已知一点的应力状态MPa

1、 第一章 # #1-1020已知一点的应力状态=5-15ij00.10MPa,试求该应力空间中-10丿 # ABC1二,m二，n=A2+B2+C2A2+B2+C2A2+B2+C211-2222因此1=:二一,m=；n=12+(-2)2+22312+(-2)2+22312+(-2)2+223x-2y+2z=1的斜截面上的正应力和切应力为多少?nn解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：Ol+xTxzn=Txy%+S=xSy=Txy1+Tzyn=Tl+xzTyzm+ HYPERLINK l bookmark23612100200 x-50= HYPERLINK l bookmark

2、163331235050 x_+150 x= HYPERLINK l bookmark46332003on=-1002z3xyz3333331000=-=-1119S1+Sm+Sn=100 x1-型x2-200 x2(100)2(350)2(2002S2=S2+S2+S2=+=12500 xyz3丿3丿3,212500-(1000、二13.41-11已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：(100oij40-205030，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。-10丿 # #解：J+o+o=100+50-10=1401xyzJ=oo+oo+oo-2-2-2

3、=100X50+50 x(-10)+100X(-10)2yzxzxyyzxzxy-402-(-20)2-302 =600J=QQQ2，-Q,2-Q,2-Q,23123xyzxyyzxzxyzyxzzxy=-192000Q3140q2+600Q一192000=053.346.7Q403.3；Q.046.7,;ij-2030-56.7,im、00046.7,O=122.2,0=31.7,O=49.5123Om=140/3=46.7O8=Om=46.71=土83(QQ)2+(QQ)2+(QQ)212233139.11-12设物体内的应力场为Qx6xy2cx3，13Q=一一cxy2,y22丿cy3cx

4、2y，xy23yzzx试求系数C,c2，C3解：由应力平衡方程的：QqQ，Qtx23Cy2Cx20123QtQqQt茫齐yzQxQyQzQtQtQq门k乎z0QxQyQz即：-(63c)y2(3c2cxy3cxy032212c3c032-c)x203（1）因此，-6-3c2=0（3）（4）3c1-c3=05080联立（2）、（3）和（4）式得：即：C=1,c2=2,Cg=3(501-13.已知受力物体内一点应力张量为：Q.500-75,MPa,求外法线方向余ij80-7530J2）有（1）可知：因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零,11弦为i=m=2，n=2的斜截面

5、上的全应力、主应力和剪应力。 解：Sx=oxltxymtxzn=50,150,180,1二5040222 # #Sy=xy1+m+tn=yzy50,1-75,1二25-37.5222 # #Sz=Txzlm+on=80，1-75，1-30，1二2.5-15yzz222S=111.7J1=20J2=16025J3=-806250o3-20o2-16025o+806250=0方程具有三个不相等的实根1=-138.2,o2=99.6,o3=58.61-14在直角坐标系中,已知物体内某点的应力张量为主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效2）MPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应

6、力和主方向应力、应力偏张量及球张量。解：a）点的应力单元体如下图(10-10MPa该点的应力不变量：J=10MPa,J2=200MPa,J3=0MPa,1-1010丿主应力和主方向：o1=20MPa,l=2;m=0；n=2;100-100500、-10-5-100-100MPa；b)=5000MPa；c)=-5-20-10010丿ij、0010丿ij-100-6丿a）匕 # #o2=-10MPa,l=m=n=0 22o3=0MPa,l=2；m=0；n=土主剪应力T2=15MPa；t23=5MPa；t12=10MPa最大剪应力t=15MPamax八面体应力。8=3.3MPa；t8=12.47MP

7、a。等效应力，二26.45MPa应力偏张量及球张量。ij403-100-100MPa；203ij0103000MPa；103b)点的应力单元体如下图主应力和主方向：o1=10MPa,l=m=n=0o2=50MPa,2l=m=；n=0；2o3=-50MPa,l=m=2；n=0主剪应力t12=20MPa；t23=50MPa；t12=30MPa最大剪应力tmax=30MPamax八面体应力。8=3.3MPa；t8=41.1MPa。等效应力,=87.2MPa应力偏张量及球张量。(10“c(10cc)-5000033“10门c10c,=50-0MPa；，=00ij3ij3cc20cc100000I3I3

