2022年《高等数学》教案

1、整理文本整理文本.整理文本.?高等数学?授课教案第一讲 高等数学学习介绍、函数教学目的：了解新数学认识观，掌握根本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。重 难 点：数学新认识，根本初等函数，复合函数教学程序：数学的新认识函数概念、性质分段函数根本初等函数复合函数初等函数例子定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像授课提要：前 言：本讲首先是?高等数学?的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解。一、新教程序言1、为什么要重视数学学习1文化根底数学

2、是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；2开发大脑数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑左脑有全面的作用；3知识技术数学知识是学习自然科学和社会科学的根底，是我们生活和工作的一种能力和技术；4智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续开展的动力。2、对数学的新认识1新数学观数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；2新数学教育观数学教育学习的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括开展人的思维能力和创新能力。整理文本整理文本.整

3、理文本.3新数学素质教育观数学教育学习的意义：通过“数学素质而培养人的“一般素质。见教材“序言二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系单值对应。用变化的观点定义函数，记：说明表达式的含义 (1)定义域：自变量的取值集合D。 (2)值 域：函数值的集合，即。 例1、求函数的定义域？2、函数的图像：设函数的定义域为D，那么点集 就构成函数的图像。例如：熟悉根本初等函数的图像。3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。例2、作函数的图像？例3、求函数三、根本初等函数 熟记：五种根本初等函数的

4、定义域、值域、图像、性质。四、复合函数：设y=f(u),u=g(x)，且与x对应的u使y=f(u)有意义，那么y=fg(x)是x的复合函数，u称为中间变量。说 明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，那么直接代入消去中间变量即可。 例5、设例6、指出以下函数由哪些根本初等函数或简单函数构成？ (1) (2) (3) 整理文本整理文本.整理文本.五、初等函数：由根本初等函数经有限次复合、四那么运算而成的函数，且用一个表达式所表示。说 明：1一般分段函数都不是初等函数，但是初等

5、函数； 2初等函数的一般形成方式：复合运算、四那么运算。思考题：1、 确定一个函数需要有哪几个根本要素？ 定义域、对应法那么2、 思考函数的几种特性的几何意义？ 奇偶性、单调性、周期性、有界性3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？不能探究题： 图15 时间 一位旅客住在旅馆里，图15描述了他的一次行动，请你根据图形给纵坐标赋予某一个物理量后，再表达他的这次行动.你能给图15标上具体的数值，精确描述这位旅客的这次行动并用一个函数解析式表达出来吗？ 小 结：函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事

6、物联系的多样性。作 业：P4A：2-3；P7A：2-3课堂练习初等函数【A组】1、求以下函数的定义域？(1) (2) (3) (x-1) (4) 2、判定以下函数的奇偶性？(1) (2) (3) 3、作以下函数的图像？(1) (2) (3) 整理文本整理文本.整理文本.4、分解以下复合函数？(1) (2) (3) (4) 【B组】1、证明函数为奇函数。2、将函数改写为分段函数，并作出函数的图像？3、设？4、设=，求，？数学认识实验： 初等函数图像认识1、幂函数：如2、指数与对数函数：如 3、三角函数与反三角函数： 4、多项式函数：整理文本整理文本.整理文本. 5、分段函数： 第二讲 导数的概念

7、一、极限与导数教学目的：复习极限的概念及求法；理解导数的概念，掌握用定义求导数方法。重 难 点：求极限，导数定义及由定义求导法教学程序：极限的定义及求法例导数的引入速度问题导数的概念导数与极限根本初等函数的导数定义法例子简单授课提要：前 言：在前面的教学中，我们已讨论了变量间的关系(函数)，本节将复习函数的变化趋势(极限)，在此根底上讨论函数的变化率问题即函数的导数。导数是高数的重点，它的本质是极限比值的极限，在现实中有极丰富的应用。一、理论根底极 限复习1、极限的概念略讲函数在某点的极限定义2、极限的四那么运算法那么略整理文本整理文本.整理文本.3、求函数的极限几类函数的极限1假设为多项式，

8、那么例1：求以下极限(1) (2) (3) 2假设为有理分式且,那么代入法例2：求以下极限(1) (2) (3) 3假设分式,当时，那么用约去零因子法求极限例3：求以下极限(1) (2) (3) 4假设分式,当时，分子分母都是无穷大，那么适用无穷小分出法求极限。例4：求以下极限(1) (2) (3) 3、两个重要极限1 2说明：其中可以是的形式，且当时，。例5：求以下极限(1) (2) (3) (4) 二、导数定义复习增量的概念引例1、速度问题自由落体运动引例2、切线问题曲线整理文本整理文本.整理文本. 以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y关于自变量x在某一点处

9、的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。解决问题的思路：1、 自变量x作微小变化x，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率，作为点处变化率的近似值；2、 对求x0的极限，假设它存在，这个极限即为点处变化率的精确值。定 义：设函数在点及附近有定义，当在点取得增量时，相应函数取得增量，假设当时，比值的极限存在，那么称此极限值为在处的导数或微商。记，即说明：(1)比值是函数在上的平均变化率；而是在处的变化率，它反映函数在点随自变量变化的快慢程度；(2)假设不存在包括，那么称在点不可导；(3)假设在a,b)内每点可导，那么称函数在a,b内可导，记，称为导函数，简称

