2022年初中奥数题目勾股定理

1、学习必备 欢迎下载九年级数学竞赛专题 勾股定理一、选择题1 ABC周长是 24，M是 AB的中点 MC=MA=5， 则 ABC的面积是（）A12; B 16; C 24; D 30 2如图 1，在正方形 ABCD中， N是 CD的中点， M是 AD上异于 D的点，且 NMB=MBC，则AM：AB=（）A1 ; B 3 ; C 1 ; D 33 3 2 63如图 3，P 为正方形 ABCD内一点， PA=PB=10，并且 P 点到 CD边的距离也等于 10，那么，正方形 ABCD的面积是（）150+102A200; B 225; C 256; D4如图 4，矩形 ABCD中， AB=20，BC=

2、10，若在 AB、AC上各取一点 N、M，使得 BM+MN的值最小，这个最小值为（） (4)A12; B 102 ; C 16; D 20 二、填空题1 如 图 ， ABC 中 ， AB=AC=2， BC 边 上 有 10 个 不 同 的 点P 1,P 2,2P 10，记P iC（ i = 1 ， 2 ， ， 10 ）， 那 么 ，MiAP iP iBM1M2M10=_。2 如图，设 MPN=20 ， A 为 OM上一点， OA=4 3 ，D 为 ON上一点， OD=8 3 ，C 为 AM上任一点， B 是 OD上任意一点，那么折线 ABCD的长最小为 _。3如图，四边形学习必备欢迎下载ABC

3、D的ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB， PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形面积 =_。4若 x + y = 12，那么2 x4y29的最小值 =_。5已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为 _。三、解答题1如图ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过 ABC内的点 P 向 ABC三边分别作垂线 PD，PE， PF，且 BD+CE+AF=27，求 BD+BF的长度。2如图，在ABC中， AB=2，AC= 3 ， A=BCD=45 ，求 BC的长及BDC的面积。3设 a,b,c,d都是正数。学习必备欢迎下载求证：a2c

4、2d22 cdb2c2a2b2d22 ad3 ，CD=6，求4如图，四边形ABCD中，ABC=135 ， BCD=120 ， AB= 6 ，BC=5-AD。5如图，正方形ABCD内一点 E，E 到 A、B、C三点的距离之和的最小值为26，求此正方形的边长。学习必备 欢迎下载答案 一、选择题 1C 2A 3B 4C 5C 解答：1 MA=MB=MC=5 ACB=90知周长是 24，则 AC+BC=14，AC 2 +BC 2 =10 2 ，2ACBC=(AC+BC) 2 -(AC 2 +BC 2 ) = 14 2 -10 2 =4 24 S ABC 1 AC BC 24 2 2如图，延长 MN交

5、BC的延长线于 T，设 MB的中点为 O，连 TO，则 BAM TOB AM：MB=OB：BT MB 2 =2AMBT （1）令 DN=1，CT=MD=k，则 AM=2 k 所以 BM=AB2AM24( 2k)24 3BT= 2 + k代入（ 1），得 4 + (2 k )2 = 2 (2 k ) (2 + k ) 所以 k = 所以 AM：AB=2 ：2 = 3133如图，过O作 EFAD于 E，交 BC于 F；过 O作 GHDC于 G，交 AB于 H 设 CF=x，FB = y, AH = s, HB = x, 所以 OG=x, DG = s 所以 OF 2 =OB 2 - BF2 =OC

6、 2 -CF2即 42 - x2 = 32 - y22所以 x2 - y2 = 16 9 =7 （1） 12 2 2 2同理有 OH 2 =12 - s2 = 32 - t2所以 t2 - s2 = 32 - 12 = 8 （2）又因为 OH 2 +HB 2 =OB 2即 y2 + t2 = 9 （1）- （2）得 (x2 +s2 ) (y2 + t2 ) = 所以 OD 2 =x2 + s2 = (y学习必备欢迎下载2 + t2 ) 1 = 9 1 = 8 所以 OD=2 24如图，过 P 作 EFAB于 E，交 CD于 F，则 PFCD 所以 PF=PA=PB=10，E 为 AB中点设 P

7、E = x ，则 AB=AD=10 + x 所以 AE= 1 AB= 1 (10 + x) 2 2在 Rt PAE中， PA 2 =PE 2 +AE 2所以 10 2 = x 2 + 1 (10 + x ) 2 所以 x = 6 2所以正方形 ABCD面积 =AB 2 =(10 + 6) 2 = 256 5如图，作 B 关于 AC的对称点 B ，连 A B ，则 N点关于 AC的对称点 N 在 A B 上，这时， B 到 M到 N的最小值等于BMN 的最小值，等于B到 A B 的距离 BH ，连 B 与 A B 和 DC的交点 P，则 S ABP = 1 20 10=100，2由对称知识，PA

