2022年函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

1、学习好资料 欢迎下载函数的定义域与值域、单调性与奇偶性一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：换元法（注意新元的取值范围）待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）整体代换（配凑法）构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且 g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的 取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2. 求函数的定义域 求用解析式 yf（ x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若 f（x）是整式，则函数的定义域是实数集 R；若 f（x）是

2、分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集；若 f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合；若 f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义 的实数集合；若 f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 . 3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；0)型的函数）（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如yxk(kx（4）函数的单调性：特别关注yxk(k0)的图象及性质x（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数

3、）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：两个增 （减）函数的和为 _；一个增（减）函数与一个减 （增）函数的差是 _；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有 _的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（ x）的关系。 f（x） 学习好

4、资料 欢迎下载f（ x） 0 f（x） f（ x）f（ x）为偶函数；f（x）+f（ x） 0f（x） f（ x）f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足： f（x+T ） f（x），则 T为函数 f（x）的周期。其他：若函数 f（x）对定义域内的任意 的周期 . x满足： f（x+a） f（xa），则 2a为函数 f（x）应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例 1. 若集合 Aa 1， a2，a3，Bb 1，b2 求从集合 A 到集合 B 的映射的个数。分析： 解决这类问题，

5、关键是要掌握映射的概念：设 A、B是两个集合，对于集合 A 中的任何一个元素， 按照某种对应法则 f，若集合 B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则 f叫做从集合 A到集合 B的映射。这里要掌握关键的两个词“ 任何”、“ 唯一” 。对于本例，集合 Aa 1，a2，a3 中的每一个元素的象都有 b1 或b2 这两种情形，由乘法原理可知，A 到B的映射的个数共有 N2 22 8 个。例 2. 线段 |BC|4，BC 的中点为 M ，点 A 与 B、C 两点的距离之和为 6，设|AM| y，|AB|x，求 yf（x）的函数表达式及这函数的定义域。解： 1 若 A、B、C三点不共线，如图所示，由

6、余弦定理可知，x 22 2+y 24ycosAMB （6x）22 2+y 24ycos（180 AMB ） + x2+（6 x）22y2+8 y 2x 26x+14 又 x26x+14（ x3）2+5 恒正，yx26x14又三点 A 、B、C能构成三角形x(6x)x4x46x4(6x )1x5 2 若三点 A、B、C共线，由题意可知，x+4 6x，x1 或 4+6xx x5 综上所述：y x 26 x 14 ( 1 x )5说明： 第一，首先要分析三点 A 、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A 、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，题在求解析式时要特别注意函数的定义域。所以

7、要分两种情形来讨论。第二，实际问例 3. 设 f（x）为定义在R 上的偶函数，当x 1 时， yf（ x）的图象是经过点（2，0），斜率为 1 的射线，又在学习好资料欢迎下载0，2），且过点（ 1，yf（ x）的图象中有一部分是顶点在（1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。解：（1）当 x 1 时，设 f（x） x+b 射线过点（2，0） 0 2+b即b2， f（x） x+2（2）当 1x1 时，设 f（x） ax 2+2抛物线过点（1， 1）， 1a （ 1）2+2，即 a 1 f（x） x 2+2 （3）当 x1 时， f （x） x+2 综上可知： f（x）x

8、x2,x111作图由读者来完成。2x2,x2,x1例 4. 求下列函数的定义域（1）y4(x23x4)30 xx1 且1 或x3（ 2）y273log2(x23 x10)x|1|2解：（1）x23x404|x1|2x x4 或x 1 且 x 3，即函数的定义域为（，3）（ 3， 1） 4，+（2）27log 32(x 23x10)0，则log2(x23x10)3 00 时， f当xa时，ymax1即a2b1，则24a2b14ab a 2+4a40，a222又a（ 0，2） a222，则x122 当a 1，即 a2 时，当 x 1 时 2y max1 1+a+b1，a+b 2 又a b a1 与

9、a 2 矛盾，舍去综上所述： x1 时，ymin1，x12时ymax1。ax21例 9. 已知函数yf （x）bxc（a，b，cR， a0， b0）是奇函数，当5（x）有最小值 2，其中 bN 且 f（1）0，b0，x0， f（x）ax21ax12bxbbx当且仅当 x1 时等号成立，于是 a2b a 2， a b 2 2，由f（1）5 得 2ab学习好资料5 ， 2b 2欢迎下载1 b2，又 bN，21 5 即 2b2125b+20，解得bb1， a1， f（x） x+ 1x（2）设存在一点（ x 0，y0）在yf（ x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（ 2x 0，2x 0 1y 0

