(整理)采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题

1、精品文档采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题1平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界

2、条件通过极坐标形式描述和表达。本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由

3、两个相距dp的圆柱面和互成d申的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用表示径向正应力，用f表示环向正应力,T(pp和分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，二。首先推导平衡微分方程的极坐标形式。考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为秸叭卩,则CD面上的应力分量为吹訴和守S如果AD面上的应力分量牡和，则BC面上的应力分量为同时，体力分量在极坐标径向p和环向申方向的分量分别为Fbpq和Fb(p。2、极坐标平衡微分方程设单元体的厚度为1，如图所示aDc考察其平衡首先讨论径向的平衡，注意到s血字cosl，可以得到0CT(b#+S)(P+Ap)A(p-apA(p-(dP

4、爲“字+J+詈S)“-f“+岛咖1级二简化上式，并且略去三阶微量，则同理，考虑微分单元体切向平衡，可得简化上式，可以得到极坐标系下的平衡微分方程，即3、极坐标下的应变分量以下推导极坐标系统的几何方程。在极坐标系中，位移分量为Up，伦，分别为径向位移和环向位移。极坐标对应的应变分量为：径向线应变p，即径向微分线段的正应变；环向线应变为环向微分线段的正应变；切应变Y即为径向和环向微分线段之间的直角改变量。首先讨论线应变与位移分量的关系，分别考虑径向位移环向位移up，环向微分线段AB=pd申的相对伸长为如果只有环向位移时，径向微分线段线没有变形，如图所示将上述结果相加，可以得到正应变分量E二些=土+

5、丄些卩加，pp询4、几何方程的极坐标表达面考察切应变与位移之间的关系。设微分单元体ABCD在变形后变为ABCD，如图所示因此切应变为Yp(p=耳+(卩-；而a角应等于上式中耳表示环向微分线段AB向p方向转过的角度，即表示径向微分线段AD向申方向转过的角度，因此产二字A点的环向位移除以该点的径向坐标p，即痩二乡。1Su.3%,将上述结果回代，则一点的切应变为F廖综上所述，可以得到极坐标系的几何方程为5、本构方程的极坐标表达由于讨论的物体是各向同性材料的，因此极坐标系的本构方程与直角坐标的表达形式是相同的，只要将其中的坐标x和y换成P和申就可以了。对于平面应力问题，有%二討厂心%二*(各_5)二也

6、二2Q+1/)1J7P广-;F薜对于平面应变问题，只要将上述公式中的弹性常数E，v分别换为1V22=，就可以。6、极坐标系的Laplace算符平面问题以应力分量形式表达的变形协调方程在直角坐标系中为可(6+bj二0。由于x+cy=cp+%为应力不变量，因此对于极坐标问题，仅需要将直角坐标中的Laplace算符转换为极坐标的形式。因为，x=pcos申，y=psin申，即。将p和申和分别对x和y求偏导数，可得鼻根据上述关系式，可得以下运算符号3dp3Stp391.9=+=cos1-sina?dx&dpdxd(pdppS(pddpddtpb.91d=+=sin(p+cos(pdydydpSydipb

7、ppb(p/d1.3.d1.d,(costp-一Ein护)(cos-一sintp)bpp8诃dppdp_2d22sin|cos1d2*sin2cosd+sin2d卩亦p3成ppdpTOC o 1-5 h z31d.d1d-=(sinp+cosj)(sinp+cosp)dppdpdpp.d2cos2a?-sin2a?d2sincos1=smcos+鼻oppdpd(ppdpcos2sin2pdsincosjd2p1d(pp1将以上两式相加，简化可以得到极坐标系的Laplace算符。2_e2d2_d218152V=护+萨=请+3乔+歹步另外，注意到应力不变量+弓=空+入，因此在极坐标系下，平面问题的

8、由应力表达的变形协调方程变换为7、应力函数如果弹性体体力为零，则可以采用应力函数解法求解。不难证明下列应力表达式是满足平衡微分方程的这里艸（p,是极坐标形式的应力函数，假设其具有连续到四阶的偏导数。将上述应力分量表达式代入变形协调方程，可得显然这是极坐标形式的双调和方程。总而言之，用极坐标解弹性力学的平面问题，与直角坐标求解一样，都归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。在应力函数解出后，可以应用应力分量表达式求解应力，然后通过物理方程和几何方程求解应变分量和位移分量。7.2轴对称问题的应力和相应的位移学习思路:如果弹性体的结构几何形状、材料性质和边界条件等均对称于某一个轴时，称为轴对称结构。