10、导数。(4)f(x)是x的函数，而f(x0)是一个数值，f(x)在点处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值。三、导数与极限的关系导数是一种特殊比值的极限，即有导数-有极限，反之不成立。四、根本初等函数的导数定义 由定义知求函数导数的步骤：三步骤1求增量；2求比值；3求极限。例6、由定义求函数的导数？整理文本整理文本.整理文本.例7、由定义求函数的导数？推导思考题：1、 是否存在，为什么？02、假设曲线= 在处切线斜率等于 3 ，求点的坐标。3、 ，利用导数定义求极限。0探究题：从求变速直线运动物体的瞬间速度问题解决方法中，你对“极限法有什么体会？ 近似转化为精确的数学方法小 结

11、：导数的本质从微观局部上研究非均匀量如：速度、密度、电流、电压等的变化率问题，是处理非均匀量的“除法；其思想方法：(1)在小范围内以“匀代“不匀或“不变代“变，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值转化为“精确值。从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线切线，凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质导数应用中的单调性、极值等。作 业：P22A：1-3；B：3-4课堂练习导数的概念一【A组】1、求以下极限 (1) (2) (3) 4 5 62、求极限？ 3、求极限：？4、，求a的值？ 25、用导数定义，求函数在x=1处的导数？整理文本整理文本.

12、整理文本.6、设物体的运动方程为，求(1)物体在t=2秒和t=3秒间的平均速度？(2)求物体在t=2秒时的瞬时速度？【B组】1、设？ 2、设函数？ 23、证明导数公式：4、一药品进入人体t小时的效力，求t=2,3,4时的效力E的变化率？5、设 A 。A、左右导数都存在 B、左导数存在，右导数不存在C、右导数存在，左导数不存在 D、都不存在6. 假设为常数，试判断以下命题是否正确。全部1在点 处可导； 2在点 处连续；3= ；数学认识实验： 两个重要极限的图像认识1、极限：整理文本整理文本.整理文本.2、极限：3、等价无穷小的直观认识：第三讲 导数的概念二教学目的：熟悉导数根本公式；理解导数的几

13、何意义，会求切线方程。整理文本整理文本.整理文本.重 难 点：根本导数公式，导数的几何意义求切线方程教学程序：复习导数定义根本导数公式例子求导数导数的几何意义例子切线方程导数的物理意义例子授课提要：一、根本初等函数的导数例1、求的导数？由导数的定义推导于是我们有公式：同样，由定义可得根本初等函数的导数公式： 二、导数的运算法那么u,v为可导函数1、代数和：2、数 乘： 例2、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) 例3、求函数在给定点的导数值？(1) (2) 三、导数的几何意义作图说明 结论：表示曲线y=f(x)在点x0,f(x0)的切线斜率。例4、求曲线在点(1,0)处的切线方程？例

14、5、设f(x)为可导函数，且，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线斜率？ 导数定义及几何意义四、导数的物理意义 结论：设物体运动方程为，那么表示物体在时刻t的瞬间速度。例6、设物体的运动方程为，求物体在时刻t=1时的速度？例7、求曲线上一点，使过该点的切线平行于直线整理文本整理文本.整理文本.。例8、设某产品的本钱满足函数关系：(x为产量)，求x=2时的边际本钱，并说明其经济意义。思考题： 与有无区别？，探究题：导数的值可不可以为负值？举例说明。可以小 结：导数的美学意义：局部线性之美。它将可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。作 业：P25A：1；P28

15、A：1，3课堂练习导数概念二【A组】1、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) (5) 2、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) 3、求函数在x=1处的导数值？4、设5、设物体的运动方程为，求时刻t=3时的速度？6、 抛物线 = 在何处切线与轴正向夹角为，并且求该处切线的方程.【B组】1、一球体受力在斜面上向上滚动，在t秒末离开初始位置的距离为，问其初速度为多少？何时开始向下滚动？2、曲线与相交于点1，1，证明两曲线在该点处相切，并求出切线方程？数学认识实验： 导数的几何意义和美学价值整理文本整理文本.整理文本.PQ1、导数的定义切线问题2、导数的几何意义：3、导数的美学意义

16、：曲线的局部线性化。1在x=0处比较：曲线与切线；2在x=1处比较：曲线与切线。 第四讲 求导公式与求导法那么一整理文本整理文本.整理文本.教学目的：掌握根本导数公式与导数运算法那么，会求简单函数的导数。重 难 点：根本导数公式与法那么教学程序：根本公式运算法那么例子二阶导数的定义及求法授课提要：一、根本导数公式 由导数的定义，我们可以得到如下根本导数公式：二、导数的四那么运算法那么设u、v为可导函数，那么1、 2、3、 4、例1、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) 例2、求函数在给定点的导数值？(1) (2) 例3、设例4、曲线的切线与直线垂直，求此切线方程？三、二阶导数1、定义

17、：假设导函数再求导数，称为的二阶导数。记：2、求法：由定义知，求二阶导数的方法与求一阶导数的方法一致。例5、求以下二阶导数(1) (2) (3) (4)整理文本整理文本.整理文本.3、二阶导数的物理意义 设物体的运动规律为：，那么表示物体在时刻t的加速度。例6、设物体的运动方程为：，求t=2时的速度和加速度？思考题： 1. 思考以下命题是否成立？(1)假设，在点处都不可导，那么点处也一定不可导.答：命题不成立.如：= =，在 = 0 处均不可导，但其和函数+= 在= 0 处可导.(2)假设在点处可导,在点处不可导，那么+在点处一定不可导.答：命题成立.原因：假设+在处可导，由在处点可导知=+在