10、x 0y 0）也在 y f（x）的图象上，则( 2 x 0 ) 2 1y 02 x 0消去 y0 得x 0 2 2x010，x012yf（x）的图象上存在两点（1+ 2，2 2），（12， 2 2）关于（ 1，0）对称例 10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且 f（ x）在 0，+）上是增函数，是否存在实数 m，使 f（cos2 3）+f（4m2mcos ）f（0）对所有 0，2都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由解：f（x）是R上的奇函数， 且在 0，+）上是增函数， f（x）是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为 f（cos2 3） f（2mcos 4

11、m），即cos2 32mcos 4m，即 cos 2 mcos +2m20设tcos ，则问题等价地转化为函数g（t）t 2mt+2m 2（ tm ）22m2+2m2 在 0，1上的值恒为正，又转4化为函数 g（ t）在 0，1上的最小值为正当 m 0，即 m0 m1 与m0 2 442 2 m4+2 2 ，4 2 2 1，即 m2 时， g（1） m10 m1m2 2综上，符合题目要求的 m的值存在，其取值范围是 m42 2另法（仅限当 m能够解出的情况） cos 2 mcos +2m20 对于 0，恒成立，2等价于 m（2cos 2 ）/（2cos ） 对于 0，恒成立2当 0，时，（2c

12、os 2 ）/（2 cos ） 42 2 ，2m42 22例 11. 设 a 为实数，记函数 f（x） a 1 x 1 x 1 x 的最大值为 g（a）。（1）设 t1 x 1 x ，求t的取值范围并把 f（x）表示为 t的函数 m（t）；（2）求 g（a）；学习好资料欢迎下载（3）求满足 g（a） g（1 a）的所有实数 a. 解：（1） t1x1x要使 t有意义，必须有1+x0 且 1x0，即 1x1. 1 at 2 2+21x22，4，t0 tt的取值范围是 2， 2由得1x 1 2x2 1 m（t） a（1 2t2） t1 2at2+ta， t2，2 （2）由题意知 g（a）即为函数

13、m（t）1 2at 2+ta， t2， 2的最大值 . 注意到直线 t1 a是抛物线 m（t）1 2at 2+ta的对称轴，分下列情况讨论. 当 a0 时，函数 ym（t）， t2，2的图像是开口向上的抛物线的一段，由0 知m（t）在 2， 2上单调递增，g（a） m（2） a+2. 当 a0 时， m（t） t， t 2，2， g（a） 2. 当a1 2时， g（a） a+23 22，当2a1时， a1,2，12 ,1 2，所以a1，222a2a22g（a）a12(a)(1)2.因此当 a2时， g（a） 2. 2a2a2当a0 时，1 a0，由 g（ a） g（1 a）知 a+21 a+2

14、 解得 a1. 当a0 时，a1 1，因此 a 1 或 1 a a 1，从而 g（a）2或g（ 1 a）2. 学习好资料2或1 a欢迎下载2a2要使 g（ a） g（1 a），必须有 a2，即222此时 g（ a）2 g（ 1 a）. 综上知，满足 g（a） g（1 a）的所有实数 a为：2a2或a1. 2【模拟试题】（一）选择题1. 设f（ x）是（， +）上的奇函数，x，则 f（75）等于（）f（x+2） f（x），当 0 x1 时， f（x）A. 0.5 2. 已知定义域为（a的取值范围是（B. 0.5 C. 1.5 D. 1.5 1，1）的奇函数 yf（x）又是减函数，且f（ a3）+

15、f（9a 2）1时f （x）等于（）A. f （x）（ x+3）21 B . f（x）（ x3）21 C. f（x）（ x3）2+1 D. f （x）（ x1）21 5. 函数 y ( 1) x 2 x 14 的值域是（）2A. （， 1）B. 1， + C. （0，1）D. 0 ， 1 ( 8 2 x x 2 )6. y log 1 的值域是（）3A. y 2 B. y 2 C. y R D. y 0 （二）填空题7. 若f（ x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（ 3） 0，则 xf （x）0 时， f（ x）13. 已知函数 yf（x）ax21（a，b，cR，a0，b0）是奇函数