9、轴对称结构的应力分量与申无关，称为轴对称应力。如果位移也与申无关，称为轴对称位移问题。本节首先根据应力分量与申无关的条件，推导轴对称应力表达式。这个公式有3个待定系数，仅仅根据轴对称应力问题的边界条件是不能确定的。因此讨论轴对称位移，根据胡克定理的前两式，得到环向位移和径向位移公式，然后代入胡克定理第三式，确定待定函数。轴对称问题的实质是一维问题，因此对于轴对称问题，均可以得到相应的解答。应该注意的问题是如何确定轴对称问题。学习要点：1、轴对称应力分量；2、轴对称位移；3、轴对称位移函数推导；4、轴对称位移和应力表达式。1、轴对称应力分量考察弹性体的应力与申无关的特殊情况，如图所示。即应力函数

10、仅为坐标P的函数。这样，变形协调方程即双调和方程成为常微分方程如将上式展开并在等号两边乘以P4，可得4dSf3F爲2丄_n这是欧拉方程，对于这类方程，只要引入变换卩=,则方程可以变换为常系数的微分方程，有如一4如+4血二0d?胪胪其通解为缈f(f)=+Bte赛+Ce畫+D注意到t=Inp，则方程的通解为丹(p)-/Inp+Bp2Inp+Cp+D将上式代入应力表达式则轴对称应力分量为cr=-+50.+2Inp)+2CPApp=0上述公式表达的应力分量是关于坐标原点对称分布的，因此称为轴对称应力。2、轴对称位移现在考察与轴对称应力相对应的变形和位移。对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程可得应变

11、分量耳二+Q+iz)-+(1-3y)5+2(1-y)Bln/?+2(1-y)C%=*-Q+v)T+(3-+2(1-v)Bln/?+2(1-v)C根据上述公式可见，应变分量也是轴对称的。将上式代入几何方程可得位移关系式-=(1+)-+-3y)B+2-y)Blnp+2(l-y)CTOC o 1-5 h z%11A+二-0.+V)-+(3-y)5+2(1-P)EIn#+2(1-y)Cppb(pEp1duduu上_1+丄二0pbpbpp对上述公式的第一式积分，可得叫二+2Q-讨)珈(InQT)+(1-弘)珈+2(1-p)Cq+(诃)其中f（申）为申的任意函数。将上式代入公式的第二式叫1加巾1A+二一Q

12、+V)-+(3-y)B+2(1-y)Bln+2(1-y)CppEp积分后可得%二警土_J）收+如）这里g（p）为p的任意函数。3、轴对称位移函数推导将径向位移叫二+-Q+卩)乡+2Q-w)%(lnp-1)+(1-弘)珈+2(1-i/)Up+(诃)和环向位移%二警乂一J/（缪）d诃+g（p）的结果代入公式的第三式或者写作上式等号左边为P的函数，而右边为申的函数。显然若使上式对所有的P和申都成立，只有弩+打（诃）切二Fdip其中F为任意常数。以上方程第一式的通解为gp)=Hp+F这里H为任意常数。为了求出f（申），将方程的第二式对申求一次导数，可得其通解为/S）=1血炉+恳8沖。另外将上述公式分别

13、代入位移表达式6二+Q3）乡+2Qj）盼zD+Q）珈Fl-卩）如+）可得位移分量的表达式=i-(l+y)+20.-y)B/?(ln/?-1)+(1-3v)Bp+2(1-v)Cp+Isinp+疋cos诃up二4?诃+Hp-1sin+Kcosp4、轴对称位移和应力表达式位移分量的表达式=i-(l+v)+2(L-y)珈(kip-Y)+(1-3v)Bp+2(1-v)Cp+Isinp+up=4?诃+Hp-+Kcostp中的A，B，C，H，I，K都是待定常数，其取决于边界条件和约束条件。上述公式表明应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。所以，轴对称应力表达式可以简化为但是在轴对称应力中，假如物体的几何形状和

14、外力，包括几何约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。这时，物体内各点的环向位移均应为零，即不论P和申取什么值，都应有U=0o因此,B=H=I=K=0而位移表达式简化为%=上述公式当然也可以用于平面应变问题，只要将E,v分别换为即可。7.3圆筒受均匀分布压力的作用学习思路:本节介绍典型的轴对称问题，厚壁圆筒作用均匀压力的求解。问题的主要工作是通过边界条件确定轴对称应力公式中的待定系数。除了厚壁圆筒作用内外压力，还分析了作用内压力的圆筒应力分布。这个解答工程上称为拉梅（Lame）解答，是厚壁圆筒等工程问题的经典解答。学习要点：1、厚壁圆筒内外作用均匀压力；2、厚壁圆筒受内压力1、厚壁圆筒内外作