18、点处也可导，矛盾.探究题：某产品的需求方程和总本钱函数分别为，其中为销售量，为价格。求边际利润，并计算和时的边际利润，解释所得结果的经济意义。导数的经济意义 小 结：导数的物理意义更深层次反映了导数的本质：研究非匀速物体运动的变化率。指路程对时间的变化率，指速度对时间的变化率。二阶导数的几何意义：反映曲线的凹向。作 业：P30A：1-2小知识：数学的三次危机第一次数学危机：无理数的产生。单位正方形的对角线长第二次数学危机：微积分的产生和完善。极限和无穷小的定义整理文本整理文本.整理文本.第三次数学危机：集合论的产生。罗素悖论课堂练习导数公式与法那么一【A组】1、求以下导数(1) (2) (3)

19、 (4) 2、曲线在何处有水平切线？ x=-2/33、曲线的切线与直线垂直，求此切线方程？e4、求以下二阶导数(1) (2) (3) 【B组】1、设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，求极限？2、假设？ 13、设，求？ -24、，二阶连续可导，求？ 5、设某种汽车刹车后运动规律为，假设汽车作直线运动，求汽车在秒时的速度和加速度。数学认识实验： 函数与导函数的图像比较整理文本整理文本.整理文本.第五讲 求导法那么二、连续与导数教学目的：了解函数的连续性的概念，理解连续与导数的关系。重 难 点：根本导数公式，连续的几何直观、连续与可导的关系教学程序：复习根本导数公式、法那么连续概

20、念极限定义连续的条件初等函数的连续性可导与连续例连续函数的极限例子授课提要：一、复习根本导数公式和法那么 举 例：略二、连续的概念作图直观理解 1、定 义：设函数在x0点及附近有定义，当时,有，那么称f(x)在x0点连续。说明：连续是一种特殊的极限。连续有极限，反之不成立。例1、试证在x=0处连续？三、函数连续的条件f(x)在x0点及附近有定义f(x)在x0点的极限存在极限值等于函数值。整理文本整理文本.整理文本.例2、讨论函数在x=0处的连续性？四、初等函数的连续性 初等函数在定义区间内都是连续的。其图像是一条连绵不断的曲线。五、可导与连续1、可导与连续的图象特征1连续函数的图像是一条连绵不

21、断的曲线。作图例如 2可导函数的图像不仅连绵不断，并且曲线具有平滑性无尖点、折点2、可导与连续的关系定理：假设函数f(x)在x0点可导，那么f(x)在点x0连续；反之，结论不成立。例3、试证函数在x=0点连续但不可导。例4、试证函数在x=0点连续但不可导,但切线存在。3、极限、连续、可导之间的关系xyOy=|x| 可导连续有极限；反之不一定成立。如在x=0处。1xyOy=-1-11六、连续函数的极限假设f(x)在x0点连续，那么例5、求以下极限1 (2) 3 (4) 例6、讨论在x=0处的连续性？整理文本整理文本.整理文本.思考题： 1如果在处连续，问|在处是否连续？ 连续2 如果在处可导，问

22、|在处是否可导？ 不一定3求函数的间断点，并判断其类型。探究题：作图说明函数不可导点的类型。不连续点、尖点、折点小 结：连续函数的美学意义：和谐与奇异之美。连续表达的是自然和谐、社会开展的生生不息；间断那么表现为不规那么和与众不同，表达了自然界的丰富多彩和社会开展中的跳跃性。作 业：P34A：1-2；复习题2-5课堂练习求导公式与法那么二【A组】1、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) 2、求函数在x=1处的导数值？3、求曲线在点-1，0处的切线方程？ 4、试定义f(0)的值，使函数在x=0处连续？5、设，问a为何值时，函数在x=0处连续？2【B组】1、作函数的图像？2、设函数f(x

23、)在x=2处连续，且，求？ 2整理文本整理文本.整理文本.3、设f(x)有连续导数，？ 124、设，问a,b为何值时，函数f(x)处处连续、可导？5、x=1是函数的 B A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷间断点*6、假设f(x)在0，a上连续，且f(0)=f(a)，试证：方程在0，a内至少有一个实根。 提示：作新函数，在上使用零点存在定理数学认识实验： 不可导点的类型1、连续而不可导的点尖、折点如： 2、不连续点为不可导点：整理文本整理文本.整理文本. 第六讲 定积分的概念教学目的：了解定积分的概念，理解定积分的几何意义。重 难 点：作为面积的定积分概念教学程序：提出问题解决问题思想

24、定积分定义定积分的几何意义例子定积分的性质简单授课提要：前 言：在自然科学、工程技术和经济学的许多问题中，经常会遇到各种平面图形的面积计算。对于三角形、四边形及直多边形和圆的面积，可以用初等数学的方法计算，但由任一整理文本整理文本.整理文本.连续围成的图形的面积就不会计算。下面讨论由连续曲线所围成的平面图形的面积的计算方法。一、问题引入1、曲边梯形的定义所谓曲边梯形是指有三条直线段，其中两条相互平行，第三条与这两条相互垂直，第四条边为一条连续曲线所围成的四边形。如下列图 2、引 例：如何求曲线所围成的面积？(特殊曲边梯形)1分析问题假设将曲边梯形与矩形比较，差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯

