时间序列模型分类和解析

1、时间序列模型分类和解析本讲要点：一、结构VAR模型(SVAR) 二、滞后阶数的确定三、VAR模型脉冲响应与方差分解四、AR系列扩展模型五、状态空间模型（TVP模型）123465一、结构VAR模型(SVAR) 内容安排： （一）两变量的SVAR模型 （二）多变量的SVAR模型 （三）结构VAR(SVAR)模型的识别条件 （四）SVAR模型的3种类型 （五）在E-views中估计SVAR模型 （六）滞后阶数p的确定VAR模型并没有给出变量之间当期相关关系的确切形式，即在模型的右端不含有内生变量，而这些当期相关关系隐藏在随机误差项中，无法被观察到。模型中的误差项t是不可观测的，可以被看作是不可解释的

2、随机扰动。结构VAR模型(Structural VAR，SVAR)，实际是指VAR模型的结构式，即在模型中包含变量之间的当期关系。 （一）两变量的SVAR模型 含有两个变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示为下式： 称为一阶结构向量自回归模型（SVAR（1）。 结构式经济模型，引入变量之间的作用与反馈作用，系数 b12表示变量zt的单位变化对变量xt的即时作用，21表示xt-1的单位变化对zt的滞后影响。冲击的交互影响体现了变量作用的双向和反馈关系。 假设：【1】变量过程xt和zt均是平稳随机过程；【2】随机误差uxt和uzt 是白噪声序列，方差 ；【3】随机误差uxt

3、和uzt 之间不相关， 。 为导出VAR模型的简化式方程，将上述模型表示为矩阵形式： 该模型可以简单地表示为：假设B0可逆，可导出简化式方程为 ：其中： 从而可以看到，简化式扰动项t是结构式扰动项ut的线性组合，因此代表一种复合冲击。因为uxt 和uzt是不相关的白噪声序列，则可以断定上述1t和 2t 也是白噪声序列，并且均值和方差为：同期的1t和 2 t之间的协方差为： 可以看出当b12 0或b21 0时，VAR模型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关。当b12 = b21 = 0时，即变量之间没有即时影响，上述协方差为0，相当于对B0矩阵施加约束。 （二）多变量的SVAR模型 考虑k个

4、变量的情形，p阶结构向量自回归模型SVAR(p)为： 其中： 可以将上写成滞后算子形式： 其中： ，B(L)是滞后算子L的 kk 的参数矩阵，B0 Ik。如果B0 是一个下三角矩阵，则SVAR模型称为递归的SVAR模型。 假定结构式误差项(结构冲击) ut 的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样，如果矩阵多项式B(L)可逆，可以表示出SVAR的无穷阶的VMA()形式： 其中： （三）结构VAR(SVAR)模型的识别条件 自Sims的研究开始，VAR模型开始取代了传统的联立方程模型，被证实为实用且有效的统计方法。VAR模型存在参数过多的问题，只有所含变量较少的VAR模型才可以通过OLS和极

5、大似然估计得到“满意”的估计结果。 为了解决参数过多的问题，通过对参数空间施加约束条件从而减少所估计的参数，SVAR模型就是其中的一种。 模型的识别性问题，即能否从简化式参数估计得到相应的结构式参数。对于k元p阶简化VAR模型： 利用极大似然方法，需要估计的参数个数为：对于相应的k元p阶的SVAR模型： 来说，需要估计参数个数为： 要想得到结构式模型惟一的估计参数，要求识别的阶条件和秩条件，即简化式的未知参数不比结构式的未知参数多。因此，如果不对结构式参数加以限制，将出现模型不可识别的问题。 对于k元p阶SVAR模型，需要对结构式施加的限制条件个数为：k(k-1)/2。这些约束条件可以是同期(

6、短期)的，也可以是长期的。 【1】短期约束 短期约束通常直接施加在矩阵D0 上，表示经济变量对结构冲击的同期响应，常见的可识别约束是简单的0约束排除方法。 通过Cholesky-分解建立递归形式的短期约束： Sims提出使D0 矩阵的上三角为0的约束方法，这是一个简单的对协方差矩阵 的Cholesky-分解。Cholesky-分解的基本思想： 对于任意实对称正定矩阵 ，存在惟一一个主对角线元素为1的下三角形矩阵G和惟一一个主对角线元素为正的对角矩阵Q使得： （*） 利用这一矩阵G可以构造一个k维向量ut ，构造方法为 ut =G-1t，设 ： 则：由于Q是对角矩阵，可得ut 的元素互不相关，其

