高中数学：导数与函数的最大值、最小值教学设计

1、高中数学教案Senior high school mathematics teaching plan人教A版数学选修2-2第一章第2节教材分析本节在学习了用导数处理函数的单调性与极值的基础上， 利用导数的方法来 解决函数的最值问题，并利用导数的方法解决实际生活中的一些最优化问题。在 讲授本课内容时，要让学生体会导数在处理最值问题中的特点。 培养学生数形结 合的数学思想，函数与方程的思想，化归与转化的思想。学情分析函数的最大值、最小值问题在必修模块中已经有所涉及， 主要是在函数和不 等式等章节中体现。以前学习最值时要求比较低，学生掌握的方法比较局限。本 节内容在学生掌握了用导数求函数的单调性和极

2、值的基础上，用导数的方法来处理最值的问题，进一步处理一些实际生活中的最优化问题。 从学生的知识准备上 来讲，明确函数y f(x)在区间a,b上存在最值，且最值是函数在此区间上的 极值或者端点处的函数值。明确极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质， 由局部到整体，由旧的知识生发新的知识，从极值的概念自然过渡到最值的概念， 并总结出函数y f(x)在区间a,b上最值的求解步骤。基于学生的情况教师可 以通过具体的问题让学生观察、归纳，进而发现结果。在用导数的方法求最值时， 解方程、不等式也是本节的一个重要内容，应该引导学生养成良好的解题习惯。 教学目标分析1。知识与技能：(1)理解函数最值的概念

3、、最值与极值的关系；(2)掌握用导数的方法求函数的最值；(3)通过建立函数模型，掌握用求导的方法解决实际生活中的一些最优化 问题。2。过程与方法：(1)体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法， 培养学生观察、猜想、归纳、概括的能力；(2)从函数的图像出发，结合函数的单调性与函数的极值，发现函数y f (x)在区间a, b上的最值与函数在该区间上的极值及区间端点函数值的关系，从而用导数的方法解决最值问题。体现了数形结合思想，特殊与一般思想，函数与方程思想，化归 与转化思想。3。情感、态度、价值观(1)体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养学生用联系的观点看

4、问题，激发学生自主探究的精神；(2)让学生在用导数处理最值问题的过程中感悟数学的统一美，进一步培养 学生的学习兴趣。教学重点与难点教学重点：会用导数的方法求函数的最值；能用导数知识解决简单的实际生 活中的最优化问题。教学难点：极值与最值的区别与联系；实际问题的数学建模思想。教学方法启发式教学学法指导通过一系列的问题，让学生从已有的函数 y f(x)在区间a, b的极值(局 部性质)过渡到函数y f(x)在区间a,b的最值(整体性质)；同时让学生发现 极值与最值的联系与区别，得出求函数在闭区间上的最值的方法。 最后通过具体 的问题巩固知识，应用知识。使学生通过观察，归纳，猜想的方法，通过合情推理

5、，发现函数的最值的求 法。在学习过程中，培养学生的数形结合思想，特殊与一般思想，函数与方程思 想，化归与转化思想。教学流程设计问题引入在前面的学习中，我们学习了极值的概念，那么我们先看这样一个问题1 .问题1:如图，比较函数f (x) X 的极大值与极小值的大小，并谈谈你对X极值这一概念的理解。我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局 部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是 说，如果x0是f (x)的极大(小)值点，那么在点x0附近找不到比f(Xo)更大(或更小)的值。但是，在研 究函数性质或者解决实际问题时，我们往往更关心函数的整体性质，即函数在区 间上的最大值、最小值。抽象概括1

6、 .函数y f(x)在区间上的最值函数y f(x)在区间上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(xo)0其中f(xo)叫函数y f(x)在这个区间上的最大值;函数y f(x)在区间上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(xo)。其中f (xo)叫函数y f(x)在这个区间上的最小值。在其定义域内是否有最值?在区间1，2上呢？x问题2:函数f (x)3助 文件必 滴始规闻皿 ffiAd)格式 工县T 幻灯片触映 如玷门脚 窗口阳 帮助I凄人需专帮助的时题. 三 ；宋伟他口w 二一4 _j湛计3/大湖幻灯片11fcKnT1.#2芽5为极小点 位不

7、是极值点b J口 目icrosaft FoterPoint -演示文陶1 *上阳一匚 *二 一消受 苒匿工1，嘉4为极大点 rii Jbdjri fiTMdT1 -a5 1 1 ,6 11 ,7 a 1 Sx2 X5为极”“3不是极值,1函数的最大值和最小值统称为最值。实例分析例1、求函数y f (x) x3 3x2 10在区间2, 3上的最大值与最小值。选题意图：通过具体问题练习求导数的方法，老师示范让学生明确解题的规范，养成良好的习惯。解：先求导数f (x) 3x2 6x令 f (x) 3x2 6x 0 ,解得 x1 0, x2 2。当x变化时，f (x)及f (x)的变化情况如下表：x-

8、2(-2,0 )0(0, 2)3(2,3)3f (x)+0-0+f(x)-10/极大值10极小值6/10综上可知，当x 0或x 2时，函数取到最大值 10;当x 2时，函数取到最小值-10。变式1:求函数y f (x) x3 3x2 10在区间1, 3上的最大值与最小值。(有一个极值点在区间外)变式2:求函数y f(x)x3 3x2 10在区间3, 4上的最大值与最小值。(函数在区间上单调)抽象概括2,函数最值的求法：一般地，求函数y f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y f(x)在(a,b)内的极值；(2)将函数y f(x)的各极值与端点处的函数值求出导致以工)睇

9、方程f二0下结论，得出最管列表*比较数值求函数在区间上的最值的步骤f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值。及时巩固1、函数f (x) 12x X3在区间3,3上的最大值是 ；最小值是X /(2)当高为多少时，容器的容积最大？最大1yx容积是多少？选题意图：通过具体的问题，让学生有将具体问题抽象为数学问题的能力， 通过解决数学问题而完成实际问题的求解。解：(1)根据题意，V关于x的函数关系为V f (x) (48 2x)2x, 0 x 24(2) f (x) 12x2 384x 2304 12(x 8)(x 24)令 f (x) 0,得 x 8, x2 24 (舍

10、)当x变化时，f (x)及f (x)的变化情况如下表:x(0,8)8(8, 24)f (x)+0-f(x)/极大大8192V f (x)在x 8时取到最大值8192,即当小正方形的连长为8cm寸，得到的容器容积最大，最大容积为8192cm3(2)由(1)知函数V f(x)在x 8时取到最大值8192,即当小正方形的连最大容积为 8192cm3长为8cm寸，得到的容器容积最大,注：解决优化问题的思路为：课时小结知识要点：.函数y f (x)在区间a,b上的极值与最值的关系；(1) “最值”是整体概念，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，具有相 对性；(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值 可能不止一个，也可能没有一个；(3)极值只能在区间内部取得，而最