《数值分析》课后习题答案

1、课后习题解答第一章绪论习题一1.设x,x*的相对误差为5,求f(x)=nx的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有珥疋)=1斶氓疋)氐咔就IwI心已知x*的相对误差占满足菁,而|x-x+|工*|一占理）Ax)=In爲f(x)=丄J|x-x*|(5(x*)=z.lx+l，故IIlUl|l即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。x；=1.1021启;二0.031?x；=560.40解：直接根据定义和式(122)(123)则得云有5位有效数字，其误差限霸汇討旷,相对误差限餉X)弓K1L珂有2位有效

2、数字，*)斗140；)牛1心有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？(1)厂严心押1+x2)必=缺tan(N十l)_arctanN2)解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。近似数x*=0.0310,是3位有数数字。_1一_计算九庞一1严取后利用：式计算误差最小。(3+2忑丫?四个选项第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定于図=lnx的数值表X0.40.50.60.7Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675用线性插值与二次插值计算lno.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Nfewton

3、插值f并应用误差估计(5.8)。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Nbwton插值In024卫=$31470540Hlo-sgsRR遍药SIA+M2O(1O0_药)-IAX4XOO4XOO6HOOO4CCIHssaQ50L60.7川iDr奈H埒183InP54建00.20219+jo5o6o.7p5)o54=)11S02G+(艇CCI50)x004冥(000h026co392申4叭汉4iBHirSI博ms聚h八a11sl+si(5.8)；H2nmsH%煎Ljsys貞庶里UJ1得33若弘）=H张+1，求吓/和和住2,外解：由均差与导数关系加內,“5讨丹/=+%+1J0）=7!J0）=0于是川公

4、=律妇!=1丁巩2】,-H4若炖=任-心）任-巧）任-心）,再=o丄屈互异，求孑础川”卫閑的值，这里2n+1.解:了仗）=%+O（看）=0Q=0h用），由均差对称性血內，宀_刁田;+；可知当左*有恥旳,心=而当P=n+1时于是得P0：Z.00 x00：E0 xl00|feE0)轡|EEIEEOO?y(EXO)也农卫叫他5叫=|(S0)y|鬱世&1切拓圏译申0乙乙电乙10局1紇9”割鲫申佗X)-x)fc-0-x)50frlX(ZX)-x)X9E80UHL9001=供)8M辇鲫聽嗣嗨觸爭：搦齋曲牌事飘卿御宙廿5WM硏紐BJK441幽刹囑粪阱g珂|卑三阳*OllO莎HEPKioro000000E00

5、尊超呼平=(叫铝9v-Kv=o/v-W+-+c_HAv-t_hv+i_W-k=o-/L.(v-T+v)Z=EvZ-a一況给定f(x)=cosx的函数表Xi00.10.20.30.40.50.631.000000.P95000.980070.P55340.921060.877580.82534用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表f（kJAW）a2z（v7）A3（v7）A4（v7）a5z（v7）1.00000-0.005000.99500-0.00993-0.014930.000130.98007-0.009800.00012-0.02

6、4730.00025-0.000020.95534-0.009550.00010-0.034280.00035-0.000010.92106-0.009200.00009-0.043480.00044-0.00876-0.052240.85234计算心0皿20临“空2=04，用n=4得Newton前插公式N4可二朋)=兀+4/?+字述1)+警妝1)&2)+字垃1)(72兀3)=1.00000+0.48-0.00500-0.520.000130624误差估计由公式(5.17)得|K4（0.048）11.5845xl0-T其中随i二血0牛0.565计算时用Newton后插公式5.18)-0.008

7、76r1216244!=0.82534-0.34xV2fA3fA4fcosO.566+捕)二血+砒/+1)+1)&+2)+瑕+1)Q+2)(f+3)=0.84405误差估计由公式(5.19)得|7?4(0.566)|兰眷雌+Df+郭+4)|閉1.7064xlO-7这里仍为0.565求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足p(D)=p)=D,p(l)=p=1卫=1解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足鬥(0*5少“，显燃，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=，于是令耳(力=沙爲1(竹/2Q，称为第二类Chebyshev多项式试求