8、丿MPa；c）点的应力单元体如下图TOC o 1-5 h z-10-5-10,=-5-20MPa该点的应力不变量：J,=-18MPa,J2=33MPa,J3=230MPa,ij123 HYPERLINK l bookmark84-100-6主应力和主方向：o=10MPa,l=m=n=0o2=50MPa,l=m=土22;n=0 # 2O3=-50MPa,l=m=土2；n=。主剪应力t=20MPa；t=50MPa；t=30MPa122312最大剪应力tmax=30MPa1-19.平板在x方向均匀拉伸（图1-23）,在板上每一点=常数，试问为多大时，等效xy图1-23（题19）解：等效应力：八面体应

9、力o8=-6MPa；t8=9.7MPa。88等效应力=20.6MPa应力偏张量及球张量。-16-5-10-600、=-5-80;=，0-60ij-100-12,ij00-6,k一)2+(一)2+(一)2+)xyyzxzk一)2+()2+()令y二(-)2+()2+()2,要使等效应力最小，必须使y值最小，两边微分得:xyyx2(-)d+2d二dy二0 xyyyydy2-二0 xy二2yx等效应力最小值：=11(-)2+()2+()2minxyyx=3x20.在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x轴交成e角的一个平面上，其正应力为。(。0),切应力为T,且为最大切应力K,如图1-24所示。试画出

10、该点的应力莫尔圆，并求出在y方向上的正应力oy及切应力Txy,且将oy、Tyz及ox、txy所在平面标注在应力莫尔圆上。 #图1-24(题20)解：由题意得知塑性区一点在与x轴交成e角的一个平面上的切应力为为最大切应力K,因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。O3BA轴图1-25 ,二,Ksin2yt=Kcos2xy 第二章其中a、b为常数，试问上述应变场2-9.设8a(X2-2y2);8bx2；,=axy,xyxy在什么情况下成立？解：对8a(X220)求y的2次偏导，即：x # #1) # #对

11、8bX2求x的2次偏导，即:y2)28y2bx2对,axy求x和y的偏导，即:xy # #3) # #带(1)、(2)和(3)入变形协调方程(4)，得：TOC o 1-5 h z128282,4) HYPERLINK l bookmark141(x+匚)xy HYPERLINK l bookmark1432y2x2xy1(4a+2b)a2即：a-b时上述应变场成立。2-10试判断下列应变场是否存在？1)8xy2，8xyX2y,8xy,0,zxyyz2Gy)，,2xz2)8X2+y2,x8y2，80，,2xy，,0yzxyyzxz1)yz2解：对8xy2、x1(12+y丿和,xz8X2y和8xy

12、分别求X、y或z的2次偏导，对,=0、yzxy1()、22护分别求x、y和z的2次偏导，贝9： # #a)28x2x，y2 # #28yx22y,28y0；Z2b) 丝0，竺0；0X23V2d2YXVdxdyAZ,0X0Z将（a）、（b）、（。）和（d）代入变形协调方程（e）：02,x0y202,y0X202Yxy0 x0y102，02,02(yz)迄20z20y20y0zc)d)(e) # a)(b)(c)02Y0X0V02丫0y0z0X0Zd)则：02,说明应变场不存在。TOC o 1-5 h z02,02,02y（十+社）诺0X20Z20Z0X则（e）第一式不等，即：l（2x2y）0这说

13、明应变场不存在。(2)对,X2+v2、v2和80分别求x、v或z的2次偏导，对Y2xy和XVzXV丫y0分别求x、v和z的2次偏导,vzXz0Z202，02，严0,严0；0X20Z2二0，竺0； HYPERLINK l bookmark3330X20V211设物体中任一点的位移分量为u10 x10-3+0.1x10-3xy+0.05x10-3zv5x10-3-0.05x10-3x+0.1x10-3yzw10 x10-3-0.1x10-3Xyz求点A（0.5，1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。解：，0.1x103ydxxy=-0.1x103xyzdzy，丫，丄(竺+竺

