高中数学-椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

1、椭圆的简单几何性质教学设计一、复习回顾，新知导入这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识， 在进入本节课的知 识之前，我们先复习一下上节课的知识。【设计意图】引导学生用所学研究新知，重视基础22提出问题：椭圆 L 1的图象怎么画?259【设计意图】引导学生重视数形结合学生活动：学生自主完成图象，找学生板演，并让学生们解释如何作图，从学生的答案中寻找椭圆的范围、对称性等直观性质。二、探究问题，观察发现从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢 ？学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的对称性、顶点、范围、离心率来探究。探究一：椭圆的范围教师通过刚才作图，学生们得到了椭圆的范围。引导学生动手动脑，将具体实例抽象成数学

2、图形, 学问题，在平面直角坐标系内来研究。【设计意图】利用“椭圆的顶点.ppt ”课件展示，使学生直观感性认 识椭圆范围所在区域。学生得出：椭圆位于直线x a,y b所围成的矩形内。问题1:如何从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论呢？【设计意图】体验用代数的方法研究几何问题过程，体会数形结合思想。学生可能有如下方法：方法L由三十4二1利用两个实数的平方和为1,结合不等式知识得 a b尸石一且力则有rM心外-8寸三匕 那么它的范围就是直线工二也上抄所围成的区域，方法工从44=1中解出3次1-%利用/“可得F的取值范围， a bb同样可得芯的取值范围。，方法3：把”后

3、孑和，三-攵不7分别看作是一个函数，只需求 也口一方-工.）的定义域.值域即可，然后利用对称性可得范围.（板书）教师指出椭圆的范围：-axa-byb.+探究二：椭圆的对称性问题2：从图形上看，你能找到椭圆对称轴和对称中心么？【设计意图】让学生直观感知，更深入认识椭圆的对称性。得出结论：椭圆具有对称性。椭圆是轴对称图形，它关于x轴和y轴对称；实物演示：椭圆绕中心旋转180后与原椭圆重合一一椭圆也是中心 对称图形，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭 圆的对称中心叫做椭圆的中心。问题3:从方程看如何判断椭圆的对称性？【设计意图】经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的 思路和

4、方法。学生讨论：设P（x, y）,则P点关于X轴、y轴和坐标原点的对称点 分别是（x, y）、（ x,y）、（ x, y）,若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对 称点也在曲线上，即（x, y）满足方程。同理可以推出另外两种情况。问题4:通过上面研究同学们归纳出方程要满足什么条件曲线才具有 这些对称性？【设计意图】为培养学生观察、分析、归纳问题的能力。为进一步的 学习打下良好的基础。学生讨论得出：以 x代x,方程不变，则曲线关于y轴对称；以 y代y,方程不变，则曲线关于x轴对称；同时以x代x、以y代y, 方程不变，则曲线关于原点对称。（板书）椭圆的对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点对称。探究三：椭

5、圆的顶点问题5：椭圆与它的对称轴有交点吗？若有，那么椭圆与它的对称轴 有几个交点？你能求出交点的坐标吗？学生易得：椭圆与对称轴有交点，有四个交点。问题5:从方程看如何求出椭圆的顶点？【设计意图】体验用代数的方法研究几何问题过程。令x 0则有y b或y b ;同理可得x a或x a。教师指出：其实，我们把椭圆工 l（a b 0）与坐标轴的交点 a bA（ a,0）,A2（a,0）,Bi（0, b）,B2（0,b）就叫做椭圆的顶点。其中线段AA、BB分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|AiA2| = 2a,短轴长|BB| =2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长， 此时长轴在x轴上。（整

6、合点：教师通过ppt演示“椭圆的顶点”）（板书）椭圆的顶点： A/ a,0）,A2（a,0）,Bi（0, b）B（0,b）。探究四：椭圆的离心率椭圆的简单的几何性质中，比较抽象的难于理解的就是椭圆的离 心率问题。为了能将抽象的问题形象化，利于学生的理解与接受，设 计如下的课堂活动，让全体学生参与到课堂中来，在自己的探究中获 得学习的乐趣，学习的快乐，并且可以使不同程度的学生都有所收获。2 222问题8:请同学们画出椭圆 工 L 1和人上1的图象，观察它们的 25 1625 9形状有何不同？椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的 量来刻画椭圆“扁”的程度呢？【设计意图】在同学们参与到课

7、堂活动中的时候，在自己作图过程中就会发现椭圆形状的变化，引起思考。第一个椭圆比较“圆” 个椭圆比较“扁”本过程中，由具体的同学们的手中的椭圆形状的变化到抽象的平 面直角坐标系中椭圆形状的变化的过程中， 几何画板的强大功能会发 挥巨大的作用。在几何画板中展示椭圆的形状变化的同时， 还可以让 学生观察到椭圆中a,b,c三个参量的变化，进而对椭圆的离心率充分 了解。观看课件演示，加深对离心率问题的直观认识。（整合点：展示“椭圆的离心率.gsp”几何画板，取椭圆的长轴长 不变，拖动两焦点改变它们之间的距离，再画椭圆，由学生观察出椭 圆形状的变化。） 教师指出：在刚才的演示中，我们发现在椭圆长 轴长不变

