【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】几类常微分方程典型的解法(可编辑)

1、数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】几类常微分方程典型的解法（20届）本科毕业论文几类常微分方程典型的解法摘要:自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画,微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的最为基本的数学理论和方法.在我们的现实生活中存在着各式各样的微分方程,常微分方程是其比较重要的存在形式.常微分方程作为现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,因此对常微分方程进行求解有一定的必要性.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及相关应用.关键词:常微分方程;变量分离;积分因子;伯努利方程TheSolutiontoSeveralKindsofDi

2、fferentialEquationsAbstract:Manythingsinnatureslawofmotioncanbeusedtocharacterizebythedifferentialequations.Naturalscience,socialsciencethings,thephenomenonofmovementofthemostbasicmathematicaltheoryandmethodsdifferentialequationscanbestudiedbythedifferentialequations.Inourrealworld,therearealotofkin

3、ddifferentialequations.Differentialequationisoneofthemostimportantexistingforms.Asanimportantbranchofmodernmathematics,ordinarydifferentialequationistheeffectivetoolthatpeoplesolvepracticalproblems.Thereforeitisanecessaryofsolvingordinarydifferentialequations.Thisarticlesummarizesseveraltypicalmetho

4、dsforordinarydifferentialequationsandrelatedapplications.Keywords:OrdinaryDifferentialEquations;SeparationofVariables;IntegratingFactor;BernoulliEquation目录绪论1论文选题的背景、意义1常微分方程的发展动态2几类常微分方程的一般解法5微分方程及其解的定义5变量分离法7变量代换法9常数变易法15几类常微分方程的特殊解法19凑全微分法19积分因子法2125几类解法在伯努利方程中的应用4.1伯努利方程的由来25伯努利方程的求解264.2.1变量分离法

5、26变量代换法27常数变易法28部分凑微分法29结束语30致谢31参考文献32绪论论文选题的背景、意义自然界中很多事物的运动规律可用常微分方程来刻画,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的演变规律的最为基本的数学理论和方法.常微分方程理论研究已经有300百年的历史,当牛顿Newton,1642-1727、莱布尼兹Leibniz,1646-1716创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.微分方程

6、,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.“300年来分析是数学里首要的分支,而微分方程又是分析的心脏.这是初等微积分的天然后继课,又是为了了解物理科学的一门最重要的数学,而且在它所产生的较深的问题中,它又是高等分析里最大部分思想和理论的根源.”塞蒙斯Simmons曾如此评价微分方程在数学中的地位1.常微分方程的发展极大地推动了自然科学、技术科学和社会科学的发展.到今天它已广泛地渗透到了物理学、化学、生物学、工程技术

7、学乃至社会科学等各个领域,反过来这些领域中提出的实际问题也推动了微分方程的进一步深化,使之成为当今经济发展和社会进步所不可或缺的一门技术.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的“求通解”到“求解定解问题”的转变,所以能

8、求出微分方程的解是十分重要的.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有的理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善2.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.常微分方程的发展动态常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段:常微分的经典阶段-以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段-以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段-以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段-以定性与稳定性理论为研究内容3.尽管在耐皮尔JohnNapier,15

9、50-1617所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的.1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出“微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容.牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程3莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如的方程,同一年,他又用变量分离法解出了一阶齐次方程.在17世纪,作为微积分的一

10、部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程中的是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的全微分条件.他确立了可采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解.1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的阶线性常微分

11、方程,并利用变换提出欧拉方程4.19世纪是微分方程严格理论的奠定时期,此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段,人们从求通解的热潮转向研究常微分方程的适定性理论.18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,如里卡蒂方程求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考.第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西A.Cauchy,1789-1857,19世纪20年代,他建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹RudolphLipschitz.1832-1903提出著名的“李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的

12、还有皮亚拿与皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求在点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性、奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题3.19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1826年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞

13、尔函数和第二类贝塞尔函数.另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒让德方程,并且给出了幂级数解的形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式,并指出对不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究比较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱HenriPoincare,1854-1912就开始

14、了微分方程的定性研究,从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类焦点、鞍点、节点、中心,讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫1857-1918创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文运动稳定性的一般问题中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力

15、系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微分方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型5、两生物种群生态模型6、人口模型6等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微

