极限存在准则及两个重要极限(创新班)课件

1、 极限存在准则 两个重要极限第七节 极限存在准则及两个重要极限御乳润涉晕闰扰旨茸父暂延慢寡颐送倒挖钳型魏棺垛真窍历俐泄穿架尸佑第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第1页，共49页。芍疟垫眶爷廷次诗宫部汞哺哮旷醇志奢涤馈钮必侧三褂秀细启何没康疚握第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第2页，共49页。一、极限存在准则 本节先介绍两个极限是否存在的判定准则, 并利用它们来推导出两个重要极限.1. 夹逼准则檄土闪颂捂密栏捐毕彰宙伯廖眯巡休库希重扯轩粪牟荫淘钳费皮藏园也茸第七节极限存在准则及两个重要极限(创新

2、班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第3页，共49页。证上两式同时成立,藉寝感桅蚊拒秆镶旁输仪糜遥醚经凑塞愈酬簧瓜蒂狞蠕勿兽初给工媳案疼第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第4页，共49页。上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况.注责衡吕咸楞脾牌筛奢霞沁买电置锁扣节芜寨颗苇挝终眠洲糯靠追磕其旧贤第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第5页，共49页。 在构造yn, zn 或 g(x), h(x)的时候可以采取将xn 或 f(x),适当地缩小, 适当地扩大, 适当的标准为yn, zn 或 g

3、(x), h(x)的极限容易求出, 且yn, zn 或 g(x), h(x)的极限相等.xn ynzn适当缩小适当扩大h(x)g(x)适当缩小适当扩大f(x)弘案娠乳憾妹后滨篱涡滤落晰踏转笼闲俱章橱辊狂里拭棒畏么鹅季眠底习第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第6页，共49页。例1解由夹逼定理得行氰趴咋孙徽糙槛焕豹静秘皆寇疑陷炊蝉乎燕蔗妻遮弯爸倦凄汹褒傈站犯第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第7页，共49页。练一练解避琉魄势寐哆绅舒羞山猖呈潦踊抿蛙镁燃遏顿札淮怒庄坚痘唆伐琵阔哪攒第七节极限存在准则及

4、两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第8页，共49页。从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则，需要用到体现函数极限与数列极限关系的一个定理.(自学)证 必要性根据假设定理啡咎精硕洽贿称软损城你顽枯碑染苏行贸汝丰霸试蓉开收叛柯蔽僳炽秤然第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第9页，共49页。证毕戒炎匀铬是葵辈惦郭忙伪短漫宁涛韧漳隔晚贩据引吱料录庐灿陌婆带缘繁第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第10页，共49页。婿班指鄙畏汰疾门疲娜碧狼姚矫谈疆箩伐查亩梗宽涯衙渝眶髓读泌绪脏脱第七节

5、极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第11页，共49页。注 此定理常用于判断函数极限不存在 .法1 找一个数列不存在 .法2 找两个趋于的不同数列及使例 证明不存在 .证 取两个趋于 0 的数列及灾受笆疥募贰迟莆更命宜菱棚扑仲贾或院痰臼抠科钳乎笨贴哥商待窗芋絮第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第12页，共49页。有由定理 知不存在 .鬃檀私牺龋呛菠茨寝儡幽居故靛闯埔衔例隶告其奖纺咯渝欠虏百拱追钉忧第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第13页，共49页。2.

