时间序列分析方法 第06章 谱分析

1、注意到谱是w的函数：1)=乙 y e-iw JJ = -8给定任何特定的w值和自协方差y j的序列y j 笑，原则上都可11 孕SY (w) =y 0 cos( 0) - i sin( 0) + X y .2 兀2 兀J=1 7cos( w J) + cos( -w J) - i sin( w J) - i sin( -w J)卜J第六章谱分析Spectral Analysis到目前为止，时刻变量七的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的 模型形式为：=日 + Xw 8J=0我们研究的重点在于，这个结构对不同时点,和T上的变量Y和Y,的协方差具有什么样 的启示。这种方法被称为在时间

2、域(time domain)上分析时间序列;y +：的性质。在本章中，我们讨论如何利用型如cos( wt)和sin( wt)的周期函数的加权组合来描述时间 序列Yt数值的方法，这里w表示特定的频率，表示形式为：=日 + J a (w) cos( w t) dw + fm 6 (w) sin( w t) dw上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列;Y+：性质时所发挥的重要 程度如何。如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程 既有时

3、域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表 示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表 示更为简单。6.1母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。6.1.1母体谱及性质假设;Yt二是一个具有均值H的协方差平稳过程，第J个自协方差为:Y 顶=cov( Yt , 丫)=E (Yt - p)(Yt-J f)假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：+8gY (乙)=X y ,ZJJ = -8这里z表示复变量。将上述函数除以2兀，并将复数z表示成为指数虚数形式z = exp(-iw)，i = 匚1，则得到的结果(表

4、达式)称为变量Y的母体谱：s (w) = g (e-iwY2兀 Y以计算(w)的数值。我们可以将e -心j表示成为:利用De Moivre定理，e -iwj = cos( w J) - i sin( w J)因此，谱函数可以等价地表示成为：1s (w)= 乙 Y , cos( w J) i sin( w J)J = -8L =L.因此上述谱函数化简为:注意到对于协方差平稳过程而言，有:利用三角函数的奇偶性，可以得到： TOC o 1-5 h z 1 抒s (w) =Y2 兀0j = 1 jJ假设自协方差序列y +s是绝对可加的，则可以证明上述谱函数s (w)存在，并且是w j -sY的实值、对

5、称、连续函数。由于对任意2兀化，有：s(w + 2兀k) = s(w)，因此s(w)是周 期函数，如果我们知道了 0,兀内的所有sY (w)的值，我们可以获得任意w时的s：(w)值。6.2不同过程下母体谱的计算-s假设随机过程Y +s服从MA (s)过程：Y = +V (L)这里：b 2 , s = tE ( t )=根据前面关于MA (s)过程自协方差生成函数的推导：gY (z) = b 2V (z)V (z-1)因此得到MA (s)过程的母体谱为：s (w) = b 2V (e -iw )V (eiw )Y2兀例如，对白噪声过程而言，v (z) = 1，这时它的母体谱函数是常数:b 2s

6、(w)=下面我们考虑ma过程，= + 0 此时：v (z) = 1 + 0 z，则母体谱为：sY (w) = b 2(1 + 0 e -，w )(1 + 0 eiw )=-b 2 (1 + 0 e -iw + 0 eiw + 0 2 ) 2兀可以化简成为：s (w) = b 21 + 0 2 + 20 cos( w)显然，当0 0时，谱函数sY (w)在0,兀内是w的单调递减函数；当0 0时，谱函数 s (w)在0,兀内是w的单调递增函数。对AR过程而言，有：= c +。Y + 这时只要I $ I 1，则有：V (z) = 1/(1 - z)，因此谱函数为：12 J b 2Y 2 兀(1 _

7、e-i w )(1 _ eiw )2 兀(1 - e -iw - e，w + 2 )1谱函数七(w)在0,兀内是w的单调递增函数；当。 0时时，谱函数s (3 )在0,兀内是3的单调递减函数。一般地，对 ARMA (p, q)过程而言：Y = c + $ Y +$.Y + . + $ Y + + 01 1 + 02 2 + . + 0 + 0 e 23 + . + 0 e f3 )-$ e 23 - . - $ e -，p3 ) ei23 + 0 eiq3 )- $ eip3 )ARMAt1 t-1+$ 2 Yt-2则母体谱函数为：q 2 (1 + 0 e - i3Y2 兀(1 - $ e -

8、 i 3(1 + 0 ei3 + 0(1 - $ ei3 - $ ei 23如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解:1 + 0 z + 0 z2 + + 0 zq = (1 门 z)(1 门 z) (1 门 z) TOC o 1-5 h z 12q12q1 - $ z - $ z2 - $ z p = (1 -入 z)(1 -入 z)(1 -入 z)12p12p则母体谱函数可以表示为：FI 1 +门 2 2门，cos() s ()=42 F 1 + 湛-2 入.cos()J=1从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列y+;，原则上我们就可以计算出任意 3的谱函数 (3