7、（j, j）元素是ujt 的方差。令Q 1/2表示其（j, j）元素为u jt 的标准差的矩阵。上式(*)可写为： 其中：P=GQ1/2是一个下三角矩阵，上式被称为Cholesky (乔利斯基)分解。 Sims施加约束的基本过程是： 由于 是正定矩阵，所以可得到Cholesky因子P，即 。而且，当给定矩阵 时，Cholesky因子P是惟一确定的。 对于VAR模型两边都乘以P 1，得到： 其中： 。由于： ut 是协方差为单位矩阵的白噪声向量，即： 依据经济理论假设的短期约束 一般短期约束的施加不必是下三角形式的。SVAR模型中的同期表示矩阵B0 是D0 的逆，即 ，因此可以通过对B0 施加限

8、制条件实现短期约束。 例如：对于税收(y1t)、政府支出(y2t)和产出(y3t)的三变量SVAR模型来说 ，由于模型中包含3个内生变量，则k(k-1)/2= 3，因此需要对模型施加3个约束条件，才能识别出结构冲击。 【2】 长期约束 关于长期约束的概念最早是由Blanchard 和 Quah在1989年提出的，是为了识别模型供给冲击对产出的长期影响。施加在结构VMA()模型的系数矩阵Di (i=1，2，)上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是对 的第i行第j列元素施加约束，典型的是0约束形式，表示第i个变量对第j个变量的累积乘数影响为0。（四）SVAR模型的3种类型 SVAR模型

9、根据其建模特点，主要分3种类型：K-型，C-型和AB-型，其中AB-型是最通常的类型，而K-型、C-型都可视为是AB-型的特殊形式。【1】 K-型 假定K是一个(kk)的可逆矩阵，K矩阵左如下形式的VAR模型： 其中： 扰动项 t 转变为正交扰动项ut (协方差矩阵是一个单位阵)，向量yt中各元素间的当期相关关系是由可逆矩阵K来决定的。假定知道t 的方差-协方差矩阵的真实形式： 从而有： 这意味着对矩阵施加了k(k+1)/2个非线性的限制，K中剩下k(k1)/2个自由参数，还须给出k(k1)/2个短期约束条件。【2】 C-型 假定C是一个(kk)的可逆矩阵，对于VAR模型： 如果满足下列条件：

10、 则称上述模型为C-型SVAR模型。 在这一模型中，ut是相互独立的扰动，而t是独立正交的扰动项ut的线性组合。与K-型模型所不同的是：在这个模型中，内生变量之间没有同期关系，每个变量对正交扰动项的响应是通过矩阵C模拟的。 由 ，可以得到 。假定 的形式已知， 意味着对C矩阵施加了k(k+1)/2个非线性的限制性条件，C中剩下k(k1)/2个自由参数。如果C矩阵是下三角矩阵，则C矩阵就相当于Cholesky-分解的P矩阵。 【3】 AB-型 假定A、B是(kk)的可逆矩阵，A矩阵左乘上式形式的VAR模型，则得： 如果A、B满足下列条件：则称上述模型为AB-型SVAR模型。 注意到AB-模型是最

11、典型的SVAR模型，可以涵盖K-模型和C-模型。如果AB-模型中的A矩阵为单位矩阵，则AB-模型就转化为C-模型。如果AB-模型中的B矩阵为单位矩阵，则此AB-模型为K-模型。 由：得到：如果 的形式已知，则 是对矩阵A、B的参数施加了k(k+1)/2个非线性限制条件，剩下2k2 k (k+1)/2个自由参数。 在VAR窗口中选择：Procs /Estimate Structural Factorization 即可。 在E-views中SVAR模型采用AB-型： 其中et，ut是k维向量，et是可观测到的（或简化式的）残差，相当于前文的t，而ut 是不可观测的结构新息(结构式残差)。A、B是

