3.1数系的扩充

1、数系的扩充金坛一中 张程自然数 若干年以前，人类的祖先为了生存，往往几十人在一起，过着群居的生活。他们白天共同劳动，搜捕野兽、飞禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用劳动所得。在长期的共同劳动和生活中，他们之间逐渐到了有些什么非说不可的地步，于是产生了语言。他们能用简单的语言夹杂手势，来表达感情和交流思想。随着劳动内容的发展，他们的语言也不断发展，终于超过了一切其他动物的语言。其中的主要标志之一，就是语言包含了算术的色彩。大约在1万年以前，冰河退却了,一些从事游牧的石器时代的狩猎者在中东的山区内，开始了一种新的生活方式农耕生活。他们碰到了怎样记录日期、季节，怎样计算收藏谷物数、种子数等问题

2、。自然数自然数是数出来的 人们在生活中经常会遇到各种相反意义的量。比如,在记帐时有余有亏;在计算粮仓存米时,有时要记进粮食,有时要记出粮食。为了方便，人们就考虑了相反意义的数来表示。把余钱进粮食记为正，把亏钱、出粮食记为负。我国三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。 负数负数负数是欠出来的分数分数是分出来的无理数 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希伯修斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，这一不可公度性与

3、毕氏学派“万物皆为数”（有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希伯修斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。 毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”。而这种“空隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种“算术连续统”的设想彻底的破灭了。不可公度的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后两千多年数学的发展产生了深远的影响。两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的

4、数。15世纪意大利著名画家达芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 然而，真理毕竟是淹没不了的。毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯修斯这位为真理而献身的可敬的学者，就把不可通约的量取名为“无理数”这便是无理数的由来。数又不够用了！小游戏：数字拆分将5拆分成两个数，使它们乘积为6；将6拆分成两个数，使它们乘积为8；将8拆分成两个数，使它们乘积为10；将10拆分成两个数，使它们乘积为26；1545年，卡尔丹引入负数的平方根；1637年，笛卡儿给出“虚数”的名称；1777年，欧拉首次使用符号i表示1的平方根；1830年，高斯把复数与几何（向量）对应起来

5、从而赋予复数几何上的解释 高斯Gauss德国卡尔丹Cardano意大利笛卡尔Descartes法国欧拉Euler瑞士复数的起源对于一元二次方程 没有实数根 的引入引入一个虚数单位：满足： 1. 2. 实数可以与它进行四则运算，原有运算律仍然成立复数的概念形如 a+bi (a,bR) 的数叫做复数（i是虚数单位）全体复数所成的集合叫做复数集,用C表示通常用字母 z 表示，即实部虚部例题讲解例1：指出下列复数的实部和虚部1.复数(abi，a，bR)2.集合表示：复数的分类两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小复数的相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即如果 ，那么0

6、0=+babia跟踪训练1下列命题：1i20；若aR，则(a1)i为纯虚数；若x2y20，则xy0；两个虚数不能比较大小.是真命题的为_.(填序号)答案解析解析当a1时，(a1)i0，所以错；当xi，y1时，x2y20，所以错.所以正确.例2：求当实数m为何值时， z (m25m6)i分别是：(1)虚数；（2）纯虚数；（3）实数例题讲解例3：(1)已知x0是关于x的方程x2(2i1)x3mi0 (mR) 的实根，则m的值(或取值范围)是_.(2)已知xi2y3xyi1i，求实数x，y的值.例题讲解222i3.若xii2y2i，x，yR，则复数xyi_.2i课堂训练4.已知下列命题：复数abi不是实数；当zC时，z20；若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2；若复数zabi，则当且仅当b0时，z为虚数；若当a、b、c、dC时，有abicdi，则ac且bd.其中真命题的个数是_.0课堂训练5.已知复数z (a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；（2）纯虚数；课堂训