14、)，0.05x103x-0.025x103xyyx2Sy6xVCcy,1(空+巴),0.05x10-3y0.05x10-3xzyz2dzSyy，1(S+Su)，0.025x1030.05x103yzxz2SxSz将点A的x=0.5,y=1,z=0代入上式，得点A的应变分量(-0.1x1030.025x103-0.05x10-310.025x103对于点A：-0.05x10-30.05x103丿mA!(+)，-1x103，xyf-5x10-548ijmA-5x10-5-5x10-5JI,1+y+z，-0.05x103，(+)-(y2+y2+y2),-8.125x1010 xyyzzxxyyzzx

15、3=2.5x10-133I2I:I，0123即：31.5x10-42-8.125x10-10+2.5x1013，0，8.3x10-5,，2.9x10-5,，-1.04x104，3（x+八z），-6Xl04（一）2+（一）2+（一）2+6（Y2+Y2+Y2）xyyzzxxyyzzx，7.73x10一3，2Y|，1.09x104812物体中一点应变状态为：，0.001,，0.005,，-0.0001,Y，0.0008,Y，0.0006,xyzxyyzY，-0.0004，试求主应变。xz解：由题可知：TOC o 1-5 h z108-4、 HYPERLINK l bookmark176，8506x1

16、0-4l,与方向余弦规定不符，因此,m1=0.5575才是正确解。由此得：1=0.689。即1=-0.039时，方向余弦为：1=0.689,m=0.5575,n=0。同理可求：2=0.029时，方向余弦为：1=0.8025,m=0.5966,n=0。 #第三章6.某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为ox=75,oy=15,丐=0,Txy=15(应力单位为MPa),若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？解：由由密席斯屈服准则：)t一)+C一)+(一丄+62+2+2xyyzzxxyyzxz2+2+21得该材料的屈服应力为：=s1,75一15)2+15一0)2+o一75)2+

17、血+0+0血73-5MPa3-7.试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为： # 证明：由密席斯屈服准则：(-)2+(-)2+(-TOC o 1-5 h z12321即.+G+G(1)123121323s而：3C，,)2123+2+2一123+一123+”13”233+212332)122+2+2一123121312所以：(1)式与(2)式相等。8.试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在,应力处于弹性还是塑性状态？(材料为理想塑性材料)00、500、a)=“s“000，b)=“s“050ij”00sij”0s04s1.2c000.500、c)=“s“00.10，d)=

18、“s“000ij”0s00丿ij”000.6G00、00.45G0e)G_s00.5G0，f)G_0.45gs00ij0s0一1.5g,ijs000,解：a）由屈雷斯加屈服准则：G1-G3=Gs得：Gs-0=Gs，存在。应力处于塑性状态。由密席斯屈服准则b=1GGI+GGI+GGI=G。存在。应力处2123213s于塑性状态。b）由屈雷斯加屈服准则：G-g3=g得：-4g+5g=g，存在。应力处于塑性状态。13ssss由密席斯屈服准则(GG)2(GG)2(GG2123213(5g5g)2(-4g5g)2(-5gg，不存在。13ssss由密席斯屈服准则(G-G)2+(G-G)2+(G-G2123

19、213.2g-0.1g+61G-0)2+G-1.2gssss1.33ggss不存在。d）由屈雷斯加屈服准则：G-g3=g得：0.5g+0.6g=1.1gg，不存在。13由密席斯屈服准则(GG)2(GG)2(GG2123213G.5g-0+60.6g(-0.6g-0.5gSSSS_0.96ggss存在。应力处于弹性状态。e）由屈雷斯加屈服准则：G-g3=g得:-0.5g+1.5g=g=g，存在，应力处于塑性状态。13由密席斯屈服准则(GG)2(GG)2(GG(-G1232130.5g(-0.5g1.5g(-1.5ggssssss_0.75ggss存在。应力处于弹性状态。f）由屈雷斯加屈服准则：t

20、=（GP3）/2=g/2得：t=0.45gg,存在，应力处于弹性状max13smaxss态。由密席斯屈服准则3-9已知开始塑性变形时点的应力状态为,ij75-15.0-150、15000丿,1(,)2+(,)2+(,)2+6(12+12+12)2xyyzzxxyyzzx3X(0.45,0.78,，sss存在。应力处于弹性状态。 # #试求：（1）主应力大小；（2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；（3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。解:由于点的应力状态为平面应力状态，由匚,+,xy+2-+12得主应xy75+15+(7515g2g3，贝y：

