高三数学数列通项与数列求和苏教版

1、高三数学数列通项与数列求和苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：数列通项与数列求和 二.教学要求：掌握数列的通项公式的求法与数列前n项和的求法。能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n项的和。三.教学重点、难点：重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。难点：转化的思想以及转化的途径。四.基本内容及基本方法1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、Sn法、辅助数列法、归纳猜想法等；(1)根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的 关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.(2)

2、由Sn求an时，用公式an = Sn-Sn 1要注意n2这个条件，ai应由ai=Si来确定， 最后看二者能否统一.(3)由递推公式求通项公式的常见形式有：an+1 an= f ( n),亘士 =f(n), an+l= panan+ q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法)2、数列的前n项和(1)数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序 求和法等。求数列的前n项和，一般有下列几种方法：(2)等差数列的前 n项和公式：Sn= = (3)等比数列的前n项和公式：当q = 1时，Sn=.当qw1时，Sn=.(4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒

3、序相加后对应项 之和有公因子可提的数列求和.(5)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(6)裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列.方法归纳：求和的基本思想是“转化”。其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方哥和，从而可用基本求和公式； 其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。对通项中含有(1)”的数列，求前n项和时，应注意讨论 n的奇偶性。倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视。【典型例题】例1.已知数列an, a =5,an =2an+3(n2),证明数列an +3是等

4、比数列，并求an的表达式。证明：an =2an1+3(n 22 ), . an +3=2(an+3)假设存在某个an +3=0 ,则可以推出与 a1 +3=0矛盾。an +-是等比数列。an - 3 =闻 3 2n,：an =2n，2 3。例 2.在数列an中，a1 =1,( n+1) an41=n an ,求 an 的表达式。an 1 ni (n 1)an 1 =阿=二- an n 1a2a3andan12-2-11. an = a1 JI |=1 , 二 一a1a2anNanJl2 3n-1 n n例3.已知下列两数列an的前n项和Sn的公式，求an的通项公式。(1)Sn =n3 +n-1

5、。 Sn =n2 1(1)解；,芭=才+用-1二/= 1 1&二又一工-，=5 + 料-S -1)- 1) = 3- -3” 2口= D一 137-3H+ZS 之 2且依 暖葡)(2)解门容献-I flAq=s=CL1=3“ - -i=(a-i) -2-1Jog 1)*两(理之2且并阳一例4.设数列cn的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若C1=2,02=4, C3=7,C4=12,求通项公式 Cn解：设 cn = a (n - 1)d bqn 4 TOC o 1-5 h z a+b=2q=2a +d +bq =4 d =1n 12-: g = n 2 一a 2d bq =7b =

6、1a 3d bq3 =12a =1例 5.(天津文 20)在数列an中，a1=2, an4 = 4an3n+ 1, nw N(I)证明数列an n是等比数列；(ID求数列an的前n项和Sn ；(I)证明：由题设an书=4an -3n+1,得 *an书(n +1)=4(an n) , n= N .又a 1=1,所以数列ann是首项为1,且公比为4的等比数歹U.(II)解：由(I)可知ann=4n,，于是数列an的通项公式为n TOC o 1-5 h z an =4+n.4n 7 n(n 1) HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 所以数列taj的前n

7、项和8n =+-32例。已知数列：1,仁j, 1144/MqWi前n项的和8n.1解：an= 1 + 一 211 一尸121 =2 1 - 2n.an=2- 0则原数列可以表示为：(2 1)2 - ； 2 -1 ；t 2/(22 .?前 n项和&= (21) +(2-12=2n 1 +- +4 卡+-2 222n1= 2n-2212=2n-21+例7.已知数列an的前n项和 (1)求证：an为等差数歹U； (2)求Sn的最小值及相应的_2Sn= n 9n.n;(3)记数列 an 的前n项和为Tn,求Tn的表达式。解：(1) n = 1 时，ai = Si = - 8n2 时，an= Sn Sn

8、 1 = 2n 10 an= 2n 10an+1 an = 2814，an是等差数列.Sn= n2 9n = ( n - 9 ) 22当n=4或n=5时，Sn有最小值20.an=2n10 . | an |= | 2n 10 |令 an0 : n5 当 nW4 时，| an |=102n丁产 n(8 书0-2n) =_n249n ,当 nA 5 时， 2Tn = 一 a1一 a2 一 a3 a4 + a+ a6+ an=(a1+a2+ an) 一 (a1+a2+a3+a4)= Sn 2s4= n2 9n 2X (20) =n29n+40 TOC o 1-5 h z 2 _ . Tn= n +9n

