自考线性代数第一章精讲课件

1、1一、二阶行列式的引入二、三阶行列式三、小结、思考题第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入3方程组的解为由方程组的四个系数确定.4 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即5主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式6789则二元线性方程组的解为注意 分母都为原方程组的系数行列式.10例1解11二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.12(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标13(2)对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号说明1 对角线法则只适用于二阶

2、与三阶行列式14 如果三元线性方程组的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.15若记或16记即1718得19得20则三元线性方程组的解为:21例 解按对角线法则，有22例3解方程左端23例4 解线性方程组解由于方程组的系数行列式24同理可得故方程组的解为:25 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结262 行列式的性质一、定义二、行列式的性质三、应用举例27一、定义行列式 称为行列式 的转置行列式. 记28二、行列式的性质性质1 行列式与

3、它的转置行列式相等.说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 互换行列式的两行 ,行列式变号.（列）性质229推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有 .82582532-=cc30性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.31推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零32性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如33性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以

4、同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变例如34三、应用举例 计算行列式常用方法 利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值例035 因为第一列与第二列对应元素成比例 根据性质3的推论2 得 解 36例2 计算阶行列式37解383940414243提示 给定行列式是n1阶行列式 将行列式的第一行加到第二行上 再将新的第二行加到第三行上 直到新的第n行加到第n1行上4445 a1(a1x)(a2x) (an2x)(an1x) 46 a1(a1x)(a2x) (an2x)(an1x) 即a1(a1x)(a2x) (an2x)(an1x)0 解之得x1a1 x2a2 xn

5、2an2 xn1an1是方程的n1个根 47计算行列式常用方法三、小结(1) 利用定义; (2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值483 行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行(列)展开法则49(一)行列式按某一行(列)展开 定义13(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1) ijMij50(一)行列式按某一行(列)展开 定义13(余子式与代数余子式) 在n

6、阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1) i jMij51(一)行列式按某一行(列)展开 定义13(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1) i jMij52(一)行列式按某一行(列)展开 定义13(余子式与代数余子式) 在n

7、阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1) i jMij53定理14(行列式按行(列)展开) n阶行列式D|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Dai1 Ai1ai2 Ai2 ain Ain ( i1 2 n )或 Da1j A1ja2j A2j anj Anj ( j1 2 n )定理15 n阶行列式D|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零 即 a

8、i1 As1ai2 As2 ain Asn0 ( is )或 a1j A1ta2j A2t anj Ant0 ( jt )54 (1)按第一行展开 解 1(8)0(2)518 (2)按第二列展开 01(3)3(1)531518 55 将D按第三列展开 则应有 Da13A13a23A23a33A33a43A43其中 a133 a231 a331 a430 解法一 所以 D3191(63)(1)180(10)2456说明 计算行列式时 可以先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素 再按此行(列)展开 变为低一阶的行列式 如此继续下去 直到化为三阶或二阶行列式 解法二 57 解法

9、二 585960(1)51x3 61(1)51x3 根据例4 有 一般地 有62范德蒙行列式 我们称n阶行列式为范德蒙行列式 63说明 是满足条件1ijn的所有因子(xjxi)的连乘积 64 用数学归纳法 证 所以n2时 范德蒙行列式结论成立 65 当n2时 范德蒙行列式结论成立 假设n1阶范德蒙行列式结论成立 证 66 当n2时 范德蒙行列式结论成立 假设n1阶范德蒙行列式结论成立 证 上面等号右边的行列式是n1阶范德蒙行列式 由归纳假设 它应等于所有(xjxi)的乘积 其中2ijn 所以有67 利用范德蒙行列式的结论 有 解 (21)(31)(41)(32)(42)(43) 12 68*(

10、二)行列式按某k行(列)展开 在n阶行列式D|aij|中 任意选定k行k列(1kn) 位于这些行和列交叉处的k2个元素 按原来顺序构成一个k阶行列式M 称为D 的一个k阶子式 划去这k行k列 余下的元素按原来的顺序构成一个nk阶行列式 在其前面冠以符号 称为M的代数余子式 其中i1 i2 ik为k阶子式M在D中的行标 j1 j2 jk 为M在D中的列标 k阶子式及其代数余子式 69定理16(拉普拉斯定理) 在n阶行列式中 任意取定k行k列(1kn1) 由这k行k列组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 按第一行和第二行展开 解 112011 704 克拉默法则一、非齐次与齐

11、次线性方程组的概念二、克拉默法则三、重要定理71设线性方程组则称此方程组为非 齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念72二、克拉默法则记其系数行列式为含有 n 个未知数 的 n 个线性方程的方程组73其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即当系数行列式 D0 时 , 线性方程组 (1) 有解，并且解是唯一的，解可以表为74例0 用克拉默则解方程组解7576例1 解线性方程组77三、重要定理定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的.定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.78四、齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组 一定是 (2) 的解，称为齐次线性方程组的零解.若一组不全为0的数是 (2) 的解，称为齐次线性方程组的非零解.79齐次线性方程组的相关定理定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解.定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零