8、的前提下，两个焦点离开中心的程度不一样，可以用离心率 来描述。（1）概念：椭圆焦距与长轴长之比。（2）定义式：e a问题9:那么离心率与椭圆的扁圆程度有什么关系呢？【设计意图】学生通过观察动画更容易找出椭圆图形随 e的变化而变 化的规律，他到突破难点的效果。再一次演示几何画板。学生发现。不变时，c变大，即离心率变 大时，椭圆越扁；c变小即离心率变小时，椭圆越圆。从式子e c上看：。TQTO ,椭圆变圆，直至成为极限位置圆， a此时也可认为圆为椭圆在层时的特例。彦TT凡椭圆变扁，直至成为极限位置线段丹玛，此时也可认为线段为椭圆在 =1时的特例。(板书)椭圆的离心率：e1a【比一比】比较下列各组中

9、椭圆的形状,哪一个更圆，哪一个更扁？为什么?2236和士21。610229x2 y2 36禾嗓卷3x2 9y2【设计意图】为了让学生能真正理解离心率的意义， 教学中利用数形结合的思想，从几个具体的椭圆标准方程入手，通过对图形的观察、方程的验证，从数的方面，发现了椭圆形状与 的本质联系，使学生 a体验了学习数学的乐趣，感悟和体会了特殊到一般、由具体到抽象的认识问题的一般方法和数形结合、归纳、类比等数学思想方法的运用。学生活动：抢答。三、总结归纳，能力提升让学生学会将课堂上所学的知识整合成块， 形成属于自己的知识2222体系。要求课堂填写今 4 1 (a b 0)的性质，课后完成与 三1 a ba

10、 b(a b 0)的性质。四、典例赏析，学以致用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题：【例U求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长,离心率、焦点和 顶点的坐标。【练习1】求椭圆9x2 4y2 36的长轴和短轴的长，离心率、焦点和顶 点的坐标。【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：13(1)焦点在x轴上，a 6，e 3；(2)焦点在y轴上，c 3，e 5。【练习2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点 P(-3,0) , Q(0,-2);3(2)长轴长等于20,离心率等于5五、课堂小结，竞争合作请你谈谈通过这节课的收获，你学习到了什么？六、

11、课后作业，巩固提高基础：课本P49习题A组第2、3、4题。拓展：1、分别用b、的代数式子表示离心率； a b2、预习课本P47例6、例7。探究活动：课后查阅资料尝试找到椭圆的几何性质在现实生活中的其 他应用。学情分析离心率是本节课的重点，也是本节课的难点，同时也是最能渗透 数学思想和方法的知识点，估计对普通班的学生有一定的难度，但是 之前学习过圆，类比圆，教学中较合适的方法是启发、讲授、数形结 合，尤其是b、c对椭圆形状的刻画，是本节课最难的点，因而采用a b几何画板，用动态图向同学们展示离心率变化对椭圆扁平程度的影响。 此外，看图时同学们的思维并不一致，所以在内容的处理顺序上与课 本略有不同

12、。效果分析一、课堂教学效果.各个教学环节学生都能积极参与，都能比较深刻的理解和熟 练地应用知识点；.应用几何画板，非常形象的展示了椭圆离心率的变化对椭圆 形状的影响，激发了学生学习的兴趣，同时将难点直观化，学生接 受新知效果较好；.通过学生板演，激励学生学习，同时也是对本节课的验收。 二、学生学习效果.抽查发现学生掌握很好；.通过作业，体现出学生做题比较严谨，态度也比较好。教材分析一、教学分析：（一）教学内容分析椭圆是生活中常见的曲线，是学生学习第二章所接触到的第一个 重要的圆锥曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有着重 要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。（二）教学对象分

13、析本节课是在学生学习了椭圆的定义、 标准方程的基础上，根据方 程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺 序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循 序渐进进行探究。（三）教学环境分析因为本节内容比较抽象，再者学校条件的有限所以利用数形结合 增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的观察能力、数学想像能 力和抽象思维能力。二、本课教学目标：根据大纲要求和新课改理念，结合本课教学内容和学生的实际，我将本课的教学目标确定为：（一）知识与技能掌握椭圆的简单的几何性质，学会由已知椭圆的标准方程求椭圆的几何性质的一般方法与步骤。（二）过程与方法通过实际活动培养学生发现