16、分方程的研究,做出了有意义的成果6,一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的泛函微分方程总结了他们近期的工作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程的稳定性、大型控制系统等.微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科,自1693年微分方程概念的提出到动力系统地长足发展,常微分方程经历漫长而又迅速地发展,极大丰富了数学家园的内容.物理、化学、航空航天、经济、天文、自动控制和经济领域中的许多原理和规律都可以用微分方程来描述,如万有引力定律、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反过程稳定性的研究、人口发展规律、疾病传染、

17、股票的涨跌趋势、市场均衡价格的变化等,对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此,常微分方程的理论研究和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多地应用于社会科学的各个领域.随着社会技术的发展和需求,常微分方程会有更大的发展,比如偏微分方程的迅速发展.可以预测:随着依赖数学为基础的其他学科的发展,常微分方程还会继续扩展.2-82-92-32-4几类常微分方程的一般解法微分方程及其解的定义在初等数学里已经学过方程，形如等都是方程，其中是未知量，它们的解是某个特定的值也见过另一类方程，例如，等，这里若为自变量，则和就是未知函数，它们的解是的函数，这种方程称为函数

18、方程本文研究的是另一类方程，是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程，这种方程称为微分方程其中必须含有未知函数的导数例如，2-1，2-2，2-52-6，2-7等等都是微分方程7定义2.18在微分方程中，自变量个数只有一个的方程为常微分方程ordinarydifferentialequation,ODE定义2.28在微分方程中，自变量个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程partialdifferentialequation,PDE所以，在以上的微分方程中，2-12-5式是常微分方程，自变量只有一个，2-1式、2-1式、2-5式的自变量为,是未知函数；2-3式的自变量为，是未知函数；

19、2-4式的自变量为，为未知函数2-6式、2-7式是偏微分方程,自变量有两个及两个以上，在2-6中自变量是，在2-7中自变量是,未知函数均为定义2.38微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数例如方程2-1、2-2、2-3都是一阶方程,2-4、2-6、2-7都是二阶方程，2-5是阶方程定义2.4设函数连续，且有一直到阶的各阶导数，使得则称函数为方程2-14的解8定义把含有个独立的任意常数的解称为阶方程2-9的通解为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解锁必须的条件,这就是所谓的定解条件常见的定解条件是初值条件和边值条件所谓阶微分方程2-9的初值条件是指如下个条件：当时

20、，,2-10这里是给定的个常数初值条件2-10有时可以写为.2-11满足初值条件的解称为微分方程的特解8变量分离法形如2-12的方程，称为变量可分离方程，其特点是右端为仅含有的函数和仅含有的函数的乘积9例如方程，都是变量分离方程设，分别是，的连续函数，我们分两种情况进行讨论若，先分离变量，方程两边同除以，乘以，把方程2-12化为2-13然后，两边分别对和积分，得令则式2-14可写成，2-15这里是任意常数等式2-15是方程2-12的通解通积分2若有实数，使得，则把函数常值函数代入方程2-12直接验证，可知也是方程2-12的解上述讨论说明，为了求解方程2-12，关键在于使变量和分离出来，使得的系

21、数仅是的函数，的系数仅是的函数，从而就可以通过各自积分求得其通积分，这种方法就是变量分离法9这里需要指出的是：当时，方程2-12与隐函数方程2-15是等价的，即方程2-12和2-15的解集相同由此,我们可以看出，变量分离方程的求解思路主要分为三步：1分离变量，2对方程两边同时积分并整理得通解，3由初始条件求方程的特解10求解方程2-16解由题可知原方程时变量可分离方程1当时，变量分离可得等式两边积分，有整理得2-17其中是任意非零常数2另外，经检查，也是方程2-16的解而只要我们允许上式中的可取零值，则就可被包含在上式2-17中它对应的解，因此，方程2-16的通解为，为任意常数求解方程解由题可

22、知原方程是变量可分离方程将方程变形为变量分离可得等式两边积分，有整理得即，这里是任意常数变量代换法一些方程，常常可以通过引入适当变量代换，化为变量已分离型将2-19，2-20代入方程2-18即得方程或是其他已知解法的方程我们通过两种方程来介绍变量代换法：我们称形如2-18的方程为齐次方程，其中为的连续函数显然作为的函数是零次齐次的，例如方程，都是齐次方程求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换，亦即用一个新的未知函数代替原来的未知函数，将方程2-18化成变量分离方程利用变量替换来换来解微分方程是一种常用的技巧对于方程2-18，我们做如下的变量替换，2-19亦即，这里是用新未知函数来代替原来的