8、的表达式，并证明是-1,1上带权的正交多项式序列。gg皇年严15卬克00+站09亞&0二水K0000=?S09况&0童|虐M51SE69E=旺的LULL+LZ忆1仗二牝乙5+巧iTOC o 1-5 h z0-?I：r?IE69=?Z=?i35XW积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量公式所具有的代数精确度.母0）+琢叼+31）a.1l/W+A/（o）+A/WU用求积公式精确度定义，则可突出求积公式皿儿二十).I;厶廃gfge、7+(7)rw+(0)、7及专Q)r一LLCLiwf、丁91皐上言寸T1vo+十HO+?十Ho+T奇no+旳+戸卑枷0maw带wnsOH舀+戛|馳S8X4-“/(巴0上晋

9、龙口叮H+Tm(寓.!%+*()9LrK厂，0H+ToH笔+妄)十寻;Tq+陶2=0卫苑=42+0+0，相互矛盾，故A不能分解,但，若A中1行与2行交换，则可分解为LU11B=2100-1_31J|_O0h2_2_对B，显然屮片，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯C=216315.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中2-100o-12-10000-12-10,i-000-12-10000-120解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得6.用平方根法解方程组解：用分解直接算得由G=b及化=7求得尹=（126）卫=（工斗7.设甘，证明IkI

10、LM解：就二嗓忖HI.即啊/帆，另一方面&设范数计算A的行范数，列范数及F-范数和20.60.50.10.30.370.330.330.34()=0.68534才卫二故国2=J0.68534=0.827859.设快为封上任一种范数，化严是非奇异的，定义H=IH，证明処讪叫证明：根据矩阵算子定义和|L定义，得P非奇异，故X与y为一对一，于是114弋二|円鬥求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计罟.240-179壽;:=：,即240-179.5即（占+砂0+&）=鸟解：记240-319A-1792400-0.58A=-0.50则Ax=b的解兀二4,站，而僅+倾x+和的解(工+岳)=(&跌故凶

11、LTI釧4而12404991793197Cand240=626.211=01_1111=0-56012由（3.12）的误差估计得IML&IL忖LA-Cod（A圖L幻刃4肚10表明估计幘IL=4略大，是符合实际的。是非题(若是在末尾()填+不是填-):题目中其=(、g口丫已疋=(、%)已若A对称正定，応加则叽=(血孟严是史上的一种向量范数()xeTOC o 1-5 h z定义岡打=唱藍幅是一种范数矩阵()定义=(含泸是一种范数矩阵()只要“，则A总可分解为A=LU其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵()只賈就唇o则总可用列主元消去法求得方程组加”的解()若A对称正定,则A可分解为=山，其中L为

12、对角元2素为正的下三角阵()对任何朕护都有I观羽II*K()若A为正交矩阵，则如(业=1()答案:(1)(+)(2)()(3)(+)(4)()(5)()(6)()(7)()(8)()第六章解线性方程组的迭代法习题六证明对于任意的矩阵AJ序列I*討討討收敛于零矩阵解：由于陞卜制丽吒心故肚討=。方程组卩巧+2x2+x3=-12-x1+4x2+2x3=202x1-3x2+10 x3=3(1)考查用Jacob法和GS法解此方程组的收敛性.写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以叽(0附计蜩|严-叫计为止42-310A=An解：因为具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛(2)J法得迭代公式是L3鱼gw