14、、观察、归纳的能力；培养分析、抽 象、概括的能力，加强数形结合等数学能力的培养；经历几何问题代 数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。（三）情感与态度通过有关椭圆几何性质的实际应用的介绍，激发学生研究椭圆的几 何性质的积极性。三、依据教学大纲的要求及本课在教材中所处的地位及作用，我将本课的教学重、难点设计为：（一）教学重点：由标准方程分析出椭圆的几何性质（二）教学难点：椭圆离心率几何意义的理解四、教学用具：多媒体设备、直尺五、教学方法：讲授法、启发法、讨论法、情境教学法、小组合作交流六、教学时间：一课时 2.2,2 椭圆的简单几何性质（第一课时）学习目标.根据椭圆的方程研究曲线的几何性

15、质，并正确地画出它的图形;.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质io2学习过程一、复习回顾复习1：椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、52的 为常数2a（ 2a IF1F2I）的动点M的轨迹叫做椭圆。数学符号语言：.复习2：椭圆的标准方程，焦点在x轴上,焦点在y轴复习3:椭圆的标准方程中a,b,c的关系二、导思导学【动动手】22请做出上匕1的图象.259【新知探究】22椭圆的标准方程、自1（aa bb 0）,它有哪些几何性质呢?1、范围：X：2、对称性：椭圆关于轴、轴和 都对称;3、顶点：（），（），（），（4、长轴,其长为;短轴,其长为;【变式】如果将上述椭圆方程中的9换成

16、16和4呢？请在同一个坐标 系中画出它们的图象。5、离心率：刻画椭圆 程度.1i椭圆的焦距与长轴长的比c称为离心率，记e ,且0 e 1. aa【想一想】1、b或c的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？ a b2、你能运用三角函数的知识解释，为什么e，越大，椭圆越扁？ e - TOC o 1-5 h z aa越小，椭圆越圆吗？【比一比】比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么?22 9x2 y2 36 与 上 1 ；16 1222 x2 9y2 36 与士 1 .610三、总结归纳标准方程22:3 1（a b。）22占-21 a b 0a b范围12对称性顶点坐标焦点坐标半轴长离心率a

17、,b,c关系四、例题讲解例1求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点 的坐标.小结：先化为标准方程，找出a,b,求出c；注意焦点所在坐标轴.练习1求椭圆9x2 4y2 36的长轴长、短轴的长、离心率、焦点坐 标和顶点坐标。例2求适合下列条件的椭圆的标准方程。(1)焦点在x轴上，a 6,e 1 ；3(2)焦点在y轴上，c 3,e 3。5练习2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点 P( 3,0)、Q(0, 2);（2）长轴的长等于20,离心率等于g52课堂小结你的收获是什么?知识：方法：3课后作业基础：课本P49习题A组第2、3、4题拓展：预习课本P47例6、例

18、7椭圆的简单几何性质教学反思本节课是人教 A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1第二章2.2.2的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上， 通 过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。 这是学生第一次14正式学习使用代数方法研究圆锥曲线的几何性质，因此，上好本节课显得尤为重要。本节课总体上是以椭圆为载体研究椭圆的几何性质，通过对椭圆方程的研究，让学生自然得出相应的几何性质。因此，我在教学上采22用从特殊到一般的数学思想：先提出让学生画椭圆L 1的图象,259在作图过程中引导学生发现椭圆的几何性质， 并及时和图象进行联系, 体现了 “数是形之源”的思想。学生在作图过程中发现：作图需要

19、描 点，因此可以先求出椭圆与坐标轴的四个交点；椭圆是封闭图形，要 画图就得先确定范围；最后连线成图时必须考虑到图象的对称性等特 点。通过这个作图活动，学生能直观的了解椭圆的几何特点，并且在 这个过程中发现问题，提高了学习的积极性。然后，我趁热打铁，从 特殊到一般，归纳出椭圆的顶点、范围、长短轴等概念，并揭示了椭 圆方程中a,b,c的几何意义。本节课的重点是利用椭圆方程来研究几何 性质，所以在归纳一般概念时，应注重强调代数方法和坐标法。例如， 由方程可直接求得x的范围；利用对称点的坐标，可以检验曲线的对 称性；分别令x 0和y 0可以求出四个顶点（即椭圆与对称轴交点） 的坐标。从教学情况来看，学生接受还是比较好的。离心率是本节课的难点，课本直接提出利用 a与c可以刻画椭圆 的圆扁程度，接着给出离心率的定义，学生接受起来是比较困难的。 因此我在学生对椭圆的圆扁变化有了初步的感性认识之后， 让学生合 作讨论，寻找一个合适的量来刻椭圆的扁平程度。学生们不难发现， 椭圆的扁平程度与长轴，短轴有关，所以可以用 上来进行刻画。我首 a先肯定了学生的回答，再在这个基础上，通过推导说明 &也是反映椭 a圆扁平程度的一个量，引出离心率的定义，之后再通过几何画板形象15的