9、n 42.n 9n +40 n 之5例8.求数列1,1+2,1+2+22,川|1+2+22| + 2n的前99项的和。解：；1 2 22 2n=2n -1.1 (1 2) (1 2 22)川川(1 2 22| 2n。二(21 -1) - (22 -1) III (2n -1)=(21 22 III 2n)-n2n1 -n-2.数列 1,1 +2,1 +2 +22, |川|1+2+22|+23的前 99 项的和为 210O-101。一 ,1 3 5 7 一例9.试求, ,111HI的前n项和。2 4 8 16初 c 13 5 一 2n 1斛：Sn =- - -.2 4 821c1 3 5 Sn

10、= , - I24 8 162n -1(2).111111(1) (2)得& =+2(| J)2248162n2n -1Sn =32n 32n 1例 10. (1)求和+L| +_J1 3 3 5 5 7(2n -1)(2n 1)(2)已知通项an= 求前n项和。,n ,- -.in 1小一，1111(1)解：，： =(-)(2n -1)(2n 1) 2 2n -1 2n 1(2n -1)(2 n 1)12n 1n2n 1(2) 7 an.S =(、，- 彳)(、3 - 一2) III (一一 - 二)=. n-d-1.例11.已知函数f (X) =(X1) 2,数列an是公差为d的等差数列，

11、数列bn是公比为 q 的等比数列(qw1),若 a1 = f (d 1), a3=f (d+1), b1 = f (q 1), b3=f (q+1),(1)求数列an, bn的通项公式； 设数列cn对任意的自然数n均有：c1 +c2 +L+Cn =(n+1)an平，求数列cn的前n b1 b2bn项和Sn.解：(1) a1= (d 2) 2, a3=d2, a3-a1 = 2d即 d2 (d 2) 2=2d,解之得 d=2a1 = 0, an= 2 (n 1)又 b1= (q 2)之，区=/, b3=b1q2即 q2= (q 2) 2 q2,解之得 q = 31- b1 = 1, bn= 3n

12、 1(2) cn =(n 1)an 1-nan =4n, a =4n 3n4 bnSn=C1 + C2+C3+-+ Cn=4 (1 X 30+2X31 + 3X 32+ nx 3 广1)设 Sn =1X30+2X 31+3X32+ nx 3 n 13Sn =1 x 31+ 2X 32 + 3X 33+ nx 31(3n -1)-2Sn =1 + 3 + 32+ 33+ 3 亡1 nX3n= -2-3 n - nSn q 3n -Sn= 2n ,3n _143n-3n+ 1【模拟试题】12341.数列，, 的通项公式是 234510. 、： (3 - 2k)= k 4.数列 an的前n项和为Sn

13、 =10n n2 ,则数列|an )的前20项和为.已知数列an , a1 =1,an =an1+ n(n之2),则an的通项公式为 5.设Sn =1 +1 +U| +1 且Sn 8n+=,则n的值为 2 6 12 n(n 1)46.，一. 11求数列1, ,一1一川IM12 12 3的前n项和。7.8.9.数列an的前 n项和 Sn =2n -1 ,则 a12 +a22 +IHan2一个数列的前n项和Sn =12+34 +用+(1尸n贝U 7十S33+S50 =数列 1,2 3,4 7 ,61511HH的前n项和为 1610.求和：Sn二1 2x 3x2 IH nxn J11.设 f (x)

14、 =一一4x.已知 f (x) =-, an 4x 2.已知数列an是公差为列，若函数f (x) = (x 1 )一二利用课本中推导等差数列前 n项和的公式的方法，可求得2x ,2f (-5) +f (Y) +|f (0) +| + f (5) + f (6)的值为n*=f(), n=N ，求：a+a2+22007 的值。2008d的等差数列，数列bn是公比为q (qC R且qw1)的等比数2，且 a1 = f (d1), a3= f (d+1), b = f ( q+1), b3= f (q1),求数列 a 口和 b n的通项公式。nan =(-1)2076250a n(n 1f. an 一25. 66.解:an12 3 川 n n(n 1)1 =2(nn1,Sn1,2 n 1 2n 22007(2008 )产 ，a1 =(d _,1 -1)13、解：1 Ja3=(d 1-1)! a1 = 0 -=an = 2n -2.d =220072nJ3121n n -12解；当工=附，= 1.当工=