数字信号与系统的分析方法和处理

1、数字信号与系统的分析方法和处理2-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析（FT）、复频域 分析（LT）。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。2-2 Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。Z是复数。 1.定义: 使序列x(n)的

2、z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。3.一些序列的收敛域(1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。 同样,对于级数 ，满足 的 ， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。0n (n).(2).有限长序列x(n)n0n1.1.（3）. 右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|; 两者都收敛的域为两者的公共部分即 R

3、x-|z|; Rx-为最小收敛半径。(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：(5)左边序列x(n)0n n2第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 . 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 (6)双边序列0nX（n）第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。（左边序列）2-3 Z反变换一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称

4、作Z反变换。z变换公式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c 由留数定理可知： 为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处的留数。Z反变换的方法 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：例2-4 已知解:1）当n-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此，求z反变换。2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。

5、 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项 式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。通常，X(z)可表示成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个k阶极点。而系数Ak，Ck分别为： 的z反变换。例2-5利用部分分式法，求解： 分别求出各部分分式的z反变换（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反变换。3.幂

6、级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。 例2-6 试用长除法求的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z

7、Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.2-4 Z变换的基本性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。例2-7已知 ,求其z变换。解：2. 序列的移位如果则有：例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3. Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：4. 序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：5

8、. 共轭序列如果，则证明：6. 翻褶序列如果，则证明： 7. 初值定理证明：8. 终值定理证明： 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。9. 有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理) 证明：例2-9解：11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）例2-10解： 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）如果则有:*几点说明：2-5 Z变换与

9、拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系设 为连续信号， 为其理想抽样信号，则 序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。(1).r与的关系j00jImzRezS平面Z平面= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；

10、=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.(2).与的关系（=T）0jImZReZ二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，模拟频率 为s平面虚轴，则 有 。所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。三.序列的傅氏变换1.正变换:2.反变换:例1.设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里

11、叶变换。N=4时的傅里叶变换|X(ej)|argX(ej)2-6 傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（

12、偶函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和其中，与序列类似，一个傅氏变换序列也可写成四、两个基本性质证明：证明：五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系证明：j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系证明： 再乘以j。证明：七、序列为实序列的情况8.实序列也有如下性质：例2.设x(n)=R4(n)，比较x(n)和x(n-2)的傅里叶变换。x(n)|X(ej)|argX(ej)线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应

13、h(n)x(n) (n) H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。2-7 离散系统的系统函数及频率响应一.系统函数: 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。 z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。统三.系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表

14、示：取z变换得：对上式因式分解，令得： 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换 称作系统频率响应。 也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统： 五.频率响应的几何确定模：相角：2.几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。 0。例2-14 设