23、未知函数，故也是的函数，于是2-20由此推出2-21这是一个变量分离方程，其通解为2-22再利用变换2-19可得原方程2-18的通解这时若存在使得则也是2-18的解11求解方程解此方程是齐次方程令，代入原方程，得即2-23当时，分离变量得等式两边积分，得到整理得2-24另外，由，即，知方程2-23还有解，若在式2-24中允许，则这些解包含在式2-24之中再用换回原变量，就得到原方程的通积分为，是任意常数求解方程解方程可以改写为，故它是齐次方程令，则，代入原方程，得整理得225若，分离变量，得等式两边积分，得到2-26由，知方程2-25还有解，但是，若在式2-26中允许，则解包含在式2-26之中

24、再用代入式2-26，得到原方程的通积分为，为任意常数另外，由可得解形如2-27的方程也可经过变量替换化为变量分离方程，这里均为常数对于这种方程，我们分三种情形来讨论：常数情形这时方程化为，有通解为,c为任意常数.情形即，令，这时有，这是一个变量分离方程，我们可以用变量分离法求得它的解情形即若不全为0，这时可做变换从而所求方程变为，这也是一个变量分离方程，可通过变量分离法求解若，则可取变换，再用变量分离法求得8求解方程2-28解容易看出，方程2-28是属于上面的情形，因此先求出方程组，的解为令，代入方程2-28，则有，2-29再令，即，则2-29化为，等式两边积分，得，因此记，并代回原变量，得此

25、外，容易验证，即也是方程2-29的解，因此方程2-28的通解为，其中为任意常数求解方程2-30解解方程组，得令，代入方程2-30，则有2-31再令，即，则方程2-31化为解此方程，得将换成，得故原方程的通积分为，为任意常数常数变易法一阶线性微分方程，2-32其中，在考虑的区间内是的连续函数若0，则2-32式变为，2-33为一阶齐次线性微分方程若，则2-32为一阶非齐次线性微分方程1首先对齐次线性微分方程2-33式进行求解，其中是连续函数将2-33式变量分离，得到，两边积分，得为任意常数由对数定义，即有8令，得到2-342再讨论非齐次线性微分方程2-32式通解的求法不难看出，2-33是2-32的

26、特殊情形，可以设想：在2-34中,将常数变易为的待定函数令，2-35对其求导，得2-36以2-35，2-36代入2-32，得到，即，积分后得到，为任意常数将上式代入2-35，得到方程2-32的通解2-37这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法求解方程，这里是常数解将方程改写为2-38先求解齐次线性微分方程的通解，从得到齐次线性微分方程的通解2应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解为此在上式中把看成为的待定函数，即，2-39微分之，得到2-40以2-39及2-40代入2-38，得到，积分之,求得因此，以所求的代入2-39，即得原方程的通解6.这里是任意常数求解方程解将方程改写为

27、41先求齐次线性微分方程的通解分离变量并积分之，得令是方程2-41的解，将它代入方程2-41，得到即，积分之，得因此，原方程的通解为,是任意常数几类常微分方程的特殊解法凑全微分法我们可以将一阶方程写成微分的形式，或把平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程，3-1这里假设在某矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数这样的形式有时便于探求方程的通解如果方程3-1的左端恰好是某个二元函数的全微分，即，3-2则称3-1为恰当微分方程全微分方程容易验证，3-1的通解就是，这里是任意常数方程3-1是恰当方程的充要条件是，3-3且方程3-1的通解就是对一些恰当微分方程，为了求出相应的全微分方程的原

28、函数，可以采用分组凑微分法来求解即把方程左端的各项重新进行适当的组合，使得每组的原函数容易由观察求得，从而求得，这种方法更为简便“凑全微分”这一步骤，要求我们非常熟悉一些常用的全微分公式，例如：试用凑微分法求解方程解因为所以此方程是恰当微分方程将方程重新“分项组合”，得到即，于是，即所以，方程的通解为这里是任意常数试用凑微分法求解方程解因为，所以此方程是恰当微分方程将方程重新“分项组合”，得到，即，即，所以，方程的通解为这里是任意常数积分因子法我们已经知道了全微分方程的解法，某些例如的方程虽然不是全微分方程，但是可以设法将它们化为全微分方程例如，方程不是全微分方程，但用函数乘该方程后，它变为了