9、)的数值。反过来也是对的：如果对所有在0,兀内的3，已知谱函数(3 )的数值， 则对任意给定的整数k，我们也能够计算k阶自协方差y k。这意味着母体谱函数sy (3 )和自 协方差序列y二包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出 的推断。下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题6.1假设七二是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关 系为：= s ()e， kd 上述公式也可以等价地表示为：= s ()cos( k) d利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。解释母体谱函数假设k = 0，则利用命题6.1可以得到时间序列的方

10、差，即y0，计算公式为：= s ()d 根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间一兀，兀内的面积就是y0，也就是 过程的方差。更一般的，由于谱函数sy (3)是非负的，对任意气e 0,兀，如果我们能够计算： s ()d%这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为七的方差中与频率的绝对值小于气的成 分相关的部分。注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：s (ot )d=2 $ (ot )d-i 70 7这个积分表示频率小于的随机成分对7方差的贡献。但是，频率小于OT1的随机成分对7,方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们 考虑更为特殊一些的时间序列模型：7 = a cos( ot t

11、) + 5 sin( ot t)j=1这里a j和5 j是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t，有E7 = 0。进一步假设序 列(a .M和5 .M是序列不相关和相互不相关的：b 2 j0,1。2，j = k，E (5 5 )=0, j 丰 k ，E(a 5 ) = 0，对所有的j和kt) L b 2 Los 2 (ot t) + sin 2 (ot t) j j j jj=1这时七的方差是：2 (ot t) + E (5 2 ) sin 2 (ot具有频率ot j的周期成分对7的方差的贡献部分是b 2。如果 . otm k，则7,的方差中由频率小于或者等于OTj的周期E(7 2) = E(

12、a 2)cos t j j=1 M = b 2 j j=i因此，对这个过程来说，频率是有顺序的：0 ot ot形成的部分是：b ； +b ； + .+b 2。这种情形下7t的k阶自协方差为：E(7 7) = (E (a 2) cos( ot t) cos ot (t k) + E(5 2) sin( ot t) sin ot (t k)t t -kjjjjjjj=1M= b 2 (cos( ot t) cos ot (t k) + sin( ot t) sin ot (t k)j=1M= b 2 cos( ot k)j=1因为过程7 的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平

13、稳 过程。但是，可以验证此时的自协方差序列(y ：。不是绝对可加的。虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献， 我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对于一般的情形，著名的谱表示定理 (the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期 成分的和形式。对任意给定的固定频率OTe 0,兀，我们定义随机变量a (ot )和5 (ot )，并假设可以将一 个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：7 = p + ja (ot) cos( ott) + 5 (ot ) sin( ott

14、)dot这里需要对随机变量a (ot)和5 (ot)的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。 6.2 样本周期图 Sample Periodogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程七，我们已经定义在频率处的谱 函数值为：Sy (w)=上 g Y (e -e )=上 L Y e-ie j，y .三 E( - p)(Y - )j = s注意到母体谱是利用y +8表示的，而Y +8表示的是母体的二阶矩性质。 j j = 0j j = 0给定由y 1, y2，yT表示的T个样本，我们可以利用下述公式计算直到(T - 1)阶的样本自协方差:y = l yT *t=1

15、我们称其为样本周期图:(T-j)-1 l (y* - y)(- y0，1，,T -1 t = j+1Y ,-j对于给定的e，我们可以获得母体谱密度对应的样本情形，S (e) = - TL1 y e-ie/Y2兀j=-t+1样本周期图也可以表示成为如下形式：S (e) = y + 2 Y y cos( e j)j=1类似地，我们可以证明样本周期图下的面积等于样本方差:7 0 = f+K S (e )de样本周期图也是关于原点对称的，因此也有：Y0 = 2f71 Sy (e )de更为重要的是，谱表示定理在样本情形也有类似的表示。我们将要说明，对于平稳过 程的任意一个容量为T的观测值序列y 1,

16、y 2,.,yT，存在频率 a , a ,., a ，5 , 5 ,., 5使得t期的y值可以表示成为： 12M 12My =p + L a cos e (t - 1) + 5 sin e (t - 1) tj=1其中：当j丰k时当j丰k时对于所有的j和k，a cosy的样本方差是T -1 Lt=1 t由样本周期图Sy (e,)给出。我们对样本容量是奇数的情形展开讨论上述谱表示模式。这时M三(T - 1)/2个不同频率构成的周期函数，频率e , e，e如下:2 M兀e =m t&cos e(t - 1)与 a cos e (t - 1)不相关；8 sin e , (t - 1)与 5 sin

