泛函分析基本概念

1、设X是一个非空集，K是复（或实）数域。如果下列条件满足，便称X为一复（或实）线 性空间（1）X是一加法交换群，即对任意的x,yG X,BU E X，记做=X + y称为x,y之和，适合（1.1）X + y = y + X（1.2）（ x + y） + z = x + （y + z）（1.3）3唯一的0 e X,对Vx e X,x+9 =9+ x（1.4）对Vx e X, 3x e X,使得尤 + x； =9，记x；为-x定义了数域K中的数i与x e X的数乘运算，即V （a,X）e Kx X,3u e X,计做=心称为尤对8的数乘，适合（2.1）以（Px）=（以。）X（2.2）1 x = x（

2、2.3）（以+ P）x = ox +Px（V以，P e K, Vx e K）以（x + y） =ox + Py线性同构设X,X都是线性空间，T : X X它既是单射又是满射，即他是一对一的并且是在上的（2）T（ox + Py） =oTX +PTy线性子空间设E u X若E依X上的加法与数乘还构成一个线性空间，则称E为线性子空间线性流形设E u X若3x e 乂及线性子空间E u 乂使得=E + X + X X e E则称E为线性流形0000=00线性相关一组向量X.X e 乂称为线性相关的，如果存在人人e芯不全为0,使得1 n1 n人X +. +人X =0,否则称为线性无关的11nn线性基若A

3、是X中的一个极大线性无关向量组，即A中的向量是线性无关的，而且任意的x e 乂都是人中向量的线性组合维数线性空间中的线性基的元素个数（势）线性包设人是一个指标集，/e A是X中的向量族，线性组合4 =o x + .o x |X e A,o e K称为，|X e A）1 1n n iii线性和与直接和设E E是乂的子空间， + y|x e E , y e E为E，E的线性和，记E + E1 2121212准范数准范数|： X R,满足条件（1） X| - 0； |x| = 0 x = 0（2）l|x+mi 0F*空间II0（当n 3）来定义x - x一个赋准范数空间X,按照|气-x|完备的F*空

4、间(范数必是整范数)夫1,满足条件x = 0 (正定性)F空间： 范数 范数|HI： x（1）x|- 0;|x| = 0（2）|x + y| |x| +|y（三角不等式性）（3）| |ax| = |a|x|（齐次性）线性赋范空间B*空间当赋准范数的线性空间中的准范数是范数时，这类空间叫线性赋范空间，又叫B*空间 完备的B*空间称为B空间定理1、 若|与|H都是X上的范数时，则必有常数。,c使得。|x| |x| 夫1 是线性空间上的一个函数，若他满足(1)P(x + y) P(x) + P(y)(次可加性)P(Xx) = XP(x)(正齐次性)，则称P是X上的一个次线性泛函定理设P是有穷维8 *空间X的一个次线性泛函，若P(x) - 0,并且P(x) = 0 x = 0则存在正常数c , c使得c |x| P(x) 0，使得|x| c(Vx e A)(F.Riesz 引理)若X0是