12、待估计的k k矩阵。简化式残差et的协方差矩阵为 （五）在E-views中估计SVAR模型 用文本形式表示的短期约束： 对于更一般的约束，可用文本形式指定可识别的约束。在文本形式中，以一系列的方程表示关系：Aet = But ，并用特殊的记号识别et和ut向量中的每一个元素。A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元素。例如：对于有3个变量的VAR模型，约束A矩阵为主对角线是1的下三角矩阵，B矩阵是一对角矩阵。在这些约束条件下，Aet = But 的关系式可以写为下面的形式。 为了以文本形式指定这些约束，从VAR对象窗口选择Procs/Estimate Structure Factor

13、ization，并单击Text按钮，在编辑框中，应键入下面的方程： 特殊的关键符“e1”， “e2”， “e3”分别代表et向量中的第一、第二、第三个元素，而“ u1”， “ u2”， “ u3”分别代表ut 向量中的第一、第二、第三个元素。在这个例子中，A、B矩阵中的未知元素以系数向量c中的元素来代替。并且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式，可以依据具体的经济理论来建立约束。一旦建立了模板矩阵，在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate Structural Factorization，在SVAR Option对话框中，选择Matrix和Long-run Pattern按钮，并

14、在相应的的编辑框中键入模版矩阵的名字。 用文本形式表示的长期约束： 在VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate Structural Factorization，并击活Text按钮，在编辑框中键入下面的形式： lr2(u1)=0 zero LR response of 2nd variable to 1st shock 在撇号后面的内容是注释。这个约束以特殊的关键字“1r #”开始，数字代表受约束的响应变量；在圆括号内，必须指定脉冲关键字 u和扰动项序号，在其后紧跟等号和响应值（通常是0）。需注意：当需列出多个长期约束时，不要混淆短期与长期约束。A、B矩阵的估计： 根据上述所描述

15、的任何一种形式的可识别约束，单击SVAR Options对话框的OK按钮，可以估计A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选项，必须先估计这两个矩阵。 假定扰动项是多元正态的，EViews使用极大似然估计法估计A、B矩阵。使用不受限制的参数代替受限制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化，在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。 最优化控制(Optimization Control) 最优化过程控制的选项在SVAR Options对话框的Optimization Control栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大数和收敛标准。 估计的输出 一旦估计收敛，E-views会在VAR对象

16、窗口中显示估计的结果，包括：估计值、标准误差和被估计无约束参数的Z统计量及对数似然的最大值。基于被估计的信息矩阵的逆（Hessian的负的期望值）所估计的标准误差在最后的估计中计算。 VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。在选择滞后阶数p时，一方面想使滞后数足够大，以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方面，滞后数越大，需要估计的参数也就越多，模型的自由度就减少。所以通常进行选择时，需要综合考虑，既要有足够数目的滞后项，又要有足够数目的自由度。事实上，这是VAR模型的一个缺陷，在实际中常常会发现，将不得不限制滞后项的数目，使它少于反映模型动态特征性所应有的理想数目。二、滞后阶数p

17、的确定 确定滞后阶数的LR(似然比)检验 ： LR (Likelihood Ratio) 检验方法，从最大的滞后数开始，检验原假设：在滞后数为j时，系数矩阵Aj的元素均为0；备择假设为：系数矩阵Aj中至少有一个元素显著不为0。2 (Wald)统计量如下： 其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数：m =d+ kj，d是外生变量的个数，k是内生变量个数， 和 分别表示滞后阶数为(j 1)和 j 的VAR模型的残差协方差矩阵的估计。 从最大滞后数开始，比较LR统计量和5%水平下的临界值，如果LR 时，拒绝原假设，表示统计量显著，此时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值；否则，接收原假设。每次

18、减少一个滞后数，直到拒绝原假设。AIC信息准则和SC准则 实际研究中，大家比较常用的方法还有AIC信息准则和SC信息准则，其计算方法可由下式给出： 其中在VAR模型中n = k(d + pk)是被估计的参数总数，k是内生变量个数，T是样本长度，d是外生变量的个数，p是滞后阶数，l是由下式确定的：在E-views软件中滞后阶数p的确定： 完成VAR模型的估计，选择View/Lag Structure/Lag Length Criteria，需要指定较大的滞后阶数，表中将显示出直至最大滞后数的各种信息标准（如果在VAR模型中没有外生变量，滞后从1开始，否则从0开始）。表中用“*”表示从每一列标准中

