高三数学用放缩法证明与数列和有关的不等式

1、用放缩法证明与数列和有关的不等式江苏省江阴长泾中学严 洁 邮编 214411数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点， 这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力.本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和. 一.先求和后放缩例1.正数数列an的前n项的和Sn,满足2百 =an +1,试求：(1)数列an的通项公式；11(2)设bn =,数列 仙的前n项的和为Bn,求证：Bn一anan 12解：(1)由已知得4Sn =(an +1)2 , n至2时，4&=(%二十1)

2、2 ,作差得：4an =a； +2an -a；二一2an，所以(an +an)(an -an,-2) = 0 ,又因为an为正数数列，所以an -anA=2,即4 是公差为2的等差数列，由2蕊 =a1 +1,得4 = 1,所以 an =2n -1bn1a na n 111/1二 f(2n -1)(2n 1)2 2n-1一),所以2n 1=1(1-1 1 23 3111 、111- 一)=一一：二一5 2n -1 2n 12 2(2n 1)2注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、 等比、差比

3、数列(这 里所谓的差比数列，即指数列 斗满足条件an+ -an = f(n )求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.二.先放缩再求和.放缩后成等差数列，再求和例2.已知各项均为正数的数列 an的前n项和为Sn,且a2+an = 2Sn.(1)求证:(2)求证：/S+ Sn 0 ，an 书 + an0% 中一 an=1所以，an =1+1“n -1) =n , Sn = n(n +1)2所以Snn(n 1) 1 n2 (n 1)2 222(2)因为 n Jn(n +1) 2,证明：a2n -(-a)n 之(a +1) 4 ;12h _黑bn 一 ，1 - an(2)等比数列an中，前n项

4、的和为An,且A7, Ag, A8成等差数列.设1数列bn前n项的和为Bn,证明：Bna,于是，a2n -(a)n = an(an+1)之(a +1)，an .当n为偶数时，a-11,且ana2,于是a2n -(-a)n =an(an -1)之(a2 -1) an =(a+1)(aT) an 上(a+1) an.(2)Ag - A7 = a8a9A8 -Ag -a9 , a8+ ag =-3g , 公比a9q 二一a8an=(一?nbn =4211-(-2)n4n 二-2)n1 1、 Bnb2bn 工_L_23 2n1 3(9), 1(13 , 1 一3(1I23.放缩后为差比数列，再求和例

5、4.已知数列an满足：a1=1, an书=(1+2n1)an(n=1,2,3).求证：证明：因为an 1 = (1+ $河，所以an书与an同号，又因为a1 =10,所以an 0 ,即an 1- an0,即an 41 an所以数列an为递增数列，所以an 之a1 =1,即an 1一 an令Sn2Sn21=一+22222122之,2nn -1X . . .23累加得:an - a11,所以 Sn21 n -112一2 223-23n -1+十r2nn 一 12n2n，所以Sn =2 -+2nn 12nJ,两式相减得:，所以an 一3-n 1故信an卡an 3 一3工.4.放缩后为裂项相消，再求和

6、例5.在m (m2)个不同数的排列PiP2Pn中，若iwivjwm时PiPj (即前面某数大于后面某数)，则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列(n +1)n(n 1)321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1 =1,排列321的逆序数(1)求a4、35,并写出an的表达式;an 1a+,证明 2n b +b2 + bn 2) k k 1 k(k 1) k2 k(k -1) k -1 k(2). 2(工一一) =2 工 2).k , k 1. k . k - 1. k . k - , k -1, k -1, k在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，

7、一般要看证明的结果是什么形式.如2例2要证明的结论 n3n、n(n 1)为等差数列求和结果的类型,则把通项放缩为等差数 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 2 22 2 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 111.列，再求和即可；如例 3要证明的结论(1 - J 为等比数列求和结果的类型，则把通32n 3n - 1项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明白结论3-n为差比数列求和结果的类2n HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 22型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例 5要证明白结论2n+3-为n 1 n 2裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可.虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求