21、（、平均应力：1（+）=*4*25 HYPERLINK l bookmark274m31233400、 HYPERLINK l bookmark278应力偏量为：f=0-10,00-3丿由列维一米赛斯增量理论d,=d九得：ijijd,=d九=4d九11d,=d九=-dX22d,=dX=-3dX33主应变简图如图示： 23 7.两端封闭的细长薄壁管平均直径为r,平均壁厚为l,承受内压力p而产生塑性变形，设管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。解：4-8.求出下列两种情况下塑性应变增量的比：单向应力状态：1=1s纯剪力应力状态：，=/3ss解：设g1g2g3，贝y：=1G+o)=

22、s,因此，应力偏量为：m312332s30由列维一米赛斯增量理论ds=d九得:ijijds=sd九13ds=-o$d九23ds=-o$d九33塑性应变增量的比为2ds1ds=-2,同理:dsds=-2,ds-121ds2解：已知纯剪力应力状态：,=/3ss应力张量为：Gsij30丿G由列维一米赛斯增量理论ds二Gd九得:ijijdyxydyyzTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark293dy二xz塑性应变增量的比为dy_dy_1 HYPERLINK l bookmark301_x_1dydyyzyz 23 #第六章1.20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为50X50mm,室

23、温下压缩至高度h=25mm,设接触表面摩擦切应力t=0.2Y，已知Y=746e0.20MPa，试求所需变形力P和单位流动压力p。解：圆柱压缩时体积不变，则当h=25mm时，R50252mm4x25Hh5025“80.5H50t=0.2Y=0.2X746e0.20=129.9MPa当t=tmax,tmax=K=129.9MPa由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为t=0.2Y,Y=746s0.20MPa,设三个坐标方向的正应力o”、爲和q视为主应力，且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：令sin(d02)d0/2，并忽略二次

24、微分项，则得由于轴对称条件，o产申。此时平衡方程简化为dr1-1根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为00=2Kzr或do=dorz代入式（1-1），得do=z因此Ino=2hrC=Ce，259.8rz1边界条件：当r=R时，o=0。由近似屈服条件知，此时的orZ式（1-2），可得1-2=2K，代入方程2K=Ce，2598RC=2Ke，259.8：1代入式（1-2），得=2Ke-259-8（R，r）h1-3因为：h=25，R=252，K=129.9MPao=259.8ei0.36（252，r）z所需变形力P为：P=Jrods=Jr259.8eio.36（252，r）2兀rdr0z0=7.5105

25、压板上的平均单位压力用P表示，则PpR191.12MPa兀K22.模内压缩铝块，某瞬间锤头压力为500kN,坯料尺寸为50X50X100mm3,如果工具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图6-11）。 #23 #图6-11（题2）解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度h,宽度为dx，长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿x轴坐标有dx的变量是，相应的变化量就可用微分dox来表示。y方向上的压应力用表示。摩擦xxy力f的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p,如图所示。列出单元体的微分平衡方程：h一(+d)h一2fdx0 xxxy2

26、-1hd+2fdx0 xy屈服条件为：2kyx #23 # 23 #因此，ddxy将此式代入式（2-1）整理得dy，2代h积分后得：ln，2fx+CyhCe，2fx2-2y1根据应力边界条件确定积分常数。应力边界条件为：当xb/2时，o=p。x由屈服条件式，得2k+pyxb/2代入式（2-2）求系数C得：c=（2k,p）e21因此：=（2k,p（；x）yP=Jbhdx=J2（2k,p（；x）hdx0y0已知锤头压力P为500kN，代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力p。3.圆柱体周围作用有均布压应力，如图6-12。用主应力求镦出力P和单位流动压力。设t=mk。图6-12（题3）解：圆柱压缩为轴对