25、形有一条边是曲的。设想：用矩形近似代替曲边梯形。为了减少误差，把曲边梯形分成许多小曲边梯形，并用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。当分割越细，所得的近似值越接近准确值，通过求小矩形面积之和的极限，就求得了曲边梯形得面积。y2解决问题思路y=x2第一步：分割第二步：近似代替第三步：求和01x第四步：取极限二、定积分的定义现实中许多实例，尽管实际意义不同，但解决问题的方法是一样的：按“分割取近似，求和取极限的方法，将所求的量归结为一个和式极限。我们称这种“和式极限为函数的定积分。定 义： 说明定积分中各符号的称谓由定积分的定义知，以上实例可以表示成定积分：面积说 明：定积分是一个特殊的和式极限

26、，因此，它是一个常量，它只与被积函数f(x)、积分区间a,b有关，而与积分变量用何字母表示无关。三、定积分的几何意义作 图当函数f(x)在a,b上连续时，定积分可分成三种形式：整理文本整理文本.整理文本.1、假设在a,b上，那么定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A，即2、假设在a,b上，那么定积分表示由曲线f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积A的相反数，即3、假设在a,b上，f(x)可正可负，那么定积分表示x轴上方图形的面积A1与下方图形的面积A2之差，即结论：定积分的几何意义：“有号面积， 即。例1、用定积分几何意义判定以下积分的

27、正负：1 2例2、用定积分表示由曲线y=x2+1,直线x=1,x=3和y=0所围成的图形面积？四、定积分的性质简略1 2 34积分中值定理： 设函数f(x)在以a，b为上下限的积分区间上连续，那么在a，b之间至少存在一个中值，使 =f()(ba)y=f(x)xyOabf()积分中值定理有以下的几何解释：假设f(x)在a，b上连续且非负，定理说明在a，b上至少存在一点，使得以a，b为底边、曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积，与同底、高为f()的矩形的面积相等，如下列图因此从几何角度看，f()可以看作曲边梯形的曲顶的平均高度；从函数值角度上看，f()理所当然地应该是f(x)在a，b上的平均值因

28、此积分中值定理这里解决了如何求一个连续变化量的平均值问题思考题：1、 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数。矩形的面积2、 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义求以下积分的值：1, 2, 3, 4.探究题：用定积分的符号、定义、结果、方法等说明“什么是定积分？整理文本整理文本.整理文本.小 结：定积分的本质：从宏观整体研究非均匀量的“改变量问题。是处理非均匀量的“乘法；其思想方法：(1)在小范围内以“不变代“变，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值转化为“精确值。其中，“分是为了“匀的需要，而“求和是整体量的要求。作 业：P40A：1-3课堂练习定积分的概念【A组】一、判定正

29、误：1、定积分表示曲边梯形的面积。 F 2、定积分的值与被积函数f(x)、积分区间a,b及积分变量x有关。F3、 T 4、 F 二、用定积分表示面积：(1)曲线 (2)由方程所确定的圆的面积？三、 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数。【B组】一、由定积分的几何意义计算：？ 二、由定积分的几何意义求直线所围成的平面图形的面积？三、用定积分的定义求曲线所围成的平面图形的 面积？数学认识实验： 定积分思想的几何直观1、函数在0,1上所围成的面积分析：1步长为0.1的分割。n=10整理文本整理文本.整理文本.2步长为0.05的分割。n=203步长为0.01的分割。n=100第七讲 定积分与导数教

30、学目的：掌握原函数的概念及N-L公式。整理文本整理文本.整理文本.重 难 点：作为路程的定积分、微积分根本定理教学程序：复习定积分概念和式极限原函数N-L公式求路程推导NL公式计算方法定积分的计算简单授课提要：前 言：定积分是一个重要的概念，如果用定义来计算，计算复杂且不易，所以必须寻找新的计算方法。下面将研究定积分与导数的关系。一、原函数的概念定 义：假设在某一区间上有，那么称F(x)是f(x)的一个原函数。如：，所以是2x的一个原函数，同理，也是它的原函数。说明：原函数不唯一*二、变上限函数设函数f(x)在a,b上连续，且，那么称函数为变上限函数。记。它有如下性质：(1)；(2)假设在a,

31、b上连续，那么在a,b上可导，且有。由性质(2)及原函数的定义知，p(x)是f(x)的一个原函数。定 理原函数存在定理假设f(x)在a,b上连续，那么其原函数一定存在，且原函数可表示为例1、求 ？ 例2、求 ？三、NL公式直观推导设一辆汽车作变速直线运动如图，从时刻a到b，求其经过的路程？1假设路程函数，那么；2假设速度函数，那么由定积分有；3s(t)与v(t)有如下关系：，即s(t)是v(t)的一个原函数。一般地，有如下定理：设函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，那么整理文本整理文本.整理文本.说 明：(1)NL公式揭示了定积分与原函数不定积分间的联系，给定积分的