8、C=BAC=PCA 所以 PA=PC， 令 PA=x，则 PC=x，PD=20 x ，在 Rt ADP中， PA 2 =PD 2 +AD 22所以 x = 12.5 所以 x2 = (20 x )2 + 10因为SABP=1 PA2BH 16所以 BH =2S ABP100.52PA12二、填空题140；212；315 432；2413；56，8，10 或 5，12，13 解答：学习必备 欢迎下载1如图，作 ADBC于 D，在 Rt ABD和 Rt APi D中， AB 2 =AD 2 +BD 2AP2AD2PD2 ，所以ABAP i2AD2BD2(AD2P iD)2BD2P iD2(BDP

9、iD)(BDPD)PCP iB所以AP i2P iCPBAB24所以Mi4所以M1M2M10403 如图，作 A关于 ON的对称点 A ，D关于 OM的对称点 D连结 AB，CD ，则 A B=AB，C D=CD，从而 AB+BC+CD=A B+BC+CD A D因为 A ON=MON=MOD =20 ，所以 A OD =60又因为 OA =OA=4 3 ，OD =OD=8 3 ，所以 OD =2OA即 OD A 为直角三角形，且OA D=9043)212所以 AD =OD2 OA2( 83)2(所以，折线ABCD的长的最小值是12 3如图，作PMAB于 M，PNBC于 N，设 AB = m,

10、 PM = x, PN = y，则x2y24 ( )1x2(my )2(12 )(mx)2y29 (3 )由（ 2）、（3）分别得，x2m22myy2m1（3）0ym2m3;（4）y2m22mxx29将（ 1）代入（ 4）得22 my32将（ 1）代入（ 5）得m2学习必备x欢迎下载2mx50m2m5;2把 x,y 的表达式分别代入（1）得m410m2171022因为 m 2 0 所以 m 2 =5+225522,AD所以 AB=m522,BC2所以SABCD1(ADBC)AB153 22244如图， AB=12， AC=2，BD=3，且 ABAC，ABBD，P 在 AB上且 PA=x，PB=

11、y，连 PC，PD，在 Rt CAP和 Rt DBP中PCAC2PA2x24 ,CD的长度，而8 )0PDBD2PB2y29如图， P 点在P 位置时， PC+PD的值最小，为线段ab(ab4 a4 bCD=(23 )212213所以x24y29的最小值为13。5设三边长为a,b,c ，其中 c 是斜边，则有a22 bc21( )abcab( 3 )2（2）代入（ 1）得a2b2(abab )2即24因为 ab 0 所以 ab 4a 4b + 8 = 0 所以a4b84(a,b 为正整数 ) 所以 b 4 = 1，2，4，8，所以 b = 5 ，6， 8，12；a = 12 ，8， 6，5；c

12、 = 13 ，10，10，13，所以，三边长为 6，8，10 或 5， 12，13 三、解答题1如图 , 连结 PA,PB，PC，设 BD=x，CE=y，AF=z，则 DC=17-x，EA=18 y ，FB = 19 z 在 Rt PBD和 Rt PFB中，有x2PD2( 19z)2PF2学习必备 欢迎下载同理有：y2PE2( 17x )22PD2z2( 17x)2( 18y )2( 19z )2z 2PF2( 18y )2PE2将以上三式相加，得xy2即 17x + 18y + 19z = 487 又因为 x + y + z = 27， z ) = z 1 + 19 z = 18 所以 x

13、= z 1, 所以 BD + BF = x + (19 2如图，作CEAB于 E，4661则 CE=AE=2 AC 262所以 BE=AB-AE=2 - 6 22又BC2CE2BE2726所以 BC=CE2BE2再过 D作 DFBC，交 CB延长线于 F，并设 DF=CF=x，则 BF= x BC = x + 1 - 6又 Rt DFBRt CEB，所以 DF：BF=CE：BE，即 x：(x + 1 - 6 ) = 6:4262所以 x = 326326962所以S BCD1BCDF1(61 )22244 如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形 ABCD，在 Rt ABE中，

14、 BE=AE2AB2d22 cd所以 BE=a2(cd)2a2c2在 Rt BCF中，BF=BC2CF2(ab )2d2a2b2d22 ab在 R t DEF中， EF=DE2DF2b2c2学习必备 欢迎下载在 BEF中， BE+EFBF 即a2c2d22 cdb 2c2a2b 2d22ab5 如图，过 A作 AE BC交 CD于 E，则 1=45 ， 2=60 ，过 B 作 BFAE于 F，作 CGAE于 G，则 Rt ABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，又因为 AB= 6 ，BC=5-3 ，所以 BF=AF= 2 AB= 3 ，所以 CG=BF= 3 ，2所以 CE= 2 CG=2，EG= 1 CG=1 3 3所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过 D作 DMAE延长线于 M MED=180 - AED=180 - BCD=180 -120 =60所以 EM= 1 DE=2，DM=23 DE=2 3 219在 Rt AMD