《机械优化设计》习题及答案1

1、机械优化设计习题及参考答案1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量X二xx.xt使f(x)tmin12n且满足约束条件h(x)=0(k=1,2,l)kg.(x)0(j=1,2,m)j1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？dfcos01+dfcos02_dfdf_cos01xodxlxodx2vz厶xo_dx1dx2_xocos02答：二元函数f(xx2)在X点处的方向导数的表达式可以改写成下面120的形式：0ddffTdxldx2xo令Vf(x0

2、)=爭=dx2则称它为函数f(x，x)在x点处的梯度。120(1)梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。(2)梯度与切线方向d垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度Vf(x0)方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-Vf(x0)方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函数f(x，x)=2x2+x2-2x+x在x=0,0t处函数变化率最1212120大的方向和数值。解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模|Vf(x0)|。求f(xl,x2)在213x0点处的梯度方向和数值，计算如下：

3、rofiOxi_r2x2+1_r_1_Ofx0_Ox2_2Vf(x0)=f+型Oxi丿|Vf(xO)|=Vf(x0)(Ox2丿52-3试求目标函数f(x,x)=3x2-4xx+x2在点Xo=1,Ot处的最速下降i2ii22方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。解：求目标函数的偏导数=6x一4x=-4x+2xOxi2Oxi2i2则函数在Xo=1,Ot处的最速下降方向是P=-Vf(X0)=-OxfOx2-6x+4xi24x-2xi2这个方向上的单位向量是：xxi2=i0 xxi2=i0-64P-6,4T-3,2Te=.=P(-6)2+4213新点是i-Xi=X0+e=新点的目标函

4、数值94一f(X1)=13一2-4何谓凸集、凸函数、凸规划？(要求配图)答：一个点集(或区域)，如果连接其中任意两点xl、x2的线段都全部否则为非凸集。函数f(x)为凸集定义域内的函数，若对任何的01及凸集域内的任意两点X1、X2,存在如下不等式：fax+(1a)xaf(x)+(1a)xLio1z对于约束优化问题mmF(X)=F(x_.兀x)X&Rf?s.t.(X)0j二1,2/-，炖若f(x)、g(x)j=l,2,.,m都是凸函数，则称此问题为凸规划。j1简述一维搜索区间消去法原理。（要配图）答：搜索区间（a,b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间（

5、a,b）内任取两点al，b1，a11)2）b,并计算函数值f（a），f（b）。将有下列三种可能情形;11（b）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a，同理，极小点应在区间（a，b）内11(a)f1(a)f11(b),1b)内13）f=ffanbl13-2.简述黄金分割法搜索过程及程序框图。(b),1这是极小点应在（a，b）11内a=a+九(ba)2a=b九（ba）其中，九为待定常数。一丸口一丸）-A3-3.对函数f(a)二a2+2a,-5a5时，写出用黄金分割法求极小点a*的前三次搜索过程。(要列表)黄金分割法的搜索过程序号aa1a2bY1比较Y20-5-1.181.185-0.9676-0.

6、9672？-1.18-0.2791.18-0.9676-0.4823-4.使用二次插值法求fx)=sin(x)在区间2,6的极小点，写出计算步骤和迭代公式，给定初始点X=2，x2=4，x3=6，8=10。解：i234244.554574.55457x44.554574.736564.72125X36664.73656yi0.909297-0.756802-0.987572-0.987572y2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708xp4.554574.736564.721254.712

7、36y-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次数K=4，极小点为4.71236,最小值为-1yyC=31，c埜ycc17c211xx2xx3xx3121231cx=(x+xFp213c3收敛的条件：Jpf(x2)f(x3),这说明x3点最好，x1点最差。为了寻找极小点，一般来说。应向最差点的反对称方向进行搜索，即通过x1并穿过x2x3的中点x4的方向上进行搜索。在此方向上取点x5使x5=x4+a(x4-x1)x5称作x1点相对于x4点的反射点，计算反射点的函数值f(X5),可能出现以下几种情形；f(x5)f(x3)即反射点比最好点好要好，说明搜索方向正确，可以往前迈一步

8、，也就是扩张。f(x3)f(x5)f(x2)即反射点比最好点差，比次差点好，说明反射可行，一反射点代替最差点构成新单纯形f(x2)f(x1)，反射点比最差点还差，说明收缩应该多一些。将新点收缩在xlx4之间f(x)f(x1),说明x1x4方向上所有点都比最差点还要差，不能沿此方向进行搜索。0 xl1.简述约束优化方法的分类。(简述约束优化问题的直接解法、间接解法的原理、特点及主要方法。)答：直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，它的基本思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内选择一个初始点x0，然后决定可行搜索方向d,且以适当的步长a沿d方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点x

9、1，即完成一个迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。所谓可行搜索方向是指，当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。产生可行搜索方向的方法将由直接解法中的各种算法决定。直接解法的原理简单，方法实用。其特点是：1）由于整个求解过程在可行域内进行，因此迭代计算不论何时终点，都可以获得一个比初始点好的设计点。2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全域最优解。否则，因存在多个局部最优解，当选择的初始点不相同时，可能搜索到不同的局部最优解。为此，常在可行域内选择几个差别较大的初始点分别进行计算，以便从求得多个局部最优解中选择最好的最优解。3

10、）要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。直接解法有：随机方向法、复合形法、可行方向法、广义简约梯度法等。间接解法有不同的求解策略，其中一种解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化成一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方法。其特点是：1）由于无约束优化方法的研究日趋成熟，已经研究出不少有效的无约束最优化方法和程序，使得间接解法有了可靠的基础。目前，这类算法的计算效率和数值稳定性也都有了较大提高。2）可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。3）间接算法存在的主要问题是，选取加权因子比较困难，加权因子选取不当，不但影响收敛速度和计算精度，甚至会导致计算失败。间接解法有惩罚函数法和增广乘子法。5-2.用内点法求下列问题的最优解：minf(x)=x2+x2-2x+1121g=3-x012提示：可构造惩罚函数解。）0(x,r)=f(x)-r工lng(x)，然后