19、选的滞后数。在47列中，是在标准值最小的情况下所选的滞后数。在E-views软件中关于残差的各种检验 【1】相关图(Correlogram) VAR模型在指定的滞后数的条件下得到的残差的交叉相关图（样本自相关）。交叉相关图3种形式示：有两种表格形式，一种是以变量来显示（Tabulate by Variable），另一种是以滞后阶数来显示(Tabulate by Lag)。曲线图（Graph）显示交叉相关图矩阵形式。点线代表滞后的相关系数加减两倍的渐近标准误差的曲线图 。【2】混合的自相关检验 计算与指定阶数所产生的残差序列相关的多变量Box-Pierce/Ljung-Box Q统计量。 同时计

20、算出Q统计量和调整后的Q统计量（即：小样本修正）。在原假设是滞后h期残差不存在序列相关的条件下，两个统计量都近似的服从自由度为k2 (h p)的2 统计量，其中p为VAR模型的滞后阶数。 【3】自相关LM检验 计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM检验统计量。滞后h阶数的检验统计量是通过残差t 关于原始右侧回归量和滞后残差 t-h的辅助回归运算得到的，这里t-h 缺少的前h个值被赋予0。参考Johansen (1995)LM统计量的计算公式。在原假设是滞后h期没有序列相关的条件下，LM统计量渐近地服从自由度为k2的2 分布。 【4】 正态性检验 这是J-B残差正态检验在多变量情形下

21、的扩展，这种检验主要是比较残差的第三、第四阶残差矩与来自正态分布的那些矩。 【5】White异方差检验 回归检验是通过残差序列对每一个回归量及回归量交叉项乘积的回归来实现的，并检验回归的显著性。 在实际应用中，由于VAR模型是一种非理论性的模型，因此在分析VAR模型时，往往不分析一个变量的变化对另一个变量的影响如何，而是分析当一个误差项发生变化，或者说模型受到某种冲击时对系统的动态影响，这种分析方法称为脉冲响应函数方法(impulse response function，IRF)。三、脉冲响应与方差分解 用时间序列模型来分析影响关系的一种思路，是考虑扰动项的影响是如何传播到各变量的。两变量的V

22、AR 模型来说明脉冲响应函数的基本思想。 （一）脉冲响应函数的基本思想 其中，ai，bi，ci，di是参数， 是扰动项，假定是具有下面这样性质的白噪声向量： 假定上述系统从0期开始活动，且设x-1 = x-2 = z-1 = z-2= 0，又设于第0期给定扰动项10 =1，20 =0，并且其后均为0，即 1t =2t =0(t ，)，称此为第0期给x以脉冲，下面讨论xt 与zt 的响应，t = 0时： 将其结果代入上式，当t = 1时：再把此结果代入式，当t=2时 ：继续这样计算下去，设求得结果为称为由x的脉冲引起的x的响应函数。同样求得x的脉冲引起的z的响应函数： 当t = 0时：将上述讨论

23、推广到多变量的VAR(p)模型： （二）VAR模型的脉冲响应函数 VMA()表达式的系数可按下面的方式给出，由于VAR的系数矩阵A和VMA的系数矩阵C必须满足下面关系： 其中：1 = 2 = = 0。关于q的条件递归定义MA系数： 考虑VMA()的表达式： yt的第i个变量yit可以写成：其中k是变量个数。 仅考虑两个变量的情形： ， q =1 , 2 , 3 ,， i , j = 1 , 2 现在假定在基期给 y1 一个单位的脉冲，即： 2 1 0 1 2 3 4 5 t则由 y1的脉冲引起的y2的响应函数为： 因此，一般地，由yj的脉冲引起的yi的响应函数可以求出如下： 且由yj的脉冲引起

24、的yi的累积(accumulate)响应函数可表示为 ：Cq的第i行、第j列元素还可以表示为 ： 作为q的函数，它描述了在时期t，其他变量和早期变量不变的情况下yi,t+q对yjt的一个冲击的反应(对应于经济学中的乘数效应)，把它称作脉冲响应函数。也可以用矩阵的形式表示为： 脉冲响应函数在E-views软件中的实现： 为了得到脉冲响应函数，先建立一个VAR模型，然后在VAR工具栏中选择View/Impulse Response或者在工具栏选择Impulse，并得到下面的对话框，有两个菜单：Display 和 Impulse Definition。Display菜单提供下列选项： 【1】显示形式