16、，当bxc有最小值 2，其中 bN且f（1）0，b0，x0， f（x）axbx 1b a xbx 12b a ，2当且仅当 x1 时等号成立，于是a 2b a 2， a b 2 2，由f（1）5 得 a 1 5 即 b 2 15 ， 2b 25b+20，解得 1 b2，又 bN，2 b 2 b 2 2b1， a1， f（x） x+ 1 。x（2）设存在一点（ x 0，y0）在yf（ x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（ 2x 0，2x 0 1 y 0 x 0y 0）也在 y f（x）图象上，则( 2 x 0 ) 2 1y 02 x 0消去 y0 得x 0 2 2x010，x012。yf（

17、x）图象上存在两点（1+ 2，2 2），（12， 2 2）关于（ 1，0）对。14. （ 1）证明： y f（x）是以 5 为周期的周期函数，f（4） f （45） f（ 1），又yf（x）（ 1x1）是奇函数， f（1） f（ 1） f（4）， f（1）+f（ 4）0学习好资料 欢迎下载（2）解：当 x 1， 4时，由题意，可设 f（x） a（x2）2 5（a 0），由 f（1）+f（4） 0 得a（12）25+a（42）250，解得 a2， f（x） 2（ x2）25（1x 4）（3）解： y f（x）（ 1x1）是奇函数，f（0） f（ 0）， f（0） 0，又yf（x） （0 x1）是

18、一次函数，可设 f（x） kx （0 x1），f（1） 2（1 2）25 3，f（1） k1k， k 3当 0 x 1 时， f（x） 3x，当 1 x0 时， f （x） 3x，当 4x6 时， 1 x51， f（x） f（x5） 3（x5） 3x+15，当 6x9 时，1x54， f（x） f（x5） 2（x5） 2252（ x7）2 5 f（x）23 x155(4x6)(x7 )2(6x9 )三角函数典型例题1 设锐角ABC 的内角 A， ，C的对边分别为a， ，c,a2 sinA. ()求 B 的大小 ; ()求 cosAsinC 的取值范围 . sinA2sinBsinA,所以sin

19、B1, 【解析】 :()由a2 sinA,根据正弦定理得2由ABC 为锐角三角形得B. 6() cosAsinCcosAsinAcosAsin6A2 在cosA1cosA3sinAa、 b、c,且满足 (2a-c)cosB=bcos C223sinA3. ABC中,角 A BC 的对边分别为()求角 B 的大小 ; ()设msin A,cos A ,n4 k,1k1,且 m n 的最大值是5,求 k 的值 . 【解析】 :(I) (2a-c)cosB=bcosC, 学习好资料 欢迎下载(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB

20、=sin(B+C) A+B+C= ,2sinAcosB=sinA 0A ,sinA 0.cosB=1. 3. 20B1,t=1 时, m n 取最大值 . 依题意得 ,-2+4 k+1=5,k=3. sinA2BsinC 22. b时取23 在ABC中,角A ,B ,C所对的边分别为a，b，c,I.试判断 ABC 的形状 ; II. 若 ABC 的周长为 16,求面积的最大值. 2sin(C4)【解析】 :I.sin2CsinCcosCsinC2222当且仅当aC42即C2,所以此三角形为直角三角形. 222)64(2II.16aba2b22ab2 ab,ab等号 , 此时面积的最大值为326

21、42. cos A3, 4 在ABC中,a、b、c 分别是角 A BC 的对边 ,C=2A,4(1)求cosC cosB的值 ; 1(2)若BABC27,求边 AC 的长 ?2【解析】 :(1)cos Ccos2A2cos 2 A1291168由cosC1,得sinC387; 由cosA3,得sinA7844cosBcosAC学习好资料CcosA欢迎下载387319sinAsincosC744816(2)BABC27,accosB27,ac24A60的两个根 . 22又aAcC,C2A ,c2 acosA3asinsin2由解得a=4,c=6 b2a2c22 accosB16364892516