15、用均匀压力设有圆筒或圆环，如图所示外半径为b，受内压力q1及外压力q2的作用。内半径为a显然，问题的应力是轴对称的，如果不计刚体位移，则其位移也是轴对称的。将轴对称应力公式代入本问题的边界条件求解可得联立求解上述公式，可得将上述所得的A，C回代轴对称应力公式可得Lame解答pb2-a2p1b2-a2_/沪q2-Qiq2q/2pUb2-a2%二2、厚壁圆筒受内压力当外壁压力q2为零时，即圆筒仅受内壁压力的作用，则圆筒应力为根据上述分析，容易看到径向应力小于零，为压应力；而环向应力大于零，为拉应力。最大应力为发生在内壁的拉应力，其值为7.4曲梁纯弯曲学习思路:本节介绍曲梁纯弯曲问题。对于曲梁，其几

16、何形状并不具有轴对称性质，但是对于纯弯曲问题，其任意横截面的内力具有轴对称性质。因此这是一个典型的轴对称应力问题。由于问题属于轴对称应力，但是却不是轴对称位移，因此应该注意选取的应力和位移表达式。问题性质确定后，主要工作仍然是通过边界条件确定轴对称应力表达式的待定系数。除了曲梁纯弯曲应力分布分析，本节还讨论了曲梁的变形和位移。根据分析，曲梁纯弯曲的横截面是保持平面的，但是弯曲应力0申沿横截面高度按双曲线分布，这与直梁的弯曲应力是不同的。因此，平面假设用于曲梁是不准确的。学习要点：1、曲梁纯弯曲边界条件；2、曲梁弯曲应力；3、曲梁纯弯曲位移与平面假设1、曲梁纯弯曲边界条件设有矩形截面的曲梁，如图

17、所示其内半径为a，外半径为b，两端受弯矩作用，设单位宽度的弯矩为Mo取曲率中心为坐标原点O，从梁的一端量取申o由于梁的所有径向截面上的弯矩均相同，因此可以认为各个截面的应力分%pdpp1布是相同的，也就是说应力分布是轴对称的。其应力分量满足轴对称应力公式=A+B(l+21n)+2C=-+S(3+21n/7)+2C%=根据边界条件可以确定待定常数A,B,C本问题的边界条件为巧严=o?=0.%円=Jtrpd/?=0fjo-pAp-Maa将轴对称应力分量代入上述边界条件，可以得到-4+2Bln+B+2C=0+2Elnb+E+2U二0b(+2Eln盘+E+2C)辽(+2Elnb+E+2C)二0JWn+

18、B(b2In6-a2Ina)+C(b2-a2)=Ma2、曲梁弯曲应力上述公式-4+2Blna+B+2C=0+2Elnb+E+2C二0(L+251n+5+2q-a(-+2BlnZ?+5+2Q=0.din+B(b2In6-a2Ina)+C(b2-a2)-Ma的第三式是第一，第二式线性组合的必然结果。将其余三个方程联立求解。可以得到其中N=(b2-a2)2+4a2d2(ln-)2a=0cr=-+50.+2Inp)+2CPApp爲二二一+H+21nQ)+2C0巴(驾ln2+护ln?+亍In兰)Np2appb=+d2ln+(2ln+d2-2)Npapp将上述系数代入应力分量表达式，不难看出、仲性諂上述应

19、力分量表达式称为克洛文解。应力分布如图所示Vminmax穹曲应力挤压.应力厅炉p在内边界，即p=a，弯曲应力最大。中性轴，即=0处，在靠近内边界一侧。挤压应力秤的最大值较中性轴更靠近内边界一侧。EIsin+Kcosg?对于曲梁的弯曲位移，可将系数A,B,C代入轴对称应力的位移表达式ia-0.+v)+20.-y)B/?(lnpV)+(l-3y)5/?+2(1-y)C/?+Isin+cosEp3、曲梁纯弯曲位移与平面假设而其余待定常数H，K，I将由梁的约束条件来确定。假设即认为P点的位移为零，而且该点的径向微分线段沿申方向的转角也为零，如图所示将轴对称位移据表达式代入上述位移边界条件，则H二1二0

20、疋二+Q3)才一爼一)陥111炖f卩)炖一2U(1-卩)灿将上述待定系数回代轴对称应力的位移表达式1All命=-0.+v)一+2Q-v)Bpn/?-1)+(1-3)Bp+2(1-y)Cp+Isin+疋cos诃则可得曲梁的位移。以下讨论平面截面的假设，为此考虑曲梁的环向位移曲梁横截面上的任一径向微分线段的转角a为对于曲梁的任一横截面，申为常数，因此横截面上的所有微分线段的转角a均相等。这也就是说，曲梁的横截面保持平面。这与材料力学关于梁的弯曲变形平面假设是一致的。但是，弯曲应力f按双曲线分布显然与直梁的弯曲应力是不同的，而且假设径向应力Cp=0和嘻=0，就是认为纵向纤维仅受简单的环向拉压的假设对