29、全微分方程，其左端的原函数为一般来说，若方程3-1不是全微分方程，但是存在连续可微函数，用它乘以方程3-1后，能使方程，3-4成为全微分方程，则称为方程3-1的一个积分因子这时，是3-4的通解，因而也是3-1的通解需要注意的是，一个方程的积分因子不是唯一的根据3.1，函数为3-1的积分因子的充要条件是，即，3-5这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程要想通过解方程5来求积分因子，从而得到方程3-1的解，在一般情况下，将比求解方程3-1本身更难但是，在特殊情形中，求方程3-5的一个特解还是很容易的例如，对于方程3-1，如果存在只与有关的积分因子，则，这时方程3-5变成，即3-6由此可知，方程3

30、-1有只与有关的积分因子的充要条件是，3-7这里仅为的函数假如条件3-7成立，则根据方程3-6，可以求得方程3-1的一个积分因子3-8同样，3-1有只与有关的积分因子的充要条件是，这里仅为的函数从而求得方程3-1的积分因子8试用积分因子法求解方程解因为,，两者不等，它不是恰当方程注意到它只与有关，所以方程只有积分因子以乘原方程，整理得，这显然是一个恰当方程，通积分是试用积分因子法求解方程解因为，两者不等，它不是恰当方程注意到它只与有关，所以方程只有积分因子以乘以原方程，整理得，这显然是一个恰当方程，通积分是几类解法在伯努利方程中的应用伯努利方程的由来17世纪由牛顿、莱布尼兹创立的微积分，为数学

31、的研究提供了强有力的工具此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引尽管微积分兴起的初期还存在着一些逻辑上的缺陷，但大部分数学家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前地去开辟新的园地，如伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、魏尔斯特拉斯等人自从微积分被创立,很多数学家就用微积分这一工具去解决问题但是，他们发现有些问题不能通过简单的积分解决，而是需要其他的技术，所以，微分方程也就诞生了对于微分方程的产生于发展，伯努利家族做出了巨大的贡献在引言中提到的“等时问题”，雅各布?伯努利将其归结为求一个微分方程的解，他认为这个微分等式两端的积分必须相等，并给出解答，这是一条摆线在给出这个问题解

32、答的同一篇论文中，雅各布?伯努利提出了一个新的问题：一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点，求这个弦所形成的曲线莱布尼兹称此曲线为悬链线问题提出一年后，莱布尼兹、惠根斯和约翰?伯努利分别给出了解答对此，约翰感到莫大的骄傲，他认为这是胜过哥哥的一个重要标志，因为他的哥哥尽管提出这个问题，但不能解决在这两兄弟的互相竞赛中，在1691年到1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性软绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所形成的问题在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方程的变量分离法12著名的伯努利微分方程1是由雅各布?伯努利于1695年提出的其中为的连续函数

33、，是常数而另一个伯努利方程，4-2其中为压强，为流体的密度，为高度，为流速，为常数本文主要研究的是雅各布?伯努利提出的伯努利微分方程13伯努利方程的求解伯努利Bernoulli方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，在机械工程等方面有非常广泛的应用对求伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义很广泛的应用价值求伯努利方程解法也比较多本文主要从伯努利方程的变量分离法、变量代换法、常数变易法、凑微分法对伯努利方程进行求解定义形如，4-3的方程，称为伯努利Bernoulli方程14.其中为的连续函数，是常数变量分离法伯努利方程是一种一阶非线性常微分方程，变量分离法是通过适当的变量代换后将它化为一阶线性非齐

34、次微分方程.即对于，将方程4-3两边同乘以，得到4-4变量代换，4-5从而，4-6将4-5，4-6带入4-4，得到，4-7这是线性微分方程所以可以求对应齐次方程，4-8的解可得，4-9通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程4-7的通解，把上式中的看成为关于的待定函数，令，4-10对方程4-10两边关于求导，得，4-11将方程4-10，4-11代入到4-7并化解，得对上式两边积分，得，为任意常数4-12把方程4-12代入4-10，得，4-13最后经变量代换得原方程的通解15，把4-5代入4-13得到原方程的解为任意常数此外,当时，方程还有解变量代换法16设是伯努利方程的解，则对其求导得，代入伯努利

