离散型随机变量的数学期望(人教B版选修2-3)

1、离散型随机变量的数字特征 数学期望学习目标1.通过实例，理解离散型随机变量均值数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题.2.掌握二点分布、二项分布、超几何分布的数学期望的求法，体会二项分布数学期望的证明方法.一、复习提问1、什么是离散型随机变量的分布列？它具有什么性质？2、离散型随机变量的分布列指出了什么？3、离散型随机变量分布列能否反映随机变量的平均水平？随机变量的分布列从概率的角度指出了随机变量的分布规律，但不能明显反映随机变量取值的平均水平。二、新课讲授问题1 某射手射击所得环数的分布列如下：0.220.290.280.090.060.040.02 p 10

2、9 8 7 6 5 4 1、 射手在n次射击中，命中4环，5环，10环，大约各多少次？2、射手n次射击中，总环数等于多少？4、对任一射手，假设其射手所得环数的分布列，即各个p(=i)(i=0,1,2,10)，那么可预计射击的平均环数约等于多少？3、n次射击中，平均环数约等于多少？一般地，假设离散型随机变量X的概率分布为：那么称为随机变量X的平均值或数学期望。它表达了离散型随机变量取值的平均水平。问题2 设随机变量X的数学期望是E(X)，计算与X是线性关系的随机变量 =aX+b的数学期望.解：1、因为P =aX+b=PX= xi)=pi ,i=1,2,3,所以，的分布列为： pn p2 p1 p

3、 axn+b ax2+bax1+b 2、E= (ax1+b) p1+(ax2+b) p2 + +( axn+b) pn + =a(x1 p1+x2 p2+xnpn+)+ b(p1 +p2+ +pn+ ) = a E(X)+ b 即E(a X+b)= a E(X)+b三、合作探究跟踪练习【例1】根据历次比赛或训练记录，甲、乙两名射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下： 试比较甲、乙两名射手射击水平的上下.射手8环9环10环甲0.30.10.6乙0.20.50.3变式：求E3X+1。问题3 假设B n，P，那么E=？ 证明：因为knkknppCkP-=)1()(x=Cnkpkq n-k (令

4、q=1-p),又kCnk=nC n-1k-1所以E=0Cn0p0q n-1+1Cn1p1q n-1+k Cnkpkq n-k + +nCnnpnq0=np(C n-10p0q n-1+C n-11p1qn-2+ C n-1k-1 pk-1 q(n-1)-(k-1)+ +C n-1n-1 pn-1 q0)=np(p+q)n-1=np所以，假设B n，P，那么E= n P。1.篮球运发动在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分某运发动罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1p那么跟踪练习小结：2.篮球运发动在比赛中每次罚球命中得1

5、分，罚不中得0分某运发动罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次。求得分X的期望。3.一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数X的期望。小结：1.一般地，如果XBn,p，那么2.如果X服从参数为N，M，n的超几何分布，那么实际应用【例3】根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费3800元.方案2：建一保护墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.试比较哪一种方案好？2.求离散型随机变量的数学期望一般步骤： a、写出的分布列，在求取每一个值时，要联系前一章古典概率的计算