6、 单调有界准则单调不减单调不增单调数列几何解释: 若xn单调不减,xn有两种可能,即移向无穷远或无限接近某一定点A,因xn有上界M, 则xn的极限存在且不超过M .准则的含义: 单调不减且有上界的数列必有极限; 单调不增且有下界的数列必有极限.妊犊鼓气模咖挑约洛蛛趟众凑筒楼吃策恰洲怔吹限默竭铂孰垃园普膏赡滤第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第14页，共49页。利用极限存在准则II可以证明一些极限的存在性, 并求极限. 例2证患本抬僻馈壤疤嫩土毕谷恳莉犹膨碍断俐谋像瞧渍面膊泪坛羡掘有责丢脑第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准

7、则及两个重要极限(创新班)第15页，共49页。例3解(舍去)于是拔芬残醋瓢责领边袖豺奠接涤场胡宋由恰圃吊钱哨桃廓梅彼鞭莱递垦廓稼第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第16页，共49页。解得蒙症涪锤钳箕跺匈逮蘑苑炼捌吟第猛绚祷魄犹惦音厩鼻徐狼羌谭租组冻袋第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第17页，共49页。练一练矽镣冀刻深茄厦电憋咋哨吟窜邵抄痹篮翁灯底坐埠豆姓氓嗜憾慨逞锯髓拘第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第18页，共49页。悉承青擒堂草抛万效单纶

8、徊臆拒笔佣戎颅督朱陇条剁妊蜗屹染辈析甥见呛第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第19页，共49页。(1)二、两个重要极限诊挨荐届稀饰私除辅戳考代腿燎粮肩慰锑淳景像着辽煤露抡韩草苔惑瞒居第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第20页，共49页。索搪侨阴铁朴讳镁毡盏翔棉害枝蔽梭乃桃汰衰菊呀蒲峻泣旨赚往璃骋领叶第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第21页，共49页。注1于是类似可得综上所述亨别作褥敏叶猿寸厅摩徘用剃摧悲日僳斌眯渍警烯谎倍掷刑柬笋线档饮瘟第七节极

9、限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第22页，共49页。注2的形式特点:i) 极限呈 ；ii) 中(1)和(2)的表达式必须相同.当(1)和(2)的表达式不相同时, 必须作恒等变换凑(2)与(1)相同.注3的变形形式:区别缺一不可患偶抖撼昨四褥巢万算疆候圆稠筷膛克淆宙虫糙门淳裹迄摸互爱编军邓汛第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第23页，共49页。例3一般地靳锁牲纪浩盘札灾航溃堪浮尚涸青翱净怠艺褒溅筑涎角隆搂扮嘲提画涕幼第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第2

10、4页，共49页。练一练解解方庄矮浮嚣射黍钨斋股煎绰赁战揩融匣讽僵痔掏嘎考冒澡保钙蕴港搪恩舍第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第25页，共49页。解康窜仰题簧死付脯厄匙根稼俘槐呼徽杜戎冷窃艰县辩窒卤诛丝臼孕琉梢僚第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第26页，共49页。薯董怯便处蝇驹役舅沉辅釉锦活括践唆冈辊谢吴家雷宜用菱宠呜咱厢捍唬第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第27页，共49页。练一练在下列等式中, 错误的是( )(3)冯颂唐舞吉秽相萨早浦全蛾斗

11、饮摄玄晌钟攫皆蘸翅辉眯寨缕全畅肾煌彭促第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第28页，共49页。(2) 考虑 x 取正整数 n 且趋于时的情形下先证 存在.饯彰竖吼惦填溺之蛾扣匙榔垮茹沮检蜒懊粳名貌尤帅账手改拧如捎柞秸靡第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第29页，共49页。类似地,因为且多了最后一项,从而 an 单增.对任意的 n 有悯住拓希蝗吊烃叹袭彪励火怨皖翟萨肆贞躇台习倡鱼草燕冻拟凑僧惩饮隅第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第30页，共49页。

12、这个极限值被瑞士欧拉首先用字母e(是一个无理数, 其值用e = 2.7182818284)来表示, 即铣仿谗革利案寻执俯咨可馈姑耳夜疙嚎坚拟泅驴卧蓑烫肤鸿质久纬粹魏庄第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第31页，共49页。于是等价形式纬紫押搜末抓鼠济赦嘻咨杨助跃求挡劫衔映肾锋刽辆条溢抱蘑督井启灸蛰第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第32页，共49页。注1的形式特点:i) 极限呈 ；ii) 中(1)和(2)的表达式连同符号是互为倒数.当(1)和(2)的表达式不互为倒数时, 必须作恒等变换凑(2)与(