13、FIi&SSE.S6666OJV28寸)u亘暮H(L点+LXI)于lx疔fLX+&十“荔(判+亍)丁1肚so幵2煮手0羽訂十云邑*啟6诊医舊黨啟7H飞VoiTO聖+吉42j*r7fxHLK(VJ7T+O十hlk(亍耳；)手亘总敛gooer:S(12迈T區熄葢13lasaoxsslHef+IqH+hlj(0H品空二)skEan而Gauss-Seide迭代法为其迭代矩阵由于心二成，故Jacob迭代法与Ghuss-Seidel法同时收敛或同时发散。下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解，是否收敛?12-2A=111221解：Jacob法的迭代矩阵是_022兄2-2B=DL+U)=-101,

14、d亡tM-B)=21=0_22oj222即妣駆-毋二左二a，故n，J法收敛GS法的迭代矩阵为00_-1_0-22_0-22G=9-Z尸11000-102-3_221_000_0022-2det(Zf-G)=0A-23=A(A-2)2=。局=。池2=3200几2故口仝沁，解此方程组的GS法不收敛。10a0k=b10b设o&JcfetAe0，用,b表示解方程组Arf的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为0a0_a0_ioTob0b-5)=b2b101010100a00a2_55如=4P代矩阵为故J法收敛的充要条件是碍战罟。GS法迭_1000_0-a0G=b10000-b05_000_1

15、得GS法收敛得充要条件是引?0由=而W3用SOR方法解方程组（分别取3=.033=13=1.1）14疋1-x2=1一心+4也一乃=4_也+4毛=-3精确解宀&1护，要求当卜T6时迭代终止,并对每一个3值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为严=（1一少）申+中（1+皆）NN4(4)aGS臂Msarp2:匸s醬3訓和()嚨：(1)亘A1sJR(M)H(lrL%(M)HlnpcclHp22w3Jiis.0GS常盍稱韧甩亘Agilf和一旦A1*w习题七1.用二分法求方程_1=0的正根，使误差小于a05解使用二分法先要确定有根区间。本题f(X)=2-x-1=ft因f(1)=-1,f(2)=

16、l,故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。2.求方程-=o在础=.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.土，迭代公式昭】=j宀i+丹迭代公式再rd卅.31，迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根解:(1)取区间UR问旗舟1?且w=-AA在1.3,1.6且，在1.3,1.6中0.488|(p(x)|0.911，则L，满足收敛定理条件，故迭代收敛。(2)评二菊1+X，在1.3,1.旬中即兀)e13L6,且松)耳(1岭在甘垃中有曲)日任故迭代收敛r、11-(3)(识冇恥)一产7

17、，在坯附近伙初決，故迭代法发散。在迭代(1)及(2)中，因为(2)的迭代因子L较小，故它比(1)收敛快。用(2)迭代，取=5,则础=1.48124&吃二1.472706,x3=1.468817?x4=1.467048=1.466243;x6=1.465877,x7=1.465710,兀=1.465634眄=1.465599,x10=1.465583,xn=1.465577,x12=1.465574x13=1.465572,x14=1.4655723设方程12-強+2匚如=0的迭代法%+i=4十|cos(1)证明对VqeR，均有鶯耳=注其中严为方程的根取坯=求此迭代法的近似根，使误差不超过心并列

18、出各次迭代值(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论2解：(1)迭代函数0=4+才如，对V坯有3-IJ-|7IJ-懿申，I、|叱|尬1|昶二了価1|7W,|&)金必亠廉輕理丫严)ra-wwa*0=w/sw0rom3n巩5(廟B旧仙砂永廨一爾為I超爾PJWW沁m丄二3的hf妙w0I9WM1比护刊i7At?=CKK=妆1小匸=工8t?=IK=0S6=吐它內匚匸二灯翌站裏uo珂I宙，子宁钿卿=-严昌皇：2V輙翊昨华E愿関睞甜辺*10=严昌皇壬翌U0珂I宙砂L也&0y曲1E0=LE0=LIMEO=C689EO=11=毁令m“叫(3).-.I.I44d+朋-吒-y-z=WJiz-z=(Xi；通1訂代0二畑龙牡克0=SlHCCO二吨住空L=5価?二咗通(I一沁%.-L-LI-%-