 的矩估计量.解：令7-13得总体矩样本矩例2.设总体X的概率密度为解：X1， ， Xn为样本，求参数 的矩估计.令得总体矩样本矩 例3.设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本其中0, 求，的矩估计.解:令解得用样本矩估计总体矩由课文本节例1知：不论总体为何分布，总体均值的矩估计量总是总体方差的矩估计量总是例4.设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050, 1100, 1080, 1120, 120

3、0，1250, 1040, 1130, 1300, 1200，试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解：7-14 二、 极大似然估计法 即：在一次试验中，概率最大的事件最有可能发生.引例: 有两个外形相同的箱子,各装100个球，一箱中取得的球是白球.问: 所取的球来自哪一箱？答: 第一箱.中有99个白球1个红球，一箱中有1个白球99个红球。现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所 一般说，若事件A发生的概率与参数有关， 取值不同，P(A)也不同。则应记事件A发生的概率为P(A| ).若一次试验，事件A发生了，可认为此时的 值应是在中使P(A| ) 达到最大的那一个。这

4、就是极大似然原理.（极大似然原理）极大似然估计法的理论依据：X1,X2,Xn是取自总体X的样本，x1 , x2 , xn是样本值.则样本的联合分布律为：似然函数：其中为未知待估参数，1. X是离散型总体，其分布律为: 记2. X是连续型总体，其概率密度为 为其样本的似然函数.则称称为样本的似然函数.似然函数的值的大小实质上反映的是该样本值出现的可能性大小.极大似然估计的方法：对于给定的样本值x1 , x2 , ,xn ，选取使得其似然函数达到最大值。即求使得7-22称为未知参数 1, ,k 的极大似然估计值这样得到的估计值对应的统计量称为未知参数1,k 的 极大似然估计量(1) 由总体分布和所

5、给样本，求得似然函数步骤：(2) 求似然函数的对数函数函数（化积商为和差，而和同时取得最大值）(3) 解方程组LLLLLLL7-12 (4) 得未知参数1, ,k的极大似然估计值及其对应的极大似然估计量7-12 若待估参数只有一个，则似然函数是一元函数L()，此时，只须将上述步骤中求偏导改为求导即可。说明：例5. 设总体X 服从参数为的泊松分布，求参数的极大似然估计量解：的样本，样本观察值为由X 服从泊松分布，得X的分布律为为从总体X中随机抽取设似然函数为两边取对数，得=0得对求导，并令其为0，所以参数的极大似然估计量为：，其中 0总体X 的样本值，求参数的极大似然估计值.例6. 设总体X的概

6、率密度为为待估参数，a0是已知常数，是取自解: 两边取对数，得对求导,并令其为0，得这就是的极大似然估计值. 其中 是未知参数，3，1，3，0，3，1，2，3，是来自总体X的样本观察值,求参数的极大似然估计值.例7. 设总体X的分布律解：两边取对数，得对求导，并令其为0，=0得和因为不合题意，所以的极大似然估计值为 1.可证明极大似然估计具有下述性质： 设的函数g=g()是 上的实值函数,且有唯一反函数 . 如果 是的极大似然估计，则g( )也是g( )的极大似然估计.关于极大似然估计的两点说明：此性质称为极大似然估计的不变性例8. 设X1 X2 ， ，Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，a

7、0为一给定实数。求p=PXa的极大似然估计解：概率密度和分布函数分别为由总体X服从参数为的指数分布知， X 的两边取对数，得对求导，并令其为0，得的极大似然估计值为 因为所以，p=PXa的极大似然估计值为2、当似然函数不是可微函数时，须用极大似然原理来求待估参数的极大似然估计.例9. 设 X U (a,b), x1, x2, xn 是 X 的一个样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大似然估计量.解：由X U (a,b)知，X 的密度函数为似然函数为似然函数只有当 a xi b, i = 1,2, n 时才能获得最大值, 且 a 越大, b 越小, L（a，b） 越大.令xmin = min x1, x2, xnxmax = max x1, x2, xn取则对满足的一切 a b , 都有故是 a , b 的极大似然估计值.分别是 a , b 的极大似然估计量.，其中为待估参数，是取自总体X 的样本值，例10. 设总体X的概率密度为的矩估计值和极大似然估计值. 求参数解：令得的矩估计值：（1）矩估计