分数与百分数专项思维训练

1、分数与百分数专项思维训练一、知识地图基本类型：求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）；已知单位“1”，求它的几分之几（或百分之几）；已知单位“ 1”的几分之几（或百分之几），求单位“1”。基本题型画图找对应；量不变思想解题；转化“1”；和工程问题相结合；结合还原问题的分数应用题；与行程问题相结合的分数应用题；与经济有关的分数应用题；一般复杂应用题。二、基础知识为了提高解答分数应用题的能力，首先要掌握好有关的基础知识，深刻理解分数、分 数乘除法的意义。3我们知道分数既有量的意义，又有率的意义。把三个苹果分给四个人每人分得顶个苹4果，也可以说是每人分得一个苹果的3。前者在分数前写上了一个具体的

2、单位“个”，表示 4一个具体的量值。我们就说这是分数量的意义。后者在分数前面加上一个表示单位“1”的 量“一个苹果，表示的是一个数是另一个数的几分之几的倍比关系，我们就称之为率的意 义。在解答分数应用题时，要注意找出与具体数量相对应的分率（或百分率），根据“量” 与“率”相对应的关系，找到解题线索。这是解答分数应用题的一种重要的解题思路。（一）基本关系：分率对应的量：单位“ 1”的量=分率；单位“ 1”的量x分率=分率对应的量；分率对应的量：分率=单位“ 1”的量。（二）解答分数应用题要注意以下几点：仔细读题，找出含有倍数关系的句子，确定单位“1”。如果单位“ 1”已知，那么找问题中的数量与单

3、位“1”的对应关系；如果单位“1”为所 求，就找已知数量与单位“1”的对应关系；如果是“求一个数是另一个数的几分之几”的 应用题，就从问题入手，弄清谁和谁比。列式时，分率和数量要对应。如果题中有多个单位“1”，应想法转化为统一的的单位“1” 若是较复杂的分数应用题可通过画线段图来揭示数量之间的相对应的倍数关系。（三）对于分数应用题，最主要的除了注意量率对应的思想方法外，还有两点是小学奥数， 尤其是小升初考试中的热点，即：以不变量为“1”；转化“1”。另外，结合份数比的方法来解题，是百分数应用题的常用手法。三、经典透析【例1】（）大学图书室内有一书架故事书，借出总数的75%之后，又放上60本，

4、这时架上的书是原来总数的3。求现在书架上放着多少本书？审题要点：借出总数的75%之后，还剩下25%，又放上60本，这时架上的书是原来总数 的3，这就可以找出60本书相当于故事书总数的几分之几了，问题也就可以求出来了。还可以画线段图找量率对应。详解过程：（1） 60本书相当于故事书总数的几分之几？11-（1 75%）=12（2）故事书的总数：60： =720 （本）12（3）现在书架上放有故事书多少本？720X 1 =240 （本）3答：现在书架上放有故事书240本。专家点评：本题主要考察量率对应，可以画线段图来帮助解题。 , 一，,m 十1 ,注意：本题中的量率对应还可以根据图用别的方法求。从

5、图中可以看出：故事书的3与 75%的重叠之出就是60本所对应的分率。这个分率可以用下面的三种方法求出:1（1）3 +75%1；1（2）3 （1 75%）；1（3）75%（1 3 ）；请你自己想想每种方法的道理。【例2】（） 一瓶可乐饮料，一次喝掉一半饮料后，连瓶共重700克；如果喝掉饮料1的3后，连瓶共重800克，求瓶子的重量。审题要点：如下可用文字等式来表示题中的两个已知条件：瓶重+饮料重的（1一1 ） =700克1瓶重+饮料重的（1- 3 ） =800克1 1、比较上面两个等式，可以看出800克比700克多的100克就是饮料的（】-及）比（】-3） 多的。找到了量与率的对应，就可以求出饮料