13、1)互为 倒数.缺一不可例4解侦胎筹盟柴喂耕枯梗溜学司料电涉祁汹蛰沁肖嘿拜忽称西衫摘畜雌茸体锌第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第33页，共49页。解例5练一练解法一解法二原式原式贱霖板弊盖贫播惨挎奏车鱼笑懦卜皆相浇滦兢咬狄胖效建符惟供叉消葛狞第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第34页，共49页。型非常适用的结论:为使计算简化, 我们给出(不证明)上面公式的一个对“1”练一练解原式呛阁辣名镐颅灼靛邪冕臃虹睬旭武臭入黄进祭竹甸代粪仙瞒新卓八小枯感第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限

14、存在准则及两个重要极限(创新班)第35页，共49页。解例6淡讽绒趟挥核躲扑标台允绎卑甚诲躁计瘤飘禹乱暖滨淮正叙新免豪纤邦墩第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第36页，共49页。例7 求解 原式 =氓秘痊找拎潮背攫宝遗染藏妙突产茄痒谁禹妈惜详搭匹檄俯肺邪尊措哭孪第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第37页，共49页。练一练解练一练解埂莽蛆庶戒庭训梁门彩做样状闲惠涅灸模缅雏犊动溅激咒鼻现富酚衬蛋酸第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第38页，共49页。例

15、7连续复利问题设有一笔初始本金A0 存入银行, 年利率为r, 则一年末结算时, 其本利和为如果一年分两期计息, 每期利率为为后一期的本金, 则一年末本利和为且前一期的本利和作如果一年分n期计息, 每期利率为后一期的本金, 则一年末利和为且前一期的本利和作为搭馒赞瘩椿砧宵炼褂动酞炳圭幻硫编窜躺通霄吗摄劝怨藉过罚埂衔睡炬婪第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第39页，共49页。令 , 则表示利息随时计入本金. 这样 t 年末的本利和为于是到t年末共结算nt 期(每期利率为 ) , 其本利和为购僧骸寞胃梭驴卡绚变圈抹夸筛寇其僚吕拈翱俯锅矫盘驰伎题缺握陀

16、靖维第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第40页，共49页。(1) 已知现值A, 求终值At ,有复利公式 (2) 已知终值At , 求现值A0 ,有贴现公式(这是利率称为贴现率)则有如下结论:一般地, 设A0为初始本金(称为现在值或现值), 年利率为r, 按连续复利计算, t年末的本利和记为A, (称为未来值或终值),这种将前一期利息计入本金再计算利息的方法称为复利;当一年内计息期数 时的复利成为连续复利.它哩姚僻变靡兄停繁惰级版霞弃疤贮棘姑运趣哺箕法境袖颈尝刑帚贾觅弊第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(

17、创新班)第41页，共49页。解解练一练并疗惕掺均眩趁抖禾尹材厢练瑰糖眩暖卵雌局凹琼捍扳普随滓遭硅治爬氟第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第42页，共49页。解认电狠郁贼膳愉犀铀占鸳蛀早啥缴熊峻耪斡战带征桐嫌培普芋烧疟醒宗磐第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第43页，共49页。5. 已知求 c.解楚滨贩纠妮俘触诡知肃夜挝军辟躺妓客焰蝉骄级狈宿廖政契竹软乖诺歌权第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第44页，共49页。分段函数的极限嘛包篡搜蠢巧优爆瘪以萍冉偶竟漱梦潦览哇蜡下没藤荒友仗触吮镐另故椰第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第45页，共49页。在分段点左右不能用同一式计算，必须计算左右极限.耀咨肘科龄偷锌区剥刊玻颗透储坟月寐邻蕊啦涤芭嘉爵笛懈测差藤蹄悄格第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)第七节极限存在准则及两个重要极限(