22、b5,即 AC 边的长为 5. 5 已知在ABC 中, AB ,且tanA与tanB是方程x25x()求tan(AB)的值 ; 3, tanB2. ()若 AB5,求 BC 的长 . 【解析】 :()由所给条件 ,方程x25x60的两根 tantan(AB )tanAtanB12311tanAtanB2 3()ABC180,C180(AB). 由()知,tanCtan(AB)1, C 为三角形的内角,sinC22 tanA3, A 为三角形的内角,sinA3, 10由正弦定理得 :ABBCsinCsinABC533 5. 21026 在ABC 中 , 已 知 内 角A B C1所 对 的 边

23、分 别 为a 、 b 、 c, 向 量m,且m/ /n ?2 s i n,3 ncos2 ,2cos2B2(I) 求锐角 B 的大小 ; (II) 如果b2,求ABC 的面积SABC的最大值 ?【解析】 :(1) m/ /n学习好资料2B 2-1)=-欢迎下载2sinB(2cos3cos2B 2sinBcosB=-3cos2B tan2B=-3 6-2时等号成立 ) 02B ,2B=2 3 ,锐角 B= 3(2)由 tan2B=-3 B=3或5当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理 ,得: 34=a 2+c2-ac 2ac-ac=ac( 当且仅当 a=c=2 时等号成立 ) ABC 的面积 S

24、 ABC =1 2 acsinB=3 4 ac 3 ABC 的面积最大值为3 当 B= 5 6时,已知 b=2,由余弦定理 ,得: 4=a 2+c2+3ac2ac+3ac=(2 +3)ac(当且仅当 a=c =ac4(2-3) 2c2b21ac . ABC 的面积 S ABC= 1 2 acsinB= 1 4ac 2-3 ABC 的面积最大值为2-3 7 在ABC中,角 A BC 所对的边分别是a,b,c,且a2(1)求sin2A2Ccos2B的值 ; (2)若 b=2,求 ABC 面积的最大值 . 【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=1 4sin2A2C+cos2B= 1.b=2,

25、(a=c 时取等号 ) 4(2)由cosB1,得sinB1544a 2 +c 2 =1 82ac+42ac,得 ac3, S ABC=1 2acsinB153故 S ABC 的最大值为15 3)tan2的值 ?8 已知tana(,a)1,求sin(4sin(2)【解析】12a; 学习好资料欢迎下载a9 已知fsin 53cos3cos32sincos2tan2(I) 化简 f(II) 若是第三象限角 ,且cos31,求 f的值 ?25【解析】10 已知函数 f(x)=sin2x+3 sinxcosx+2cos2x,xR. (1)求函数 f(x) 的最小正周期和单调增区间; ? 6,kZ.(2)

26、函数 f(x) 的图象可以由函数y=sin2x(x R)的图象经过怎样的变换得到【解析】 :(1)f x ( )1cos2x3sin 2x(1cos2 )223sin2x1cos2x3222sin(2x6)3.2f x 的最小正周期T2.2由题意得 2k22x62k2,kZ,即k3xkf x 的单调增区间为k3,k6,kZ.(2)先把ysin 2x 图象上所有点向左平移12个单位长度 , 得到yysin(2xx6学习好资料欢迎下载3个单位长度 , )的图象 ,再把所得图象上所有的点向上平移26)3的图象 ?就得到sin(2211已知a3,3,b(sinx,cosx),f(x)ab?0 ,4时,

27、yg( x)的最2244(1)求f( x )的单调递减区间?(2)若函数yg(x)与yf(x)关于直线x1对称 ,求当x3大值 ?【解析】 :(1)f(x)3sinx3cosx3sin(x3)24244当x3 102,2k,3 22k时,f(x)单调递减422解得 :x8 k8 k时,f( x)单调递减 ?,1 233(2)函数yg(x)与yf(x)关于直线x1对称g(x)f(2x)3sin(2x )343sin2x33cosx344x0 ,4 3x33,2cosx314342x0时,gmaxx)3212 已知 cos2sin,求下列各式的值; (1)2sin sincos; 3cos(2)s

28、in22sincos【解析】 :Qcos2sin,tan12(1)2sincos2 tan12113142sin3costan352(2)sin22sincos学习好资料2sincos欢迎下载sin2sin22 costan22 tan12213b)2,0 22tan211215213 设向量a(sinx,cosx b(cos ,cosx),xR ,函数f x ( )a(a(I) 求函数f x 的最大值与最小正周期; (II) 求使不等式f( )3成立的 x 的取值集合 ?2【解析】14 已知向量m(cos2,1 ),n(sin1, ), m 与 n 为共线向量 ,且3()求sincos的值