6、重，从而可以求出瓶重。详解过程：饮料重：（800-700）： （1 -1 ） -（1 -1 ） =600 （克）1瓶重：700-600X =400 （克）答：瓶子的重量为400克。专家点评：可以利用文字等式来观察量与率的对应。：题目中瓶重未知，700和800中 都包含未知瓶重，此种情况一般可考虑使用“差额法”来找到其中的对应关系，因为两者都 包含相同部分的东西，那么它们的差额是固定的，这是不变量的一个重要来源之一，同学们 应该要引起重视。同理：当两者中一者多一部分数量，另一者少同样多一部分的数量时，那么可以利用“求 和法”，确定它们的和是不变的。【例3】（）在希望学校学生阅览室里，女生占全室人

7、数的4，后来又进来两名女生，9这时女生占全教室人数的19。问阅览室里原来有多少人？9审题要点：虽然和19都是以全室人数为单位“1”，但后来的全室人数变了，所以这 两个分数的单位“1”对应的数量不相同，不能直接进行加减运算。我们要找一个不变的量 做单位“1”，把这两个分数进行适当的转化，才能正确地找出分率与数量的对应关系。注意 到阅览室里男生人数没变，所以我们就以男生人数为标准。原来女生占全教室人数的4， TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark78 o Current Document _5_, , 4 5 49_ , 10_男生占9，女生是男生的9 - 9=5，现

8、在女生占全教室人数的肉，男生占19,女生是男 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 910 994 11生的而：w =布，现在女生比原来多占男生的拓一5 =布，这个切就是2人的对应分JL / JL / JL JJL JJL JJL J率，男生人数可以求了，全室人数也可以求了。 HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 9 八 9、4 八 4、，4详解过程：2： 19+（】一J9）-+（】一9）（1 -）=36 （人）答：阅览室里原来有36人。专家点评：在做此题时一定要注意全教室的人数先后发生了变化，两个分率

9、的单位“1” 的大小不相等，不能直接相减，要先转化成单位“ 1”相同的两个分率。一般选择象本题中 的不变量“男生人数”为新的单位“1”。此题时将以整体的单位“1”转化为以部分为单位 “1”。选定不变量男生作为“1 ”之后，应该将女生的人数转化为男生“1”的分数。转化时也4可以利用份数来考虑。原来全班为9份，女生为4份，男生为5份，所以女生占男生的5。后来全班19份，女生9份，男生10份，女生是男生的10。当多个分率同时出现的时候，要把它们转化为同单位“ 1”再进行比较。【例4 （）做一项工程，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和； 丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的5 ；如果

10、三人合作只需8天就完成了，那么乙一人单独做需要多少天才能完成？审题要点：将工程作为单位1,因为三人合作需要8天可以完成工作，因此每天的总工 作效率为1，根据题意还可以算出甲和丙的工效。8详解过程：因此甲每天的工作效率为1X1 = 1 ,乙、丙二人每天的工作效率之和也为8 2 16-1 ；同时，丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率的1，即丙的工作效率为总工作效率165的；，因此丙的工作效率为3X -，由此可以得出乙的工作效率为一天=7，乙68 6 4816 48 24单独做要I： =24 （天）24答：乙一人单独做要24天才能完成。专家点评：本题为分数百分数在工程问题中的应用，一般设工作总量为单

11、位“1”。 。一 1【例5 （） A B C三个桶内都有水，如果把A桶内：的水倒入B桶，再把B桶内丁341的水倒入C桶，最后再把C桶内7的水倒入A桶，这时各桶内的水都是12升，求每个桶内原有水多少升？审题要点：该题直接计算不好下手，可以采用逆向思维，利用倒推法来解题，最后桶的1水都是12升，往回推，假设C不倒7给A，可以算出这时C和A桶内水的体积，然后再假11设B不倒顶给C，可以算出这时B和C内水的体积，再假设A不倒房给B，可以算出这时A43和B水的体积。详解过程： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 111C不倒7给

12、A，这时C有水：12：（1-7 ） =14 （升），A有水：12-14X万=10 （升） HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 111B 不倒;给 C，这时 B 有水：12：（1- ） =16 （升），C 有水：14-16X =10 （升）444 HYPERLINK l bookmark244 o Current Document 111A 不倒3 给 B，这时 A 有水：10：（1-3 ） =15 （升），B 有水：16-15X 3 =11 （升）专家点评：“倒推法“可以使解题过程简化，有时与列表法结合更加一目了然。利用倒 推法时，注意分数的单

