2018年考研数学三真题与解析

1、2018年考研数学三真题及答案选择题1.下列函数中，在x0处不可导的是（）x sin xB.f xC.f xCosxD.f xcos、x答案:解析:方法Alimfx f0 x 0 xlimx 0 x sin xlim sin x 0,可导x 0 xf x f 0 limx 0 x包但limsin烟0,可导 x x 0 xf x f 0 limx 0 xcos|x| 1lim上0,可导limcosqx 0 x不存在，不可导f x f 0 limx 0 x应选D .方法二: 因为 f(x) cos x,f 0 1lim 2不存在 x 0 xf x f 0 cos |x 1 lim lim:x 0

2、xx 0 xf x在x 0处不可导，选D对A : f x Xsinx在x 0处可导_3对 B :f x ?x|gjjx|xp 在 x 0 处可导对C : f (x) cosx在x 0处可导.2.设函数1f x在0,1上二阶可导，且0fxdx。，则0时，fII0时，f答案D【解析】将函数f在:处展开可得f 11C.010 x 1221f x dx0f2f2dx2dx,故当fII(x)0 时，01f xdx1f.从而有f20.1 Jcosx dx ,则3.设M2x .一 2-dx, N x1 x ,-dx,K eA.M? NB.MK N.C. K M N.D. K N M .答案：C2解析：M 2

3、 2-dx2 1 2x2 dx 2 1dx, TOC o 1-5 h z 2 1 X21 X11 XX 1N 2Wdx，因为ex X 1所以012 ee1 - cosx2 1 cosx dX,1 cosx 1.X_ 1,即e所以由定积分的比较性质 K M N,应选C .4.设某产品的成本函数C Q可导，其中Q为产量，若产量为Qo时平均成本最小，则()AC Qo 0B C Q C Q0C.C Q0 Q0C Q0D . QoC QoC Qo答案DC Q dC Q C Q Q C Q 一【解析】平均成本c q Q,-QQ Q2-,由于Q dQQC Q在Q Q0处取最小值，可知Q0C Q00故选(D)

4、.5.下列矩阵中，与矩阵1 1 00 1 1相似的为0 0 1 TOC o 1-5 h z 1 11011001 1 0010101100101D.010001答案 : A解析:令 P1100100011100 1 0 则 P 10011Q P 1AP110 110100100100111010101001120110110011010011001001001选项为 A6.设AB为n阶矩阵，记r X为矩阵X的秩，XY表示分块矩,则A.r A?AB r AB.r A?BA r AC.r A?B max r A ,r BD.r AB? r AT BT答案 : A解析:易知选项C错对于选项B举反例：

5、取A 11B 0 01则 BA003,A,BA110011337. 设随机变量 X 的概率密度f x 满足2f 1 x f 1 x ，且 0 f x dx 0.6 ，(A)0.2 ;(B) 0.3 ;(C) 0.4 ;(D) 0.6 .f 1 x 知,概率密度f x关于x 1对称，故1 ,由于 P 0 X 2: f x dx 0.6 ,所以2P0.2 ,故选项A正确.8.X1，X2，K 为为取自于总体X : N , 2的简单随机样本，令Xi ,S1n1in一2(Xi X)S2n一 (Xi X), n i 1则下列选项正确的是.n X(A) S: t n ；(B)nX:t.n X(C)(D)X

6、-解 由于一 N 0，1n2(n 1)S22n(Xii 1X)22(n 1)J与也宴相互独立，由t分布的定义，得n X故选项B正确.填空题.曲线y x2 2ln x在其拐点处的切线方程为答案y 4x 3 TOC o 1-5 h z 224【解析】函数f x的定义域为0,y 2x -,y 2 ：,v 3xxx令=,解得x=1，而y1 0,故点（1,1）为曲线唯一的拐点。曲线在该点处切线的斜率y14,故切线方程为V 4x &. exarcsin 1e2x.答案 exarcsin / e2x. 1 e2x C,1 t2 C【解析】令t=ex,则tan sin、1 t2C原式二 arcsin 1 t2

7、dt tarcsin . 1 t2t arcsin .1 t2出. 1 t2_x2x _2xe arcsin . 1 e , 1 e.差分方程2yx yx 5的通解-x 1yxc 2【解析】由于2yx =yx =yx+iVxyx+2yx+i yx+i yxyx+22yx+iyx,故原差分方程可化为yx+2 2 yx+i=5，即yx+i 2yx 5。设一阶常系数线性差分方程对应的其次方程为yx+i 2yx 5,其通解为yx c 2x。设原差方程的特解y g,代入原方程得G-2ci=5，即q=6所以原差分方程的通解为yx c 2xi 5,c为任意常数。.函数 x 满足 x x x 2x x x x

8、 x 0 , J=L0 2,则 i _.答案 i2e.【解析】由x 2x x x x，可知 x可微，且x =2x x。这是一个可分离变量微分方程，求得其通解为xcex2;再由0 2,可得C 2。x2故 x 2e , i 2ei3.设A为3阶矩阵，i, 2, 3为线性无关的向量组，若23,可得2 00i, 2, 3 i i i i2i2 0=B，从而有相同的特征值。由于i, 2, 3线性无关，故A：1 ii 2故A的实特征值为214.设随机事件A,B,C相互独立，且-1P(A) P(B) P(C)-,则 P(AC A B) .解由条件概率以及事件相互独立性的定义，得P(AC A B)P AC A