27、称问题，米用柱座标。设三个坐标方向的正应力or、弔和q视为主应力，且与对称轴z无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：（q+必rJA+d厂羽曲-中滋却+2VTsrdr-2h二0令sin（d02）d0/2，并忽略二次微分项，则得由于轴对称条件，or=o。此时平衡方程简化为2edo=zdrrh3-1根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为e，e=2Kzrde=derz代入式（3-1），得dez2mke1zdrh因此2mkrChC2mke,h:13-2边界条件：当r二R时,r=0o由近似屈服条件知，此时的e=2K+o0,代入方Z程式（3-2），可得2Ko=C02mk，Rh1

28、C=（2KoL，2mkR10代入式（3-2），得3-3所需变形力P为：压板上的平均单位压力用p表示，则e=（2Ke）2mk（Rhr）z0PPJR?5试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。（不考虑材料加工硬化） 23 #图6-14（题5）解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图6-14，为平面应力状态，设正应力s、w为主应力，单元体沿径向的静力平衡方程为：G+do）（r+dr）hdorhd2osinlrrrrd2丿hdr，0令sin（dO/2戶dO/2,并忽略二次微分项，贝V得dooor+r，0drr将屈服条件or_oe=2K代入上式得o，2Klnr+Cr积分常数C根据凸缘的外缘处C，

29、2KlnR凸缘变形区的应力分布为：o，2KlnR/rr=R）5-1的o=0边界条件，得积分常数r5-2 23 #第七章mc=7-10解：已知a族是直线族，卩族为一族同心圆，c点的平均应力为:90MPa，最大切应力为K=60MPa。C点应力为：a-2ksin2excmCC-90-60sin-K-30MPaI2丿a+2ksin2eycmCC(-90+60sin兀K-150MPa2丿 #23 #tKcos2e0 xyC #23 # #23 #图7-1z由于B点在a族上，a族是直线族，因此，所以B点应力状态和C点相同。D点在卩族上，卩族为一族同心圆，因此由沿线性质得：a-a-2k(w-w)mcmdcd

30、即：amda+2k)mccd-90+2kxI6丿-90-20 #23 #D点应力为:axda-2ksin2emdCayda+2ksin2emdC(5兀-90-20-60sin-6丿(5-90-20+60sin-6丿-122.8MPa-182.8MPatKcos2e60cos-xycVD点的应力莫尔圆5p方向如图教材中图7-10。AB区域表面不受力，可看成是自由表面，但受AOD区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第2种情况，滑移线场和确定a、P方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ADO和ABC之间必然存在简单滑移线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场，如图7-3

31、z。P图7-3z求平均单位压力。取一条a线BCDO进行分析，由于B点在自由表面上，故其单元体只有一个压应力，由此可判断出=0,根据屈服准则，o1-o3=2k，因此，o3c=2k。而平均应力amc=(o1c+o3c)/2，可得,-k。mB已知O点在光滑接触表面上，因此二-兀/4，其单元体上承受冲头压力和o金属向两边流动的挤压力，即存在ax，ay作用，均为压应力，且a3=ay=-p，其绝xy3y对值应大于ax，根据屈服准则可得a1=ax=-p+2k，平均应力a=-p+kx1xmo求角度。对a线BCDO进行分析。接触面AO上的O点的夹角。为一n/4,在自由表面AB上的B点的夹角为兀/4+Y。贝JAr

32、o=ro0-roB=roD-roC=n/4（n/4+Y）=一兀/2丫（4）求极限载荷由汉盖应力方程式oo二2k（）二2k,momBoB得：p+k（k）二2k（一;一丫）二_kG+Y）即：p二kG+丫）极限载荷P为：P二2blp二2blkG+Y）7-13图7-37为一中心扇形场，圆弧是a线，径向直线是卩线，若AB线上om=-k,试求AC线上m。 23 #图737（题13）解：已知直线AB是卩线，其上om=-k,故B点的amB=-k,AC线是卩线，但也是直线，直线上的am相同，求出C点的am，即得到AC线上am。C点的am可通过圆弧BC求，已知圆弧BC是a线，由汉盖应力方程式o_o二2k（_）二2

33、k,mCmBCB（兀）即:o（_k）二2k-ImC（6omC一kJ即AC线上am为:mC7-14具有尖角2Y的楔体，图7-38在外力P作用下插入协调角度的V型缺口,试按1）楔体与V型缺口完全光滑和2）楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场，求出极限载荷。图7-4z第一种情况：楔体与V型缺口完全光滑解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定a、P方向如图教材中图7-10。AE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、卩方向如