21、于曲梁是不成立的。但是，由于平面假定的正确，所以对于曲率不大的曲梁，这个误差并不是特别显著。因此，材料力学弯曲应力的计算公式在工程中广泛应用。7.5曲梁受径向集中力学习思路:本节讨论曲梁作用径向集中力问题。曲梁在集中力作用下，已经不是轴对称应力问题。对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。对于曲梁作用径向集中力，借助于边界弯矩与应力函数的关系，找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数。对于应力函数中的待定系数，则根据边界条件确定。学习要点：1、曲梁径向集中力问题的应力函数；2、边界条件；3、曲梁应力1、曲梁径向集中力问题的应力函数设有矩形截面的曲梁，如图所示其内

22、半径为a，外半径为b，一端固定而另二端受径向力F作用，设其为单位宽度。取曲率中心为坐标原点O，从梁的一端量取申。根据曲梁受力分析，任一横截面的内力，弯矩与sin申成正比。因此根据应力函数的性质，假设问题的应力函数也与sin申成正比，即将上式代入变形协调方程可以得到f()所需要满足的方程这个方程可以转换为常系数的常微分方程，其通解为fp)-Aps+B+Cp+Dpnp将其代入应力函数表达式诃f3)二/(/?)sin诃，则诃f(Q“)=(Ap3+H丄+C/?+Dpn/?)sinp2、边界条件根据极坐标应力分量表达式可得曲梁应力分量为PPPP=|芳=(6羽+牛血炉厂二一旦(丄退)二一(2如一苓+E)金

23、诃现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数A,B和D。本问题的面力边界条件为=0?=0?pfp=a_0卯ih_ordp=-F3、曲梁应力求解上述方程，可以得到其中N=a2-b2+(a2+b2)n-a将上述计算所得的待定常数代入应力分量表达式将曲梁应力分量代入面力边界条件，可得则曲梁的应力分量为F.a2+b2a2b2.7.6带圆孔平板的均匀拉伸学习思路:平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。根据上述分析，在与

24、小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。学习要点：1、带圆孔平板拉伸问题；2、厚壁圆筒应力函数；3、应力与边界条件；4、孔口应力。1、带圆孔平板拉伸问题设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响，如图所示。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离增加，

25、在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。因此qoqbqb心=qcos2=(1+cos2lcos+Esin炉+（Ccos?+Dsin炉）其中A，B，C和D为待定常数，将上式代入应力函数表达式可得缪f（/?,诃）=j4/?cos+劭sin级+/?（Ccos+Dsin缪）由于过且过勢+Ep血卩=Hx+Ey为线性项，不影响应力分量的计算，因此可以删去。因此应力函数为诃f（p,诃）=p诃（Ceos诃+Dsin诃）2、楔形体边界条件=0由应力分量表达式，可得楔形体的应力分量7Jj=一(Dcos?-Csinp)P现在的问题是

26、利用面力边界条件确定待定常数。楔形体左右两边的面力边界条件已经自然满足。此外还有一个应力边界条件：在楔形体顶端附近的一小部分边界上有一组面力，它的分布没有给出，但已知它在单位宽度上的合力为F。如果取任意一个截面，例如圆柱面ab，如图所示则该截面的应力分量必然和上述面力合成为平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。于是得出由应力边界条件转换而来的平衡条件iJbcos(ppA(p+Fcos0二03、楔形体应力将应力分量表达式代入上式，则2J(Deos2p-CsinpcQsp)dq?+FcosJ=02J(Deos2p-Csin.?cos(p)A(p+Fsin二0积分可得D(sina+a)+Fcos

27、0二QC(sinff-ff)+Fsin=O将常数C和D代入应力分量表达式则本问题的解答为上述楔形体应力在等于0时，将趋于无限大。即在载荷作用点的应力无限大，解答是不适用的。但是如果外力不是作用于一点，而是按照上述应力分布作用于一个小圆弧区域，上述解答则为精确解。根据圣维南原理，除了力的作用点附近，解答是有足够精度的。4、半无限平面作用集中力在上述楔形体问题中，如果令（X二兀，卩二0,则转化为弹性半无限平面作用集中力问题。将x二兀,卩二0代入楔形体应力表达式则弹性半无限平面作用集中力作用的应力表达式为弹性半无限平面作用集中力作用的应力场具有以下特点：1、秤为主应力,其余主应力为0。2、在直径为d,圆心在x轴并且与y轴相切于原点O的圆上，由于该圆上任意一点满足p=dcos申，所以，圆上任意一点应力为Qp=2F/兀d。这就是说，圆上任意一点应力，除载荷作用点以外，各点应力和秤相同。此圆为等径向应力的轨迹线，称为