13、位“ 1”是原来的水，所以这里应该用分数除法而不是分数乘法，对应的分率也应该是（1-了）而不是（1+房）。77【例6】（）三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的70%，兔子的速度是松鼠的2 倍，一分钟内松鼠比狐狸少跑16米，那么半分钟内兔子比狐狸多跑多少米？ TOC o 1-5 h z 审题要点：狐狸与松鼠的速度都可与兔子的速度联系起来，因此在该题中把兔子的速度 作为单位1，则狐狸的速度为7，松鼠的速度为1，松鼠在一分钟之内比狐狸少跑16米， JL Vy根据量率对应的关系，可以算出兔子的速度，也可以算出半分钟内兔子比狐狸多跑的距离。E ，71，八详解过程：兔子的速度为：16；（无-）=80 （米

14、/分）JL J HYPERLINK l bookmark207 o Current Document 17 t半分钟内兔子比狐狸多跑：80XX（1-） =12 （米）。AJL J专家点评：本题为分数百分数在行程问题中的应用，关键时找准单位1”，然后利用量 率对应等关系。单位“ 1”的选择一般有两个原则：1）不变量为单位“1”； 2）直接联系多 的部分为单位“1”，此题中兔子的速度和其他两个都有直接联系，所以应该为1”，这样其 他两个分数也好表示。【例？】（ ）中华人民共和国个人所得税法第14条规定中附有下表： 个人所得税税率表（工资、薪金所得适用）级别全月应纳税所得额税率（%）1不超过500元

15、部分52超过500元至2000元部分103超过2000元至5000元部分154超过5000元至20000元部分205超过20000至40000元部分25目前，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1600元后的余额，它与 相应税率的乘积就是应缴的税款数。（1）李教授今年5月份的工资、薪金收入为3660元，这个月他应缴纳的税款是多少？（2）顾先生7月份缴纳了 1265元个人所得税，这个月顾先生工资、薪金收入是多少元？ 审题要点：首先根据不同的收入将纳税收入分成不同档：第一档（收入500元）：纳税500X5%=25 （元）第二档（收入 2000 元）：纳税（2000 500）X10%

16、+25 = 175 （元）第三档（收入 5000 元）：纳税（5000 2000）X15%+175 = 625 （元）第四档（收入 20000 元）：纳税（20000 5000）X20%+625 = 3625 （元）很明显，李教授的工资、薪金收入为3660元，减去1600元后为2060元，很明显是属于第 二档和第三档之间的，顾先生缴纳了 1265元的个人所得税，那么他是属于第三档和第四档 之间的。详解过程：（1）：李教授应缴纳的税款为：（3660-1600-2000）X15%+（2000-500）X 10%+500X5%=184 （元）答：这个月李教授应纳税184元。（2）：顾先生是属于第三档

17、和第四档之间的，超过1600元的收入应该在500020000之间，5000以内那部分应缴纳税款为：（5000 2000）X 15%+175 = 625 （元）所以5000以上部分应缴纳税款：1265 625 = 600 （元）顾先生5000以上部分收入为：600；20%=3000 （元）顾先生的收入为：5000 + 3000+1600 = 9600 （元）答：顾先生工资、薪金收入是9600元。专家点评：本题为百分数在经济问题中的应用。【例8】( )早上水缸注满了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上 用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。问早上注入多少升水？审题要点：本题

18、涉及到各个量之间的关系比较复杂，我们可以列文字等式来将其联系起 来。白天和傍晚用去水后剩下：1-20%=80%少27 (升)晚上用去水：8%少 2.7=(80%少 27)X10%=8%少 27X10%=8%少 2.7 (升)白天、傍晚、晚上总共用去水：20%+8%+(27-2.7)=50%少1 (升)剩下的过程可以列方程，也可以用算术法。详解过程：法1：设总共x升。50%x-1= (20%+8%) x+27-2.7x=115法 2： 50%- (20%+8%)是(27-2.7)+1 升。早上水缸的水是(27-2.7 + 1)：(50%-20%-8%)=115 (升)。答：早上注入水缸中的水是1