34、图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和ADE之间必然存在简单滑移线场，由此确定出具有尖角2Y的楔体在外力P作用下插入完全光滑的V型缺口时的滑移线场，如图7-4z。(2)求平均单位压力和角度。AB面是光滑接触表面上，因此，兀/4-。由于垂直于AB面的压应力大B于平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于AB面的压应力为J,垂直于AB面的压应力为o3=-P，根据屈服准则，Oo3=2k，因此，O=2k+O3=2k-p，而平均应力omB=(o1+o3)/2，可得k-p。mB13mBAE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出o1e=0，根据屈服准贝V,oo3=2k，因此，o3E=一2k。而

35、平均应力omE=(o1E+o3E)/2，可得一k。mE,二兀/4。E(3)求极限载荷已知BCDE线为a线，由汉盖应力方程式一2k(,一,)mBmEBE兀兀得：-p+k-(-k)2k-4)-2ky即：p2k(1+)极限载荷P为：P2blp/sin4blk(1+)/sin第二种情况：楔体与V型缺口完全粗糙做出滑移场2b图7-5z解：(1)确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，由于楔体与V型缺口完全粗糙，故可认为冲头下坯料为变形刚性区。AE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、P方向如图如图7-9b所示，三角形ABC

36、和ADE存在简单滑移线场，由此确定出具有尖角2Y的楔体在外力P作用下插入完全粗糙的V型缺口时的滑移线场，如图7-5z。(2)求平均单位压力和角度。AE面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出Se=O，根据屈服准则，OO3=2k,因此，o3e=一2k。而平均应力mE=(1E+3E)/2,可得,=k。mE二兀/4，E三角形ABC是难变形区，该区内的金属受到强烈的等值三相压应力，AC面是摩擦接触表面上，垂直于AB面的压应力大于平行于AB面的压应力作用，不发生塑性变形，好像是冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。CD为a线，二兀/4-。由于垂直于CD面的压应力大于平行于CD面的压应力,

37、C因此，可以确定平行于CD面的压应力为O，垂直于CD面的压应力为o3=P，根据屈服准则，Oo3=2k，因此，O=2k+o3=2k-p，而平均应力omc=(o1c+o3c)/2，可得=k-P。(3)求极限载荷已知CDE线为a线，由汉盖应力方程式,一,二2k()mCmEcE兀兀得：k-p-(-k)二2k-4)-2ky即：p二2k(1+丫)极限载荷P为：P=2blp/sin=4blk(1+y)/siny7-15何谓滑移线？用滑移线法求解宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的单位流动压力p。材料为理想刚塑性体，屈服剪应力为K；参见图7-39。解：（1）确定滑移线场。设冲头的表面压力为p且均匀分布，设冲

38、头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定a、P方向如图教材中图7-10。BE区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定a、卩方向如图如图7-9b所示，在均匀滑移线场ABC和BDE之间必然存在简单滑移线场，由此确定出宽度为2b的窄长平面冲头压入半无限体的滑移线场，如图7-6z。（2）求平均单位压力和角度。AB面是光滑接触表面上，因此=，/4。由于垂直于AB面的压应力大于A平行于AB面的压应力，因此，可以确定平行于AB面的压应力为5,垂直于AB面的压应力为o3=P，根据屈服准则，Jo

39、3=2k，因此，O=2k+o3=2k-p，而平均应力mA=（G1+G3）/2，可得二k-P。mABE面是自由表面上，即只有一个压应力，由此可判断出a1E=0，根据屈服准则，Oo3=2k，因此，o3E=2k。而平均应力QmE=（o1E+o3E）/2，可得mE=-kO=/4。E（3）求极限载荷已知ACDE线为a线，由汉盖应力方程式，二2k）mAmEAE得：k-p-（k）二2k（，兀，兀）44即：p二2k1I2丿极限载荷P为：P=2blp=4blk1I2丿第八章8-7模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示。试分别计算其上限载荷P?并与滑移线作比较,71A.4=ic说明何种模式的上限解为最优?图819（题8）解：（1）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第一个图