32、计算提供了有效而简便的方法。 (2)由定义知求定积分的步骤：求原函数 求原函数的增量例3、求以下定积分：1 2 3例4、求由曲线，直线x=0，x=，y=0所围成的图形面积？例5、求曲线所围成的平面图形的面积？例6、设物体的速度，求时段的距离？思考题：1、 ?答：因为是以为自变量的函数，故=0.2、 答：因为是常数，故.3、 ？ 答：因为的结果中不含，故0.4、 ？ 答：由变上限定积分求导公式，知.小 结：NL公式的意义：将矛盾的“微分与“积分统一起来，是哲学中的“对立统一规律的具体表现，是微观与宏观的辨证统一。其美学价值：宏观上的统一之美。作 业：P46A：1；B：1课堂练习定积分与导数整理文

33、本整理文本.整理文本.【A组】1、计算以下定积分：1 2 34 5 62、求曲线所围成的图形的面积？3、设，求k的值？ 24、设 两边求导数【B组】1、设，求a的值？ 32、求导数：？ 3、用定积分求极限：*4、利用定积分的性质求极限：？估值定理、夹值定理*5、证明方程在(0,1)内有唯一实根。*6、设f(x)在0，4上连续，且，那么f(2)= 1/4 。数学认识实验： 定积分：的几何直观整理文本整理文本.整理文本.第八讲 习题课导数与定积分教学目的：系统化本单元内容，掌握根本概念与方法。一、根本概念及方法：1、极限的概念，求极限的方法；2、导数的概念，导数公式及运算法那么3、导数的几何、物理

34、及经济意义4、定积分的概念，定积分的几何、物理意义经济意义5、用N-L公式求定积分二、基此题型：1、求以下极限1 2 3 42、求以下导数1 2 33、求以下导数1 2 34、求以下积分1 2 35、求曲线在点1，2处的切线方程？6、求在t=2时的速度？7、设某产品的本钱函数，求其边际本钱？8、求曲线所围成的图形的面积？9、物体的速度为，求时段经过的路程？10、设 可加性整理文本整理文本.整理文本.11、设f(x)在a,b上连续，那么曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及y=0所围成的曲边梯形的面积为 。三、提示与提高：1、无穷小的定义与性质定 义：假设,那么称时为无穷小。性 质：有界函数与无

35、穷小的乘积为无穷小。例1、求极限，？2、无穷小的比较：略当时，有等价；当时，；例2、当时，比较的阶？3、闭区间上连续函数的性质1有界定理；2最值定理；3零点定理；4介值定理例3、设f(x)在0，2上连续，且f(0)=f(2),证明方程在0，1上至少有一实根。4、函数间断点的分类略5、定积分的性质1；2假设在a,b上有，那么 特别地，假设在a,b上有，那么3对任意实数C有4设函数f(x)在a,b上的最大、最小值分别为M、m，那么有 5设f(x)在a,b上连续，那么其在a,b上的平均值 例3、比较大小：与整理文本整理文本.整理文本.例4、求定积分：，其中例5、求在区间1,3上的平均值？第九讲 求导

36、法那么三、复合函数求导一教学目的：掌握根本导数公式和四那么运算法那么，会求一般函数的导数。重 难 点：四那么运算法那么、复合函数的连锁法那么教学程序：根本初等函数的导数公式复习导数四那么运算法那么例子授课提要：前面我们学习了导数的概念及简单函数求导，本节将系统学习函数求导方法。一、复习根本初等函数的导数公式重点板书略二、复习导数四那么运算法那么重点设u(x),v(x)为可导函数，那么(1) (2) (3) 例1、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) 例2、求的导数？由商的导数公式推导于是有 同理： 例3、求函数处的导数值？例4、求过点1，2且与曲线相切的直线方程？三、复习复合函数的概

37、念及分解说明：复合函数分解一般从外向内分解，分解至根本初等函数或简单函数即可例5、分解以下函数1 2 3整理文本整理文本.整理文本.四、复合函数的求导法那么 设是关于x的复合函数，那么 说明：1求复合函数的导数，首先分清楚函数的复合结构，求出每一层次简单函数的导数，再使用连锁法那么，就得到复合函数的导数； 2复合函数的分解一般按由外向内的顺序进行。例6、求以下导数先分解后求导(1) (2) (3) (4) 例7、设在可导，且，记，其中a为常数，求？例8、设？ 5e思考题：1、设，求？利用指数恒等式：2、 设求？ 小 结：掌握复合函数求导的连锁法那么；对复合函数求导明确：1熟练根本导数公式；2恰

38、当分解复合函数；3正确使用“连锁法那么。作 业：P55A：1-2；B：2；P58A：1思考题：1. 给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？答：一定能求出其导函数。因为任何一个根本初等函数我们都可以求其导函数，而初等函数是由根本初等函数经过有限次四那么运算及有限次的复合运算形成，据复合函数的求导法那么、导数的四那么运算法那么知给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数。课堂练习求导法那么三、复合函数一【A组】整理文本整理文本.整理文本.1、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) 2、设3、在曲线上取两点x1=1,x2=3，过这两点引割线，问曲线上哪点的切线平行于所

39、引割线？4、求以下函数的导数(1) (2) (3) (4) 5、求函数在x=1处的导数值？6、曲线的切线与直线垂直，求此切线方程？【B组】1、证明可导的偶函数的导数是奇函数。2、设？ 1/33、设，问a,b为何值时，函数f(x)处处连续、可导？4、设？ 5、设f(x)有连续导数，？12整理文本整理文本.整理文本.数学认识实验： 函数与导函数的图像整理文本整理文本.整理文本.第十讲 复合函数二、高阶导数教学目的：熟练掌握复合函数求导，会求函数的二阶导数。重 难 点：复合函数求导、二阶导数教学程序：复合函数的求导法那么复习例子高阶导数定义例子二阶导数的物理意义求高阶导数授课提要：一、复习复合函数求