25、（Display Format） 选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则Response Standard Error选项是灰色，不显示标准误差。而且应注意：输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。 【2】显示信息（Display Information） 输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也可以输入变量的对应的序数。如果想显示累计的响应，则需要单击Accumulate Response选项。对于稳定的VAR模型，脉冲响应函数应趋向于0，且累计响应应趋向于某些非0常数。

26、 【3】脉冲响应标准差（Response Standard Error） 提供计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或Monte Carlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型（VEC）一般不一定有效。若选择了Monte Carlo，还需在下面的编辑框确定合适的迭代次数。 如果选择表的格式，被估计的标准误差将在响应函数值下面的括号内显示。如果选择以多图来显示结果，曲线图将包括关于脉冲相应的正负（+/-）两个标准偏离带。在Combined Graphs中将不显示标准误差偏离带。 Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项： 【1】 Residual-One Unit 设置

27、脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的单位度量和相关性，所以不需要转换矩阵的选择。这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应VMA()模型的系数。 设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项忽略了VAR模型残差的相关性。 【3】 Cholesky 用残差协方差矩阵的Cholesky 因子的逆来正交化脉冲。这个选项为VAR模型的变量强加一个次序，并将所有影响变量的公共因素归结到在VAR模型中第一次出现的变量上。注意：如果改变变量的次序，将会明显地改变响应结果。可以在Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义VAR模型中变量的次序。 【5】结构分解（Structu

28、ral Decomposition） 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。如果没有先估计一个结构因子分解矩阵，或者没有对模型施加约束，这个选项不能用。 【4】广义脉冲（Gneralized Impluses） 描述Pesaran和Shin(1998)构建的不依赖于VAR模型中变量次序的正交的残差矩阵。应用按上面的Cholesky顺序计算的第j个变量的Cholesky因子得到第j个变量的扰动项的广义脉冲响应。 【2】用户指定（User Specified） 这个选项允许用户定义脉冲。建立一个包含脉冲的矩阵（或向量），并在编辑框中输入矩阵的名字。如果VAR模型中有k个内生变量，则脉冲矩阵必须是k

29、行和1列或k列的矩阵，每一列代表一个脉冲向量。 例：一个有k（= 3）个变量的VAR模型，希望同步对第一个变量有一个正的一个单位的冲击，给第二个变量一个负的一个单位的冲击，建立一个31的脉冲矩阵SHOCK. 值分别为：1，1，0。在编辑框中键入矩阵的名字:SHOCK。 脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变量的冲击给其他内生变量所带来的影响。而方差分解(variance decomposition)是通过分析每一个结构冲击对内生变量变化(通常用方差来度量)的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性。因此，方差分解给出对VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重要性的信息。其基本思想如

30、下所述。 （三）方差分解 脉冲响应函数是随着时间的推移，观察模型中的各变量对于冲击是如何反应的，然而对于只是要简单地说明变量间的影响关系又稍稍过细了一些。因此，Sims（1980）依据VMA()表示，提出方差分解方法，定量地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系。其思路如下：根据式： 可知各个括号中的内容是第j个扰动项j从无限过去到现在时点对yi影响的总和。求方差，假定j无序列相关，则：这是把第j个扰动项对第i个变量从无限过去到现在时点的影响，用方差加以评价的结果。此处还假定扰动项向量的协方差矩阵 是对角矩阵，则yi的方差是上述方差的k项简单和： yi的方差可以分解成k种不相关的影响，因此为测定各

31、个扰动项相对yi的方差有多大程度的贡献，定义了如下尺度： 即相对方差贡献率(relative variance contribution，RVC)是根据第j个变量基于冲击的方差对yi的方差的相对贡献度来观测第j个变量对第i个变量的影响。 实际上，不可能用直到s = 的项和来评价。如果模型满足平稳性条件，则随着q的增大呈几何级数性的衰减，所以只需取有限的s项。VAR(p)模型的前s期的预测误差是：可得近似的相对方差贡献率(RVC)： 其中RVCji (s)具有如下的性质： 【1】【2】如果RVCji (s)大时，意味着第j个变量对第i个变量的影响大，相反地，RVCji (s)小时，可以认为第j个

