等差数列知识点精讲[知识点+典型例题]

1、等差数列知识点精讲知识精讲.等差数列的定义：an an 1 d （d为常数）（n 2）;【例1】设Sn是数列an的前n项和，且$=2n2-5n,证明数列an是等差数列。【例2】设Sn是数列an的前n项和，且S=n2,则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列*.等差数列通项公式：anai （n 1）d dn a d（n N ）,首项为a1，公差为d,末项为an推广：an am (n m)d ,从而 d aam； n m总结：等差数列的通项公式 an a1 （n 1）d dn a1 d是关于n的一次函数，且斜率为

2、公差 d ；说明：等差数列的单调性： d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。1 TOC o 1-5 h z 【例1 1 （2003年全国局考题）等差数列 an中，已知a=3，a2+a5=4, an=33,则门为（）A. 48B. 49C. 50D. 51【例2】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 。【例3】（2006年全国卷1）设an是公差为正数的等差数列，若a1 +a2+a3=15,a1a2a3=80,贝Uan+a12+a13等于 （）【例4】若数列an的前n项和Sn=n2-10n（n = 1,2,3, 丹此数列的通项公式为 ;数列nan中数值最

3、小的 项是第 项。.等差中项（1）如果a, A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项.即：a 3 或2A a b2（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1（n 2）2amanan2【例1 如果等差数列an中，a3 a4 a5 12,那么a1 a2 L a7【例2】已知1, a, b成等差数列，3, a+2, b+5成等比数列，则等差数列的公差为（A. 3 或3B. 3 或1C. 3D. 3a9 10 ,则a5的值为（【例3】（2010年高考重庆卷文科 2）在等差数列 an中，a1A、5B、6C 8D、10【例4】在等差数列an中，a2+a6=32;则sin(2a4 3)=

4、()C.32D.【例5】（2009北京东城高三第一学期期末检测）已知an为等差数列，若a+a5+a9=兀，则cos（a2+a8）的值为【例6】等差数列an的前三项为x 1, x 1, 2x 3,则这个数列的通项公式为（）nai 鲍一1)d dn2 (a1 - d)n An2 Bn (其中 A、B 是常数, 222A. an2n 1 B. an 2n 1C. an 2n 3 D. an 2n 5.等差数列的前n项和公式：Sn n（& an）2所以当dwo时，Sn是关于n的二次式且常数项为 0）特别地，当项数为奇数2n 1时，an 1是项数为2n+1的等差数列的中间项：S2nl2n 1 a1 a2

5、n 12n 1 an 1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）【例1】（2011年高考江西卷文科）设an为等差数列，公差d = -2, Sn为其前n项和.若S10 1,则a1=（）【例2】设Sn是等差数列 an的前n项和，若S3 3 24，则a9 TOC o 1-5 h z 【例3】设等差数列an的前n项和为Sn ,若S972,则22 a4a9.【例4】设等差数列an的前n项和为Sn ,若S972,贝岫a5为a.【例5】设an是公差为-2的等差数列，如果 a1+a4+-. +a97 =50,那么a3+a6+ a9+- -. +a99 =（）B.-78【例6】（2006年重庆高考题）

6、在等差数列an中，若a4+a6=12, Sn是数列an的前n项和，则S9的值为（）B.54【例7】（1）已知等差数列 an的前5项之和为25,第8项等于15,求第21项。(2)等差数列-16, -12, -8；前几项的和为72.等差数列的性质(1)当m n p q时，则有am an ap aq ,特别地，当 m n 2P时，则有am an 2ap注：ai an a? an 1 a3 an 2,【例1】已知an是等差数列，且a4 a7a1o57自aa6而77,若ak13,则k= 【例2】在等差数列an中，若ada6a84。a12120 ,则2a1042 【例3】等差数列 an中，a2+a7+ a

7、12 =24,求S13 = 【例4】已知an为等差数列，a1+a8+ a3+ a8=100,求a1o= 【例5】(2005年福建高考题)已知等差数列an中，a7+a9=16, a4=1,则a12=()B.30(2)若an、 bn为等差数列，则 an b , 1an2bn都为等差数列(3)若an是等差数列，则Sn,S2n Sn,S3n $2n , 也成等差数列【例1】在等差数列an中, 若 S=1, S8=4,贝U a9+a10+a11+a12= 【例2】设Sn是等差数列an的前n和.若S4 L 则里 TOC o 1-5 h z S83S16.等差数列前n项和的最值311【例1】已知数列an为等

8、差数列，若 0的n的最大值为()a10A. 11B. 19C. 20D. 21【例2】已知数列an的前n项和S=n(n-40),则下列判断正确的是()0,a210,a21000【例4】等差数列an中，a1 25【例3】等差数列an中，a0, $=S9,则与取最大值时，n= S9 S17,问此数列前多少项和最大并求此最大值。【例5】若an是等差数列，首项0, a2003a20040 , 32003 320040 ,则使前n项和Sn 0成立的最大正整数6.等差数列前n项和的比值问题【例1】（武汉调研）已知等差数列 an bn的前n项和分别为Sn和Tn,若一- ,求一- TOC o 1-5 h z

9、HYPERLINK l bookmark8 o Current Document Tn 3n 138【例2】（2004年福建高考题）设Sn是等差数列an的前n项和，若a5 5 ,则9（）339S5A. 1B. -1【例3】设an与bn是两个等差数列，它们的前7.设项技巧：一般可设通项an a1 （n 1）d奇数个数成等差，可设为 ，a 2d,a偶数个数成等差，可设为 ，a 3d ,a【例1】成等差数列的四个数之和为26,第二个C. 2D. 一2n项和分别为Sn和Tn ,若Sn 3n 1 ,那么anTn 4n 3bnd,a,a d, a 2d （公差为 d ）;d,a d,a 3d ,（注意；公

10、差为2d）与第三个数之积为40,求这四个数。8.设数列an是等差数列，d为公差,N是奇数项的和，S偶是偶数项项的和,Sn是前n项的和SJa1a3a5n a1a2n 1a2n 1nanS偶a2a4a632 nn 3232nnan 122G禺SWnan 1nan n a。1 4=ndSwnananS禺nan 1an 1当项数为偶数2n时,当项数为奇数2n 1时，则SfS偶(2n 1)an+1SS 偶 an+1Si(n1)an+1SgyS偶nan+in 1 , , , ，一、 （其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）【例1】一个等差数列的前12项和胃354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d【例2】项数为2n+1的等差数列 an的奇数项的和和偶数项的