9、 BP(A B)P AC P(A) P(B) P(AB) P A P CP(A) P(B) P(A) P(B) 1 1 2 2 J 11113.2 2 2 2三、解答题115.已知实数 a,b,满足 lim ax b ex x2,求a,b。x答案a 1,b 1 TOC o 1-5 h z 【解析】 令t = L可得lim a bt e一12,x t 0 ta bt et 1 aet 1taet 1其中 lim lim lim be lim bt 0ttot t 0tot-4SAt可知lim 2 b,而要使得lim存在,必须有a 1t 0 tt 0 taet 1此时，有 lim = 1=2 b,

10、故 b 1.t 0 t综上,a 1,b 1。16.设平面区域D由曲线yx2与直线y Qx及y轴围成。计算二重积分2 .x dy。D、.3 o答案豆2.之 31 x2 2【解析】10 d* 3x xdy 02x2.31x 2 3x dx2- 2 ：2-02 x 3 1 x dx 3x3dx,2其中对于02 x2，3 1 x ?dx,令x sint,可化为4 ”3sin2tcos2tdt 4 sin2 2td 2t 3 08 08 432.3-316324 3H 1 4而 xdx 4x综上I=息1632017.将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三 角形.三个图形的面积之和是否存在最

11、小值 ？若存在，求由最 小值.【解析】设分成的三段分别为x，y，z，则有x y z 12x + y 16及x，y，z0，圆 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark107 o Current Document 的面积为S1 2x2,正方形的面积为S2=1y2,正三角形的面积为S3=3z2,总面积为S=2x2 +,y2 + 3z2,4163641636则问题转化为在条件x y z 2，x，y，z0下，求函数-x2+1y2+43z2的最小值。令L=3 2+ z3641636则有L _ x x - 2_L= yy 8L .3=zz 18L=x y z为最小值，最小值为18

12、.已知cos2x答案2n 22n22 na2 n- 2n !2n【解析】cos2xn12 xa2na2n19.0，解得唯一条件极值点为03 +12+9 ,3,34,3 912n一1斗等cos2x与-2n1+x22 n2n !设数列并求nim xn.2x3,34., 3 9l 8吃，在该点的函数值即34%3 91834,3 9n anx2n2,nx 1，求 an.0,1,2,L ;/ n 2n1 2 2n2n !展成曷级数可得2,n0,1,2,L 。2n2x2n !Xn2n2n 12n满足:n1 :2n2n2n2x 2nx2,n0,1,2,L ;n1 22n !2n2n0,xnex11exn 1

13、证明：证明xn 0,易证,n0,1,2,L 。1,2,L .证明Xn收敛，再证Xn单减，由eeXn 1%aXno拉格朗日中值定理e exn0, xnXnXn 1Xn单减有下界，由此得limXXn存在Alim Xn A,则Ae 设n20.设实二次型f Xl，X2,X3X1X22X3X2 X3 2Xi aX3 2,其中 a是参数.(1)求 f Xi，X2，X30 的解；求f X1,X2,X3的规范形.解析：(1) f X1,X2,X3 TOC o 1-5 h z 由111A0 1110a0 而 X1 X2 X3 0X2 X30,X1 aX3 002得0 110 0 a 2当a 2时，r A 3,只

14、有零解X1X2X30.当a 2时,rA2,方程有无穷多解，通解为 X1X X2X3为任意常数.k 1 ,k1(2)由(1)知，当a 2时A可逆, TOC o 1-5 h z yi%X2X3令y2 x2 x3 ,即Y AX,则规范形为fyi2 yf y32,y3 X3当 a 2 时,r A 2,yi Xi X2 X32222i3 2令 y2x2x3 ，则 fyiV2yiV2 2yi- y2-y2,y3 X3一 iZi2 yi -y2令z23，则得规范形为f Z2Z2.Z3 y32i,已知a是常数，且矩阵ai 2 ai 3 0可经初等变换化为矩阵2 7a TOC o 1-5 h z ia2B0ii

15、iii求a；(2)求满足AP B的可逆矩阵P.解析：(i)Q A经过初等列变换化为Br A r B TOC o 1-5 h z i2 ai 2ai 2 aQ Ai300 ia0 i a27a033a0002rB 21 a 2 由 B 0 111 1 1 得 a=2.(2)令 PX1,X2,X3 ,Bb1,b2,b3AP A X1,X2,X3AX1,AX2,AX3b,b2,b3AXi bj=1 ,2,312AIB1 327122M 1220 12 M 111000M 0006AX1 b1的通解为X1=k1 216AX2 b2的通解为X2=k2 21 6AX3 b3的通解为X3=k3 233331

16、2122M1221012M 1111036M333106M3440 12 M 111000M0003 6kl312k11 ,(为任意常数0k146k2412k21 , k2为任意常数0k246k3412k3 1 , k3为任意常数0k36 kl 3 6k22kl 1 , 2k24 6k3 41 , 2k3 1 (其中k1,k2,k3为任意常数)k1k2k36k1 3 6k22k1 1 , 2k2k1k24 6k3 41 , 2k3 1 =k3k3k2当 k2k3时P1可逆，取可逆矩阵6k1 3 6k2 4 6k3 4P=2k1 1 , 2k2 1 , 2k3 1(k1为任意常数，k2k3),使得 AP=B.22.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为Y服从参数为的泊松分布XY求(1 ) Cov X,Z ；(2) z的概率分布.(1)由题意，知0,X21212 15X2E2于是,由协方差计算公式,CovX,ZCov X,XYX2YEX2 IY DEE2XYX随机变量ZXY的取值为0, 1,0一e 0!1,YI P120Y0一e 0!1,YX1,Y1Xk一e k!同理,P XP X1 k- e2 k!1,Y kP Y