32、变量对第i个变量的影响小。 方差分解在Eviews软件中的实现 VAR的工具栏中选View/Variance decomposition项。注意，因为非正交的因子分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子分解仅限于正交的因子分解。 与脉冲响应函数一样，如果改变VAR模型中变量的顺序，基于Cholesky 因子的方差分解能有明显的改变。例如，排在第一个变量的第一期分解完全依赖于它自己的扰动项。 只有像在SVAR模型中那样估计一个结构因子分解矩阵时，基于结构正交化的因子分解才是有效的。注意：如果SVAR模型是恰好可识别的，那么预测的标准误差将等同于Cholesky因子分解的标准误差。对于过度

33、识别的SVAR模型，为了保持更有效的性质，所预测的标准误差可能不同于Cholesky因子分解的标准误差。 四、AR系列动态模型内容安排： （一）ADLM模型 （二）ARMA模型 （三）ARCH模型 （四）X-ARCH模型（一）ADLM模型ADLM（autoregressive distributed lag Model）称为自回归分布滞后模型。模型的特点： 相比于标准的协整检验，不论变量是否同为过程，或同为过程，既不需要变量同阶单整，都可以用ADLM模型来检验变量之间的长期关系。模型结构典型的 模型的结构如下： 其中：L是滞后算子(lag operator，定义如下：建模方法 ADLM建模的方

34、法包括两个阶段： 【1】建立与该ADLM模型相对应的误差修正模型（ECM），并计算出ECM模型中的F统计量，判断变量间是否存在长期稳定的关系。 【2】运用ARDL模型，估计变量之间长期关系的系数。所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对其滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，具体又包括：移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。（二）ARIMA模型（1）MA过程q阶的移动平均（MA）过程可用下式表示：其中u为常数项， 为白噪音过程引入

35、滞后算子L，原式可以写成: 或者 其中 MA（q）过程的特征【1】【2】【3】自协方差 当kq时 0 当kq时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程的一个特征。（4）ARIMA模型的估计矩估计：利用样本自协方差函数和样本自相关函数，对模型的参数作估计。极大似然估计：包括无条件极大似然估计、条件极大似然估计、精确似然估计等方法。非线性估计：利用迭代搜索思想。 最小二乘估计：对于不包含MA部分的ARMA模型（即AR模型），可以利用普通最小二乘法对参数进行估计。（5）ARMA模型的预测以平稳的AR(2)过程为例：其中 为零均值白噪音过程由模型的平稳性，我们有： （三）ARCH模型Auto

36、regressive Conditional Heteroscedasticity ,简称ARCH）模型,反映随机过程的一种特殊特性：即方差随时间变化而变化，且具有波动性。ARCH模型已广泛地应用于金融领域。ARCH模型:由均值方程和条件方差方程给出： 表示t-1时刻所有可得信息的集合， 为条件方差用极大似然估计法对方程进行估计。（四）GARCH模型一般的GARCH(p,q)模型如下表示可用极大似然估计法估计。GARCH(p,q)的推广ARCH效应的识别ARCH LM Test：【1】ARCH效应的识别通常是对于残差项中是否存在自回归条件异方差现象的拉格朗日乘数检验（Lagrange mult

37、iplier test, Engle 1982）【2】ARCH LM Test 中的统计量F统计量Obs*R-squared 统计量ARCH效应的识别：原假设 ：辅助回归方程： 其中e是残差，ARCH LM Test 对最小二乘法，两阶段最小二乘法，非线性最小二乘法都适用。（G）ARCH模型的估计方法（最大似然估计法）： 对于AR(1)- GARCH (1,1)模型：可以通过最大化下述对数函数来估计模型参数：X-ARCH模型的类型：【1】GARCH-M模型【2】TARCH模型【3】EGARCH模型可以分析：【1】股市（汇市）收益波动【2】使用TARCH和EGARCH模型度量股市（汇市）收益波动非对称性【3】股市（汇市）波动溢出效应的研究利用状态空间形式表示动