19、15升。专家点评：本题的关键是在统一单位“ 1”后，将各个量通过一个等量关系联系起来。【例9】()有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一堆 , ，2口 入的黑子与第二堆的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的，把这三堆棋子集中在一 起，白子占全部棋子的几分之几？2审题要点：通过“第三堆里的黑子占全部黑子的 ”这个条件，可知前两堆的黑子数 占全部黑子数的3。前两堆的黑子数有多少虽然我们也不知道，但可以根据“第一堆的黑 子与第二堆的白子一样多”这个条件，我们可以换个角度思考这个问题。将第一堆里的黑子 与第二堆里的白子交换，这时就可以得到第一堆全是白子，第二堆全是黑子，即第二堆的

20、黑 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark185 o Current Document 33子占全部黑子的。又因为每堆棋子数一样多，所以其他两堆棋子数也是全部黑子的。 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 34把全部黑子看作单位“1”，所有三堆棋子数是全部黑子的5 X3=1倍。现在再来看白子与 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 32黑子的关系，第一堆全是白子，所以是全部黑子的，第三堆中黑子占全部黑子的，所 HYPERLINK l bookmark93 o Current

21、 Document 32 13 1 4以第三堆中的白子占全部黑子的，所以全部白子就占全部黑子的匚+ = w。现在 分别知道了所有棋子、全部白子与全部黑子的关系，就可以求了。 HYPERLINK l bookmark164 o Current Document 2 224详解过程：(1-) + (1-) ： (1-) x3=4答：白子占全部棋子的。专家点评：此题是通过将条件进行转化，变换思维的角度，求出每堆棋子与全部黑子的 倍数关系。四、拓展训练1、六年级参加作文、数学比赛。参加作文比赛的占参赛人数的5，参加数学比赛的占参赛 人数的5，两项比赛都参加的有12人，这个学校参加比赛的有多少人？初级点

22、拨:首先要考虑量率对应的关系，可以画线段图来帮助理解，找出与量对应的率。深度提示：我们设参加比赛的总人数为单位“1”，由图可以看出，比单位“1”多出的 那部分c-5 - 7）就是两项比赛都参加的人数。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark149 o Current Document 257. 人=小一 ,一 2 5 全解过程：这个学校参加比赛的人数为：12-（1 -5-7）= 105 （人）答：这个学校参加比赛的有105人。2、学校展示学生绘画，低、中年级科技作品共有120件，中、高年级作品共有168件，又知道低年级作品占高年级作品的7，高年级作品有多少件？初级

23、点拨：首先找准单位“1”，然后再确定可以对应起来的“量”和“率”。深度提示：可以设高年级为单位“1”，我们还是画线段图来帮助理解，明显可以看出， （168-120）是高年级比低年级多的量，而（1 3 ）是高年级比低年级多的率，这样就找出了对应的“量”和“率”。J168同中120 L一矿73全解过程：高年级作品有：(168 120)9(1 77 ) =84 (件)答：高年级作品有84件。3、一瓶酒精，当用去酒精的45%后，连瓶共重800克，当用去酒精的55%后，连瓶共重700 千克，酒精重多少克？初级点拨：这不是一道浓度问题，用分数百分数的量率对应方法来考虑，不妨画个线段 图试试看。深度提示：很

24、明显，是以酒精为单位1”，由线段图可以看出，两次使用酒精后所剩的 酒精重量之差这个“量”：(800 700)，所对应的“率”为(55%45%)，这样就找出了相对 应的量和率。800克45%700克Z55%酒精-1全解过程：(800 700)9(55%45%)=1000 (克) 答：酒精重1000克。4、甲、乙、丙、丁四人共植树60棵。甲植树的棵数是其余三人的1，乙植树的棵数是其人 ,1 Q人 ,1一,余三人的=，丙植树的棵数是其余三人的丁，丁植树多少棵？34初级点拨：本题是工程问题，我们可以利用解决工程问题的一般方法来解决。先找出不变量，工程问题一般设工作总量为单位“1”。深度提示：设工程总量