35、方程得，4-14令，得，4-15将4-15代入4-14，得，即故伯努利方程的通解为常数变易法16伯努利方程对应的一阶齐次线性微分方程即为2-33式，所以其通解为所以根据上面可设，4-16为伯努利方程的解,有，4-17将2-34，2-37代入伯努利方程得，即，两端取积分，故伯努利方程的通解为部分凑微分法15现在给出利用部分凑微分法的直接解法，此法的关键在于对方程中的系数的讨论当时，方程即为，为变量可分离方程,易于求解当时，若存在函数使得方程两端同乘以后左端成为某一函数的导数，则两端积分可得伯努利方程的通解：将方程两端同乘以乘以，得到，若存在，从而有其中，所以有，所以，故原方程的通解为结束语数学作

36、为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式常微分方程在很多学科领域内都有着非常重要的作用，比如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题本文主要是对部分常微分方程的求解方法做一个综述本文首先介绍了常微分方程的背景、发展历史、基本概念,再对常微分方程的几种典型解法进行归纳，即变量分离法、变量代换打、常数变易法、凑全微分法、积分因子法，然后再将这些求解方法应用于伯努利方程的求解当中由于时间仓促，水平有限，文

37、中所讨论的内容也仅停留在已有的成果基础上，希望在以后的实践中能够逐渐加深对常微分方程求解的有关问题的研究，恳请老师能够教导、指正参考文献美塞蒙斯GF.微分方程.张理京译.北京：人民教育出版社,1981.罗亚平，陈坤.微分方程M.南京:南京大学出版社,1987.张良勇，董晓芳.常微分方程的起源与发展J.高等函授学报自然科学版.2006,203:34-39.林建平.常微分方程早期发展观J.南京工程学院报社会科学版.2001,12:1-5姜启源，谢金星，叶俊.数学模型M.第三版.北京:高等教育出版社,2003.陈兰荪.数学生态学模型与研究方法M.北京：科学出版社，1991.钱祥征，黄立宏.常微分方程

38、M.湖南大学出版社.2007.王高雄，周之铭,朱思铭，王寿松.常微分方程M.第三版.北京.高等教育出版社.2006.焦宝聪、王在洪、时红廷.常微分方程M.北京:清华大学出版社，2008:10-33.江磊.几类应用变量代换求解的常微分方程J.成都纺织高等专科学报.2005，224:19.林武忠、汪志鸣、张九超.常微分方程M.北京：科学出版社，2003:16-34.W.Walter.OrdinaryDifferentialEquationsM.Springer-Verlag.2003.靳铁良.伯努利方程及其简单推导J.内江科技.2004,3:74，78.东北师范大学数学系，微分方程教研室.常微分方

39、程M.高等教育出版社.1982.杨艳红.伯努利方程的一种新解法J.科学技术与工程.2009，918:1.常秀芳，李高.关于伯努利方程的几种新解法J.雁北师范学院报.2007,232:1-2.文献综述几类常微分方程的典型解法一、前言部分说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点常微分方程，是一个有长期历史，而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义，又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持，又为其他数学分支服务的学科，是一个表现客观自然规律的工具学科，又是一个数学可以为实际服务的学科.常微分方程的形成于发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展

40、相互促进和相互推动的.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展已深刻地影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.但是，数学家发现，不是所有的微分方程的通解都能求出，从以前的”求通解”到”求解定解问题”的转变，所以能求出问分方程的解是十分重要的.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.二、主题部分阐明有关主题的历史背景

41、、现状和发展方向，以及对这些问题的评述当牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段:常微分的经典阶段-以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段-以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段-以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段-以定性与稳定性理论为研究内容1

42、.尽管在耐皮尔JohnNapier,1550-1617所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的.就像微积分在17世纪后期与18世纪前期的著作一样,常微分方程最早的著作出现在数学家门的彼此通信中,1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出”微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容.牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程1

43、.伯努利一家这个非凡的瑞士家族在三代时间里出了八个数学家,其中JacobBernoulli,1654-1705;JohannBernoulli,1667-1748和他的儿子DanielBernoulli,1700T782的工作较突出对变量分离法和换元法;欧拉Euler,1707-1783对降阶法、积分因子法和求常系数齐次线性方程的通解;达郎帕尔DAllmbert,1717-1783关于非齐次线性方程通解的叠加原理;拉格朗日Lagrange,1716-1813有齐次线性方程通解经常数变易法得出非齐次方程的特解;克莱洛Clarant,1713-1765关于全微分方程的充要条件和奇解的概念2,以及十