29、;2(cossin22)1(1 )sin0, ()求sinsin2的值 .?cos【解析】 :() m 与 n 为共线向量 , 3即sincos272 9,3() 1sin2(sincos)29(sincos)2(sincos)2, (sincos)22学习好资料欢迎下载(2)21639又 0, , sin cos 0 , sin cos 42 3因此 , sin 2 7sin cos 1215 如图 ,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内 ,B,D 为两岛上的两座0 0灯塔的塔顶 ?测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点

30、和 D 点的仰角均为0 60 ,AC=0.1km ?试探究图中 B,D间距离与另外哪两点距离相等 ,然后求 B,D 的距离 (计算结果精确到0.01km, 2 1.414, 6 2.449)【解析】 :在 ACD 中, DAC =30 , ADC =60 -DAC =30 , 所以 CD=AC=0.1 又 BCD =180 -60 -60 =60 , 故 CB 是 CAD 底边 AD 的中垂线 ,所以 BD=BA 在 ABC中 , AB AC,sin BCA sin ABC即 AB= AC sin 60 3 2 6sin 1 5 20因此 , BD 3 2 6 0 . 33 km20故 BD

31、的距离约为 0.33km ?16已知函数 f x ( ) A sin( x ), x R (其中 A 0, 0,0 )的图象与 x 轴的交2点中 ,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 2 , 2) . 2 3()求 f x 的解析式 ;()当 x , ,求 f x 的值域 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2【解析】： (1) 由最低点为 M ( 2 , 2) 得 A=2. 3由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 T= ,即 T , 2 2 22 2 2 T由点 M ( 2 , 2) 在图像上的 2sin(2 2 ) 2, 即sin( 4 ) 13

32、3 3故4 32k2,学习好资料2 k欢迎下载kZ116又 (0, ), , 故 f x ( ) 2sin(2 x )2 6 6(2) x , , 2 x , 7 12 2 6 3 6当 2 x = ,即 x 时, f x 取得最大值 2;当 2 x 76 2 6 6 6即 x 时, f x 取得最小值 -1,故 f x ( ) 的值域为 -1,2217 如图 ,为了解某海域海底构造 ,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量 ,已知AB 50 m, BC 120 m,于 A 处测得水深 AD 80 m,于 B 处测得水深 BE 200 m,于C 处 测 得 水 深 CF 110 m

33、, 求 DEF 的 余 弦 值 ?【解析】 :作 DM / AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. DFMF2DM22 302 17010 198,337 625DEDN2EN22 502 120130, EF(BEFC2 )BC22 902 120150在DEF中,由余弦定理 , cosDEFDE2EF2DF213021502102298162DEEF2 1301506518 已知sincos1，(2,)，5求（ 1） sincos（2）sin33 cos（3）sin4cos4【解析】：（1）sincos)7 3(2)sin5（A 0，3 cos|91(3)sin44 cos125 |1

34、9 已知函数yAsin(x0 ，）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。学习好资料38欢迎下载2；A2222【解析】：（1）由图象可知：T228Ty 2sin 2 x，又， 为“五点画法 ” 中的第二点82 3所求函数解析式为：y 2sin 2 x 38 2 4 4（2）当 2 x 32 k，2 k k Z 时， f x 单调递增4 2 22 x 52 k，2 k x 5k，k k Z4 4 8 820 已 知 A B C的 内 角 A B C 所 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 设 向 量A Bm ( 1 cos( A B ), cos )，2

35、5 A B 9n ( , cos )，且 m n . 8 2 8（）求 tan A tan B 的值；（）求 2 ab sin2 C2 的最大值 . a b c【解析】（）由 m n 9，得 5 1 cos( A B ) cos 2 A B 98 8 2 85 1 cos( A B ) 9即 1 cos( A B )8 2 8也即 4 cos( A B ) 5 cos( A B )4 cos A cos B 4 sin A sin B 5 cos A cos B 5 sin A sin B9 sin A sin B cos A cos Btan A tan B 1921 已知函数 f ( x