25、为单位“1”1甲植的棵数占总工程的：旦11 -2乙植的棵数占总工程的:丙植的棵数占总工程的:这样就可以分别甲、乙、131 +13141 + -4丙植的棵数1全解过程：甲植的棵数为：今x60 = 20 （棵）1 + -21乙植的棵数为：堂Yx60 = 15 （棵）1 + -31丙植的棵数为： 土x60 = 12 （棵）1 + -4丁植的棵数为：60 20 15 12 = 13 （棵）答：丁植树13棵。5、一件工程，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成，现在先由甲、丙合做 2小时后，余下的乙还需6小时完成，乙单独做这件工程需多少小时完成。初级点拨：根据题意可将条件做适当的转化，在单位“

26、1”不变的情况下，找出与“量” 相对应的“率”。深度提示：将这件工程看作单位1，根据题意可将条件做转化为：甲、乙合做2小时，乙、丙合做2小时后，余下的乙还需（6-2-2=） 2小时完成。甲、乙合做2小时，乙、丙合111做2小时后剩余的工程为1 X2一胃X2 =45101全解过程：剩余场的工程乙需要两个小时完成，所以乙单独完成这件工件需要119（ 10 92）=20 （小时）答：乙单独做这件工程需要20小时完成。6、滨海市少先队员在城乡学校“手拉手”的活动中，为山区学校捐献了一批图书。按计划 把这批书的又6本送给青山小学的；把余下的一部分送给少年宫，送给少年宫的比送给 青山小学的3倍还多136本

27、；又把第二次余下的75%又80本送给春苗幼儿园；最后还余下 300本，作为山区小学数学竞赛的奖品。问滨海市少先队员一共捐献了多少本图书？（选自 北京市第8届迎春杯小学数学竞赛决赛试题）初级点拨：这是一个量率对应问题，可以尝试运用倒推的思路来解题深度提示：将总共捐献的图书作为单位1，则给青山小学的图书为总图书的10多6本， 送给少年宫的图书是送给青山小学的3倍还多136本，即总图书的10多18+136本，题意表 明，第二次余下的图书的25%为300+80本，因此第二次余下的图书为（300+80）：25%=1520 （本）全解过程：4根据题意，送给青山小学和少年宫的图书是总图书的jo多160，因此

28、总图书为4（1520+160） 4-（1-10 ） =2800 （本）答：滨海市少先队员一共捐献了 2800本图书。1 ，7、超市商店运来264台冰箱，在两天时间里全部卖完，已知第一天卖出的顶与第二天卖出4,2 一的-相等，求这两天分别卖出多少台冰箱？初级点拨：这该题需要进行分率转化，得出第一天与第二天的倍数关系才能解题，经常 利用比例关系。一一,1 12深度提示：因为第一天卖出的下与第二天卖出的3相等，所以第一天X=第二天X，4343第一天：第二天=8 : 3。全解过程:根据总冰箱数以及第一天和第二天卖出冰箱的关系，得出每天卖出冰箱的数：8第一天卖出：264 =192 （台）8 + 33第一

29、天卖出：264X如）=72 （台）8 + 3答：第一天卖出192台，第二天卖出72台。8、服装甲的成本是定价的80%，服装乙的定价是275元，成本是220元。现在商店把1件 服装甲，与2件服装乙配套出售，并且按它们的定价之和的90%作价出售。这样每套可获得 利润80元。问：服装甲的成本是多少元？初级点拨：根据每套服装的利润，可以先得出两件服装乙的利润深度提示：2件服装乙可获得利润275X2X 90%-220X2 = 55 （元）。因此，1件服装甲 获利润80-55=25 （元）。全解过程:将服装甲的成本看作单位1，服装甲成本是定价的80%，定价是成本的125%。 因此服装甲的成本为：254（125%X9O%-1）=200 （