44、九世纪末引进算子方法和拉普拉斯Laplace,1749-1827变换等,都是求通解时期的成就3.莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如的方程,因为只要把它写成就能在两边进行积分.但莱布尼兹没有建立一般的方法.可以用变量分离法求解的方程的特点是右端为仅含有的函数和仅含有的函数的乘积,焦宝聪等将此类方程分成了当以及存在实数,使得两种情况进行讨论4.同时,在文献5、6、7、8、9中同样也详细介绍了变量分离法,且举了些例子帮助读者进行理解.文献5除了介绍类型的方程用变量分离法求解之外,还介绍了这一类型的方程用变量分离法求解.由此,我们可以看出,变量分离方程的求解思路主要分为三步:

45、1分离变量,2对方程两边同时积分并整理得通解,3由初始条件求方程的特解10.在莱布尼兹使用变量分离法求解出形如微分方程的同一年,他又解出了一阶齐次方程.他令代入方程,即可使用变量分离法求解方程.而过了50余年之后,欧拉用自变量代换把欧拉方程线性化而求得的通解,其中是常数.一些方程,常常可以通过引入适当变量代换,化为变量已分离型方程或是其他已知解法的方程.文献9介绍了齐次方程用变量代换法求解.求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换,用一个新的未知函数代替原来的未知函数,得出一个变量分离方程,故可以通过变量分离法求得它的解.文献7介绍了形如的方程用变量代换法来求解,作者针对的不同取值,分了三种

46、情况进行讨论.文献4、5、6、9、10、11、12也详细介绍了上述两种类型的方程用变量代换法求解.除此之外,还有一些文献介绍了其他类型的方程用变量代换法求解,例如:文献5还介绍了类型的方程,文献12介绍了诸如为的齐次函数,次数可以不同用变量代换法求解文献13通过对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式-齐次型方程进行研究,并将齐次方程使用”变量代换”求解推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了包括部分黎卡提方程和伯努利方程的一阶微分方程的几种新的可积类型.可以看出,变量分离和变量代换的结合使用,是求解微分方程的重要方法,很多方程并不是一开始就可以用变量分离法求解的,而是要通过

47、变量代换之后才可以使用.1693年惠更斯在教师学报中明确提到了微分方程,而莱布尼兹同年则在另一家杂志的另一篇文章中称微分方程为特征三角形的边的函数,并给出了线性方程的通解表达式,其中是任意常数.对于上述类型的方程,我们通常采用常数变易法来求解.常数变易法是前人专门针对一阶线性方程和高阶线性方程、线性方程组,创造、总结出来的一种特定的方法,它能规范化地求出线性方程的通解,还能写出线性方程的通解公式5.已知一阶齐次线性方程的通解为任意常数,将常数变易为的待定函数,即,对其进行积分、代入,并可求得一阶非齐次线性微分方程的通解7.文献8介绍了两种类型方程的常数变易法解法.针对二阶常系数非齐次线性微分方

48、程求解的现有方法的局限性,文献14中给出了常数变易法求二阶常系数非齐次线性微分方程解的方法,并给出四个求特解的公式.常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法.文献15从求解特殊的方程入手,证明了变量分离方程、伯努利方程、部分齐次方程以及其他形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法推广.与变量代换法和变量分离法一样,常数变易法也不是单独存在的,解一个方程,可能会需要这几种发放或者是更多的方法的结合.1694年,瑞士数学家约翰?伯努利在教师学报上对分离变量法和齐次方程的求解做了更加完整的说明.他的哥哥雅各布?伯努利发表了关于等时问题的解答,虽然莱布

49、尼兹已经给出了这个问题的一个分析解.1965年,雅各布?伯努利提出了著名的伯努利Bernoulli方程,19.并在1969年在教师学报上用变量分离法将它解出.同年莱布尼兹证明利用变量代换,可以将它作为一阶线性方程求解.伯努利Bernoulli方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程,在机械工程等方面有非常广泛的应用.对求伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义很广泛的应用价值.求伯努利方程解法也比较多.现在,学者们总结出了许多求解伯努利Bernoulli方程的方法,如:文献20从一阶微分方程入手,归纳、总结出伯努利方程的几种新解法,这些新解法在学习和应用微分方程时给出解决问题的思维方式和思路,令人深