40、导例1、求以下函数的导数1 2 3例2、设，求？ 例3、设 略整理文本整理文本.整理文本.例4、设？二、高阶导数的概念 函数y=f(x)的n-1阶导数的导数称为函数的n阶导数。说明：求高阶导数就是反复利用求一阶导数的方法即可。例5、求以下函数的二阶导数？ (1) (2) (3) 例6、设？例7、求和的n阶导数？例8、求的n阶导数？ 例9、求的n阶导数？三、二阶导数的物理意义复习 设物体的运动方程为s(t)，那么表示物体在时刻t的加速度。例10、设物体的运动规律为：时的速度和加速度？探究题：股票走势设代表某日某公司在时刻的股票价格，试根据以下情形判定的一阶、二阶导数的正、负号：1股票价格上升得越

41、来越快；2股票价格接近最低点。 思考题：某公司的一次广告促销活动中，销量提高了，但销量关于时间的曲线是凹的，这说明该公司的经营情况如何？为什么？假设曲线是凸的呢？说明销量增长速度很快小 结：理解高阶导数的“递归定义法即，高一阶导数是通过低一阶导数求导而来；一阶导数的符号可以反映事物是增长还是减少；二阶导数的符号那么说明增长或减少的快慢。作 业：P59A：2-3；B：1课堂练习复合函数求导二【A组】整理文本整理文本.整理文本.1、求以下导数1 2 32、求以下函数的二阶导数(1) (2) (3) 3、验证函数4、设物体的运动规律为，求物体在t=0时的速度和加速度？5、设函数f(x)为偶函数，且，

42、求？6、设周期函数f(x)在R内可导，周期为4，又，那么曲线y=f(x)在点5,f(5)的切线斜率为 2 。【B组】1、设？ 12、假设，求？ 63、求的n阶导数？变形第十一讲 隐函数求导、对数求导法教学目的：掌握隐函数的求导方法，了解对数求导法。重 难 点：隐函数的求导法教学程序：隐函数的概念隐函数的求导方法举例说明对数求导法例子参数方程的导数例子授课提要：一、隐函数概念自变量与因变量的函数关系由方程所确定的函数称为隐函数。 如：等所确定的y是x的隐函数。说明：有些隐函数可化成显函数，但更多的不能化成显函数；同时应明确并非任意一个方程都能确定一个隐函数。整理文本整理文本.整理文本.二、隐函数

43、的求导隐函数求导方法：在方程的两边各项分别对x求导，视y为x的函数，按复合函数的求导法那么求导，最后解出y即可。例1、求隐函数的导数？例2、求隐函数的导数？例3、求隐函数在点0，1的导数值？ 1/e说明：隐函数的导数一般是含x和y的表达式。例4、求曲线在点1，1处的切线方程？三、对数求导法 对于幂指函数(其中u,v是x的函数，或由多项式乘除运算和乘方、开方所得函数的求导，其方法：应先对方程两边取对数，然后用隐函数求导法求导数。即先取对数，后求导数例5、求函数的导数？例6、求函数的导数?例7、求导数：*四、参数方程的导数设函数，且函数的反函数存在，由复合函数求导公式得：说明：参数方程的导数一般是

44、含参变量t的表达式。例8、求函数的导数？思考题：1、如何求的导数？ 两次取对数后再求导数 2、求的导数？ 先区对数再求导数整理文本整理文本.整理文本.3、一球形细胞以/天增长体积，当3的半径为时，其半径增长速度是多少？ 小 结：隐函数求导的关键：1明确方程中是的函数，即；2方程中各项最终是关于求导；3解出一般是含的表达式。 参数方程的导数：其公式是由复合函数求导法那么推导得来。作 业：P62A：2-3；B：1-2课堂练习隐函数求导【A组】1、求以下隐函数的导数(1) (2) (3) 2、求由方程所确定的函数y在点0，1处的导数？3、求由方程所确定的隐函数的导数？4、设物体的运动方程为：，求(1

45、)物体任意时刻的速度和加速度？(2)何时速度为0？(3)何时加速度为0？*5、求以下导数整理文本整理文本.整理文本.1 2【B组】1、设函数y=y(x)由方程所确定，求？2、求隐函数的二阶导数？3、确定a,b,c的值，使抛物线与曲线在x=0处 相交，并具有相同的一、二阶导数。4、设5、设 。*6、证明：曲线上任一点的切线所截二坐标轴的截距之和等于1。*7、，求。归纳总结： 初等函数的导数1、根据导数的定义求导数设函数在点及附近有定义，求函数在的导数步骤：1求函数增量：；2求比值：；3求极限：或。2、根本导数公式常用整理文本整理文本.整理文本.3、四那么运算法那么可导； ； 4、复合函数的导数设