17、e (t - 1)不相关；e(t - 1)与5 k sin e (t - 1)不相关。T1(yf - y)2，该方差中可以归因于频率为e的周期成分的部分 jy可以表示成为由2兀4兀e. =，e 2 =因此最高频率为：2 M 兀2(T 1)兀T2 T 兀我们考虑y基于常数项、正弦函数和余弦函数的线性回归：y =. + Y a cos(t - 1) + 8 sin(t - 1) + uijj jj=1将这个回归方程表示成为下述方式：y = 8x + u其中：x = 1, cos(t 1), sin(t 1),，cos(t 1), sin(t 1)，这是 一个具有(2M + 1) = T个解释变量的

18、回归方程，因此解释变量与观测值是一样多的。我们将 证明解释变量之间是线性无关的，这意味着七基于xt回归的OLS估计具有惟一解。该回归 方程的系数具有显著的统计意义：(oc 2 +畚2)/2表示七中可以归因于频率o .的周期成分的 那部分。这就是说，任意观测到的序列y 1? ,., yT，它都可以利用上述周期函数形式表示， 并且不同频率的周期成分对方差的贡献都可以在样本周期图中找到。命题6.2 假设样本容量是奇数，定义M三(T - 1)/2，并设定o = 2兀i/T，jj = 1,2, . ,M，假设解释变量为：x = 1, cos o (t 1), sin o (t 1),cos o (t 1

19、), sin o (t 1)。=口，a ,8 ,a ,8 ,，a ,8 1122M M则有：7T0，一支 X x=t 1 ， _0 (T /2)I进一步，假设y 1, y 2,.，yT是任意T个实数，则下述推断成立:过程yt可以表示为:y=tQ + IL 0 cos o (t 1) + 8 sin o (t 1) jjjj=1L y sin o , (t 1)T t=1这里:0 , = L y cos o , (t 1)t = 1yt的样本方差可以表示为：L (y y)2 = L (0 2 + 8 2)T t2 j jt=1j=1样本方差可以归因于频率为o j的周期成分的部分为(0 2 +8

20、2)/2。yt的样本方差中可以归因于频率为o j的周期成分的部分还可以表示为:(0 2 + 8 2) = s (o )2 j j t y j其中Sy (o j)是样本周期图在频率o j处的值。上述结果说明，L xtxt是对角矩阵，这意味着包含在向量Xt中的向量之间是相互正交 t = 1的。这个命题断言：任何奇数个观测到的时间序列y 1, y 2,.,yT可以表示成为一个常数加上 具有(T - 1)/2个不同频率的(T - 1)个周期成分的加权和。当T是偶数整数的时候，类似的 结果也是成立的。因此，这个命题给出了类似谱表示定理的有限样本的类似情况。这个命题 进一步表明了样本周期图的特征是将y的方

21、差按部分分解为不同频率的周期成分的贡献。注意到解释y的方差的频率气都落在区间0,兀中。为什么不使用负的频率0 ？假 设数据确实是由上述过程的一种特殊情形生成的：= a cos（ 一 t） + 6 sin（ 一 t）这里一兀的周期函数中 生成的，例如久=3兀/2 :Y = a cos（ 3兀 /2）t + 6 sin（ 3兀 /2）t这时正弦和余弦函数的周期性质表明，上式可以表示成为：Y = a cos（ 一兀 /2）t + 6 sin（ 一兀 /2）t因此，根据以前的讨论，具有频率w = 3兀/ 2的周期在观测值上等价于具有频率w =兀/2 的周期。注意到频率和周期之间的关系，频率w对应的周期

22、为2兀/w。由于我们考虑的最高频 率为w=n，因此我们所观测到的能够自己重复的最短阶段是2兀/兀=2。如果w= 3兀/2， 则周期是每4/3阶段重复自己。但是，如果数据是整数阶段观测的，因此数据可以观测的时 间间隔仍然是每4个阶段观测到，这对应着周期频率是w =兀/2。例如，函数cos（兀/2）t和 函数cos（ 3兀/2）t在整数的时间间隔上，它们的观测值是一致的。命题6.2也为计算在频率w广2兀i/T（ j = 1,2, . , M ）上的样本周期图的数值提供了方法。定义： (w ) = (of2 + 6 2)y j 8 兀 j j这里：0 ,=宣 y cos w (t - 1)T t=1因此可以得到： y coswL tj(一1) y sin(t 1)L t=1，7 6.3 估计总本谱 Estimating the Population Spectrum上面我们介绍了母体谱的意义和性质，下面我们面对的问题是：获得了观测样本y 1? y 2,yT 以后，如何估计母体谱函数七（w） ？样本周期图的大样本性质一个显然的方法是利用样本周期图 （w）去估计母体谱函数七（w）。但是，这种方法具 有显著的限制。假设对于无限移动平均过程而言：Y+OT= w 8j=0这里系数w 8是绝对可加的，8 8是具有均值E (8 ) = 0和方差var( 8 ) =c 2的独 j j = 0t