36、) 1( tan x ) 1 2 sin( 2 x )，求：4（1）函数 f (x ) 的定义域和值域；（2）写出函数 f (x ) 的单调递增区间。【解析】 : f ( x ) 1 sin x1 2 sin 2 x cos 2 cos 2 x sincos x 4 41 sin x 2 sin x cos x 2 cos 2x 2 cos x sin x cos x sin xcos x2 22 (cos x sin x ) 2 cos 2 x（）函数的定义域学习好资料k2,k欢迎下载x|xR ,xZ2x2 k,kZ(,kZ2cos2x2Z2 ,k(kZ)函数f(x )的值域为2,2)得kx

37、（）令2k2x2k函数f(x )的单调递增区间是k2,k(k)22如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为 0.8m， 60 秒转动一圈途中OA 与地面垂直以OA 为始边，逆时针90 )，转动角到 OB 设 B 点与地面距离为h5.64.8sin(（1）求 h 与的函数解析式；（2）设从 OA 开始转动，经过80 秒到达 OB ，求 h . 【解析】：（1）h0.8OABC0.84.8OBsinh5.64.8cos (0)8(m) （2）230，30t，30808，h.5 6.48 cos8603323 设函数f(x )ab,其中向量a(2cosx1, ),b(c

38、osx,3sin2xm ).（1）求函数f(x ) 的最小正周期和在,0上的单调递增区间；（2）当x0,6时,4f(x)4恒成立,求实数m的取值范围。【解析】：（1）f(x )2cos2x3sin2xm2sin(2x6)m1，函数f(x )的最小正周期T2.4分2在0,上单调递增区间为0 ,6,2,.6分3（2）当x0,6时,f(x)递增,当x6时,f(x )maxm3，当x0 时,f(x)min学习好资料8分欢迎下载m2,由题设知m34 ,10 分2)3 cos2x3bc .m24解之,得6m1 .12 分24 已知函数f x ( )2sin2x3 cos2x，x ，4 24（1）求f(x)

39、的最大值和最小值；（2）f(x )m2在x ，4 2上恒成立，求实数m 的取值范围【解析】（）f x ( )1cos2x3 cos2x1 sin 2x212sin2x3又x ，4 2，2x2，633tanA即212sin2x3，3f x ( )max3，f x ( )min2（）f x ( )m2f x ( )2mf x ( )2，x ，4 2，mf( )max2且mf x ( )min2，1m4，即 m 的取值范围是 (1 4)， 25在锐角 ABC 中,角 A BC 的对边分别为a、b、c,已知(b2c2a(I) 求角 A; (II) 若 a=2,求 ABC 面积 S 的最大值 ?【解析】

40、 :(I) 由已知得b2c2a2sinA3sinA32 bccosA22又在锐角 ABC 中,所以 A=60 ,不说明是锐角 ABC 中,扣 1 分 (II) 因为 a=2,A=60 所以b2c2bc4,S1bcsinA3bc24而b2c22bc学习好资料bc4欢迎下载bc42bc又 S 1bc sin A 3bc 3 4 32 4 4所以 ABC 面积 S 的最大值等于 326 甲船由 A 岛出发向北偏东 45的方向作匀速直线航行 ,速度为15 2 浬/小时 ,在甲船从 A 岛出发的同时 ,乙船从 A 岛正南 40浬处的 B 岛出发 ,朝北偏东 ( arctg 1) 的方向作匀速直线航2行,

41、速度为 10 5 浬/小时 .(如图所示 ) ()求出发后 3 小时两船相距多少浬 ? ()求两船出发后多长时间相距最近 ?最近距离为多少浬 ? 【解析】 :以 A 为原点 ,BA 所在直线为 直角坐标系 . y 轴建立如图所示的平面设在 t 时刻甲、乙两船分别在P(x1, y1) Q (x2,y2). 15 t)210 分(tanA tanB)则x 1152 tcos4515 t2分y1x 115 t由arctg1可得,cos255,sin5,25x2105 tsin10ty2105 tcos4020t405分(I) 令t3,P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20) |PQ|(4530)2(4520)2850534. 即两船出发后3 小时时 ,相距534锂(II) 由(I)的解法过程易知: |PQ|(x2x 1)2(y 2y 1)2( 10 t15 t)2( 20 t40. 50 t2400 t160050(t4 )2800202当且仅当t=4 时 ,|PQ|的最小值为20 2即两船出发4 小时时 ,相距 20 2 海里为两船最近距离a、b、 c，且27 在锐角ABC 中，已知内角A BC 所对