46、函数复合成函数，那么或5、隐函数的导数设函数是由方程所确定的隐函数，那么6、参数方程的导数设函数是由参数方程确定，那么第十二讲 习题课函数求导的方法教学目的：系统化本单元内容，系统掌握函数的求导方法。一、函数求导的根本方法：1、由定义求导三步骤；2、根本初等函数的导数公式与法那么；3、复合函数的求导方法连锁法那么；4、隐函数的求导方法、对数求导法、*参数方程的导数5、求函数的高阶导数。整理文本整理文本.整理文本.二、基此题型：1、求以下导数1 2 32、求以下导数1 2 33、求以下函数的二阶导数(1) (2) (3) 4、设物体的运动规律为，求物体在t=0时的速度和加速度？5、设，求？6、设

47、？7、设为可导的偶函数，且，求曲线在点处的切线方程？8、求以下隐函数的导数(1) (2) (3) 9、求由方程所确定的函数y在点0，1处的导数？10、求函数的导数？11、，求？三、微积分的开展史16151883年我绝对相信历史事实是一种出色的教育指南 M.Kline1615年，德国的开卜勒发表?酒桶的立体几何学?，研究了圆锥曲线旋转体的体积。1635年，意大利的卡瓦列利发表?不可分连续量的几何学?，书中防止无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。整理文本整理文本.整理文本.1637年，法国的笛卡尔出版?几何学?，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点。1638年，法国的费

48、马开始用微分法求极大、极小问题。1638年，意大利的伽利略发表?关于两种新科学的数学证明的论说?，研究距离、速度、加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽利略重要的科学成就。1665-1676年，牛顿1665-1666年先于莱布尼茨1673-1676年制定了微积分，莱布尼茨1684-1686年早于牛顿1704-1736年发表了有关微积分的著作。1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作?关于极大极小以及切线的新方法?。1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。1691年，瑞士的约.贝努利出版?微分学初步?，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。1696年，法

49、国的洛比达创造求不定式极限的“洛比达法那么。1697年，瑞士的约.贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。1704年，英国的牛顿发表?三次曲线枚举?、?利用无穷级数求曲线的面积和长度?、?流数法?。1711年，英国的牛顿发表?使用级数、流数等的分析?。1715年，英国的布.泰勒发表?增量方法及其他?。1731年，法国的克雷洛出版?关于双重曲率的曲线的研究?，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。第十三讲 函数的单调性教学目的：掌握函数单调性的判别法，会求函数的单调区间。整理文本整理文本.整理文本.重 难 点：单调性判别法教学程序：简介微分中值定理复习单调性的定义单调性的判定导数求

50、单调区间例子归纳总结解题步骤授课提要：一、拉格郎日中值定理xyabPOAB假设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点，使。作图说明说明：(1)此定理是微积分学的重要定理，它准确地表达了函数在一个闭区间上的平均变化率和函数在该区间内某点的导数间的关系，它是用函数的局部性来研究函数的整体性的重要工具。 (2)此定理是充分而不必要的。例1、验证：函数是否满足拉格郎日的条件，假设满足，求出？ 任取闭区间例2、证明： 用Lagrange定理二、罗比达法那么表达1、使用条件：1属于的不定式；2导数的极限存在；2、使用方法：先求导数，后求极限；满足条件时可连续使用。例

51、2、求以下极限1 2 3 4 5 6整理文本整理文本.整理文本.三、函数的单调性及判定一阶导数1、复习单调性的概念：略2、作图说明函数的单调性与导数的正负有关：作图演示3、单调性判定定理： 设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导 (1)假设,那么f(x)在a,b内单调增加； (2)假设,那么f(x) 在a,b内单调减少； (3)假设,那么在a,b内，f(x)=C。例3、判定的单调性？例4、判定函数的单调性？四、求函数单调区间1、驻点的概念一阶导数为0的点2、求函数y=f(x)的单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求出的点和不存在的点，并以这些点为分界点将定义域区间分成假设干局部

52、区间；(3)列表讨论函数在各局部区间上的单调性。例5、求函数的单调区间？例6、求函数的单调区间？例7、证明：当作辅助函数思考题：1、用洛必达法那么求极限时应注意什么？注意使用条件2、试用Lagrange中值定理证明函数单调性的判定定理。小 结：微分中值定理是连接函数“局部性质与整体性质的桥梁。表达了局部与整体本质上的内部联系。作 业：P72A：1整理文本整理文本.整理文本.课堂练习函数的单调性【A组】1、证明函数在区间0，+内单调递增？2、求函数的驻点？3、求函数的单调区间？4、证明不等式：5、判定正误：(1)假设f(x)在(a,b)内单调递增，那么-f(x)在a,b内单调递减。 T (2)假

53、设，那么x0必为驻点。 T (3)假设x0为函数f(x)的驻点，那么曲线f(x)在点x0，f(x0)处的切线方程为 T 【B组】1、证明函数在-，0内单调递增。2、设函数间的关系？3、证明：函数在内有唯一实根。4、设f(x)具有二阶导数，且单调增加。5、设函数有连续的二阶导数，且，求极限：？ -1*6、求证：方程提示：作新函数，用根存在定理和单调性证明。整理文本整理文本.整理文本.数学认识实验： 微分中值定理的几何直观1、比较罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的几何意义 当函数以参数方程给定，曲线上点的切线斜率为，端点连线的斜率为，于是由Lagrange定理得Cauchy定理。yTBPA