50、思,它打破了沿用至今的伯努利方程的传统解法.为了避免伯努利方程的传统解法的繁琐、易出错等问题,文献21介绍一种通过部分凑微分法求解伯努利方程的新解法.文献21通过对伯努利方程常规解法的进一步探讨,总结出使求解过程简化的具体做法,从而对伯努利方程的解法进行了公式化或半公式化,提高了求解速度及准确性.在17世纪,作为微积分的一部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程中的是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的

51、全微分条件.他确立了课采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解16.有些方程虽然不是全微分方程,但我们可以乘上一个积分因子,使它成为全微分方程4.而且我们需要注意的是,方程的积分因子有无穷多个17.寻求积分因子,使一阶常微分方程转化为全微分方程形式来求解是一种好方法,但通常情况下所得到的积分因子需满足的条件为一个偏微分方程,因而给积分因子的求解带来了一定的复杂性.近几年来很多数学工作者对方程给予了很多很多的关注,给出了方程具有不同形式的积分因子的一系列理论及求解

52、方法.文献18研究了方程具有乘积形式的积分因子,得到方程具有上述积分因子的充要条件,并结合实例给出具有上述形式积分因子的求解方法.1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的阶线性常微分方程,并利用变换提出欧拉方程.17-18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段,以求通解为主要研究内容.在这一阶段还出现了许多精彩的成果.例如1964年莱布尼兹发现了方程解族的包络,1718年泰勒提出奇解的概念,克莱洛和欧拉对奇解进行了全面研究,给出从微分方程本身求得奇解的方法1.19世纪是微分方程严格理论的奠定时期.18世纪以后不断出现的特殊的

53、微分方程的求解问题,如里卡蒂方程求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考,即给定一个微分方程,它在给定的初始条件下是否有解？这个问题的解决不仅可以使数学家们避免对一些根本无解的方程做无谓的探索,而且直接影响着微分方程基础理论的建立22.第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西A.Cauchy,1789-1857,19世纪20年代,他建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹RudolphLipschitz.1832-1903提出著名的”李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿跟皮卡,他们先后

54、于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求在点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性,奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题1.19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1816年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数.

55、文献23利用朗斯基行列式和贝塞尔函数的近似公式,给出了贝塞尔方程通解的一个新方法.1818年,贝塞尔证明了第一类贝塞尔函数有无穷个零点.1824年,贝塞尔给出一个有关第一类、第二类贝塞尔函数的递推公式.后来,有很多数学家、天文学家得出贝塞尔函数的数以百计的关系式和表达式.1944年,剑桥大学出版了G.N.Watson的巨著贝塞尔函数教程,是贝塞尔函数研究成果的集成.在解析理论中另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作行星外形的研究中研究了勒让德方程,并且给出了幂级数解的形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式,并指出对不同

56、值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.19世纪方程解析理论中另外一个重点成果是关于奇点的富克斯理论.随后斯图姆和刘维尔,各自相应的研究,丰富了方程解析理论的内容.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱HenriPoincare,1854-1912就开始了微分方程的定性研究,从1881年到1886年先后发表了四篇论文,他说:”要解答的问题是动点是否描出一条闭曲线？它是否永远

57、逗留在平面某一部分内部？换句话说,并且用天文学的话来说,我们要问轨道是稳定的还是不稳定的？”从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类焦点、鞍点、节点、中心,讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.美国数学家伯克霍夫以三体问题为背景,扩展了动力系统的研究.另一位常微分方程定性理论的主要创始人是挪威数学家班迪克逊,从1900年起,他开始从事由庞加莱开创的微分方程轨线的拓扑性质的研究工作,1901年发表著名

58、论文由微分方程定义的曲线1.常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫1857-1918创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文运动稳定性的一般问题中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论,在最一般的假定下,解决了以下问题:什么时候,首次近似就是稳定性问题的解.关于李雅普诺夫意义下的稳定性和伯克霍夫意义下的极限集的表现形式是多姿多彩的.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微

59、分方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型24、两生物种群生态模型25、人口模型25等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微分方程的研究,做出了有意义的成果25,一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的泛函微分方程总结了他们近期的工

60、作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程的稳定性、大型控制系统等.微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科,自1693年微分方程概念的提出到动力系统地长足发展,常微分方程经历漫长而又迅速地发展,极大丰富了数学家园的内容.同时数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻地影响.当前,计算机的发展为常微分方程的应用及理论提供了非常有力的工具.随着社会技术的发展和需求,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化