条件平差原理

1、9.1条件平差原理一 一 .一.一一.八 一在条件观测平差中，以n个观测值的平差值L作为未知数，列出v个未知数的条件式，nx1在VTPV = min情况下，用条件极值的方法求出一组v值，进而求出平差值。9.1.1基础方程和它的解设某平差问题，有n个带有相互独立的正态随机误差的观测值 L 人nx1为P， 它是对角阵，改正数为V，平差值为L。当有r个多余观测时 nxnnx1nx1满足r个平差值条件方程为：a L + a L + +a L + a = 01122nn ObL + bL + +bL + b = 01122nnO其相应的权阵 则平差值L应 nx1(9-1)rL + r L HH r L

2、+ r = 0112 2n n O式中a、b、r(i=1、2、n)i 1 i ia 、 b 、r以 L L + v为条件方程的系数;0为条件方程的常项数（i =1 2、n）代入（9-1）得条件方程a v + a v HH a v + w = 01 12 2n nab v + b v HH b v + w = 01 12 2n nb(9-2)式中a、w、bwawbrv + r v H卜 r v + w1 12 2n n r，为条件方程的闭合差，=a L + a L + + a L + a1122nn0=b L + b L HH b L + b1122nn0或称为条件方程的不符值（9-3）=r L

3、 + r L HH r L1A =rxna2b2a ) bnn人L =nx1L1L2L =nxlL )1L2Ln J=r x1aobop =p100P2- 0、- 0nxn 30. Pn Jrv1 v2:)waV =nx1W= rx1w:bvnJIwr J、则(9-1 )及(9-2)上两式的矩阵表达式为AL + A0 = 0(9-4)AV+W = 0(9-5)上改正数条件方程式中V的解不是唯一的解，根据最小二乘原理，在V的无穷多组解 中，取VtPV =最小的一组解是唯一的，V的这一组解，可用拉格朗日乘数法解出。为此， 设Kt =(k kbk )，K称为联系数向量，它的唯数与条件方程个数相等，按

4、拉格朗 日乘数法解条件极值商题时，要组成新的函数：二 VtPV - 2Kt (AV+W)将由对v求一阶导数，并令其为零得：=2VtP - 2KtAdVVtP = Kt APV = AtK TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark69 o Current Document V = V -1 AtK(9-6)上式称为改正数方程，其纯量形式为v = (a k + b k + rk ) (，=1、2、n)(9-7)i p i a i bi ri代 v = P-1 AtK 入 AV+W = 0 得AP-1 AtK + W = 0N = AP-1 Atrxr rxn nxn n

5、xrNK + W = 0(9-8)上式称为联系数法方程，简称法方程。式中N法方程系数距阵，为arbrrr(99)因 Nt = (AP-1 At)t = (At)t P-1 At = AP-1 At = N 故，N是r阶的对称方阵。法方程的纯量形式为aak+abk+ark+w=0paP bL p ra件1 pka+1丝1L p kbb+-也-L p kr+wb=0I（9-10）ark+k+ k+w=0_ p _apbL p rrJ从法方程解出联系数K后，将K值代入改正数方程，求出改正数 V值，再求平差值 L = L + V，这样就完成了按条件平差求平差值的工作。9.1.2精度评定当各被观测量的平

6、差值求出后，下一步就是对观测精度及平差值或平差值函数的精度 进行评定，下面来讨论这个问题。1.单位权中误差条件平差中单位权中误 （9-11）（9-12）b，关键是计算VtPV （Pvv）。下面将讨论VtPV。0 = 厂T-工 Ipwb = /或 0,从中误差计算公式可知，为了计算VtPV （Pvv）的计算方法。（1）、由匕直接计算PvvL Pv 2 + Pv 2 + + Pv 2（9-13）1 12 2n n（2）、由联系数K及常数项W计算因 + W = 0V = P-1 AtK故 VtPV = VtPP-1 AtK ）= VtPP-1 AtK=VtAtK（9-14）= （AV K = -Wt

7、K（3）、直接在高斯杜力特表格中解算将（9-4）的矩阵方程写为纯量形式则有-VtPV = 0 + Wk + Wk + + Wka a b br r-VtPV = w + Wk + Wk + + Wk w a a b br raW -l b -W -1一 raaabb 1 1brr-(r -1)pL pLp-r= 0 + (w) x (讪W -(r-1)r(9-15)W(2)平差值函数的权倒数设有平差值函数为中=f L ,L，,L )12 n(9-16)它的权函数式为：d =尊)dL + (- )dL + + (空)dL dL16L2dLn12n=了四+ f dL + + f dL 令fT =/，) 则 dp = f TdLaf 2n ndL = YL ,dL，.dL12(9