54、xg(a)g(b)O2、单调性与导数正负的几何直观整理文本整理文本.整理文本. 第十四讲 函数的极值教学目的：理解极值的定义，掌握函数极值的求法。重 难 点：极值概念及求法教学程序：极值的概念极值存在的必要条件极值存在的充分条件第一、第二充分条件求函数的极值例子归纳总结解题步骤授课提要：一、函数的极值1、定 义：略作图直观理解 说明：(1)极值是一个局部概念； (2)极值点是函数增减或减增的分界点。2、极值存在的必要条件 假设函数f(x)在点取极值，那么不存在。说明：(1)假设, 不一定是极值点。如：在x=0处。 (2)假设不存在，也可能是极值点。如：在x=0处。二、极值存在的第一充分条件一阶

55、导数法：略例1、求函数的极值点和极值？例2、求的单调区间和极值？三、极值存在的第二充分条件二阶导数法 设f(x)在点有一、二阶导数，且，那么 (1)假设,那么f(x0)为极小值；整理文本整理文本.整理文本. (2)假设,那么f(x0)为极大值。例3、求函数的极值？例4、求函数的极值？四、求函数极值的一般步骤(1)确定函数定义域；(2)求函数导数，确定驻点和导数不存在的点；(3)用极值的第一或第二充分条件确定极值点；(4)把极值点代入原函数f(x)，求出极值并指明是极大还是极小。说明：利用第一、二充分条件都可判定函数的极值，但必须注意适用范围。例5、试问a为何值时，函数处取得极值？是极大值还是极

56、小值？并求极值？思考题：1、可能极值点有哪几种？ 驻点或不存在的点2、如何判定可能极值点是否为极值点？两个极值存在的充分条件小 结：函数的极值是指函数的局部性质小范围，表达了事物的“相对性。作 业：P72A：2；B：2课堂练习函数的极值【A组】1、求函数的极值？2、求以下函数的单调区间和极值；(1) (2) 3、设函数在x=1处有极值-2，求a,b的值？4、求函数的极值？5、判定正误：(1)假设x0为极值点，且曲线在x0处有切线，那么切线平行于x轴。 T (2)假设函数y=f(x)在(a,b)内可导，且有唯一驻点，那么此驻点必是极值点。F整理文本整理文本.整理文本.(3)假设可导函数f(x)在

57、(a,b)内只有唯一驻点x0,那么f(x0)就是f(x)的最值。F【B组】1、求函数的极值？2、设y=y(x)由方程所确定，求y=y(x)的驻点，并判别其是否为极值点？二阶导数法3、y=f(x)对一切x满足那么 B A、f(x0)是f(x)的极大值 B、f(x0)是f(x)的极小值 C、点x0,f(x0)是拐点 D、都不是数学认识实验： 导函数的图像与极值整理文本整理文本.整理文本.第十五讲 曲线的凹凸性教学目的：理解凹凸性的定义，会求曲线的凹凸区间及拐点。重 难 点：求曲线的凹凸区间教学程序：凹凸性的概念凹凸性的判定求凹凸区间及拐点应用授课提要：一、凹凸的概念1、在区间上作函数的图像。比较曲

58、线的变化说明：对函数的研究来说，仅有单调性、极值是不够的。2、定义：略通过曲线与切线的位置关系定义 说明：(1)注意拐点的定义凹与凸的分界点，即二阶驻点； (2)凹凸性可看成二阶导数的应用。二、凹凸性判定整理文本整理文本.整理文本.定 理：假设函数在内有二阶导数，且对于任意有1，那么在内是凹的；2，那么在内是凸的；3凹与凸的分界点，称为拐点。例1、求曲线的凹凸区间和拐点？例2、求曲线的凹凸区间和拐点？三、求曲线凹凸区间的步骤比较求单调区间与极值的步骤 1求； 2求二阶驻点和二阶奇点； 3分段区间讨论凹凸性、确定拐点。例3、求曲线的单调和凹凸区间，极值与拐点？四、凹凸性的应用1由曲线的凹凸性可知

59、函数增长和减少的快慢程度。例4、某公司的一次广告促销活动中，销量提高了，但销量关于时间的曲线是凹的，这说明该公司的经营情况如何？为什么？假设曲线是凸的呢？说明销量增长速度很快2了解曲线的凹凸性便于作函数的图像。例5、作函数的图像？思考题：1、画出的图像，说明函数递增最快的点和递增最慢的点？参见教材P76小 结：曲线的凹凸性说明函数的递增或递减的快慢程度，它是指一阶导函数的单调性。作 业：P77A：1-2；B：1课堂练习曲线的凹凸性【A组】1、求以下曲线的凹凸区间及拐点：1整理文本整理文本.整理文本.22、求曲线的单调和凹凸区间，极值与拐点？3、点1，2为曲线的拐点，求a,b的值？【B组】1、证

60、明曲线有三个拐点，且其在一条直线上。2、作以下函数的图像：1 2第十六讲 函数的最值教学目的：理解最值的概念，会求简单实际问题的最值。重 难 点：求函数的最值教学程序：最值的概念最值求法比较法两种特殊情况的最值实际问题的最值例子数学建模介绍最优化授课提要：一、最值的定义略 说明：最值是一个全局概念，是针对整个区间而言的。二、求连续函数f(x)在a,b上最值的一般方法比较法。例1、求函数在-2，2上的最值？整理文本整理文本.整理文本.三、两种特殊情况下求最值： (1)假设f(x)在区间a,b上连续、单调，那么f(a),f(b)一定是最值； (2)假设f(x)在某一区间上仅有唯一驻点，且该驻点是极