第11章等候线模型课件

1、第11章 等候线模型 回想一下上一次称不得不等候的情形：在超市的收银台等候，在银行等候出纳员，或者是在快餐店等候服务员。在类似上述需要排队的情况下，把时间用于等待是令人非常不快的。然而增加更多的收银员、银行出纳员或服务生并不总是改变服务水平的最经济的策略。因此，各行各业需要采取相应的措施，把等待时间控制在顾客所能容忍的限度内。 人们已经设计建立了一些模型来帮助管理者理解等候线的运作，并帮助他们做出更好的决策。等候线用管理科学的术语来讲也称队列，与等候线相关的知识体系称为排队论。20世纪初，丹麦的一个电话工程师A.K.阿朗开始对打电话时发生的阻塞和等待时间进行研究。之后，排队论的发展已经日趋复杂

2、，并广泛的运用到等候线情形中。 等候线模型包括一些数学公式以及可用于确定等候线运行参数（绩效指标）的关系式。相关的一些运行参数如下：(1)系统中没有任何个体的概率；(2)等候线中等待个体的平均数；(3)系统中个体的平均数（等候线中个体的平均数加上接收服务的个体的数目）；(4)一个个体在等候线中所花费的平均时间；(5)一个个体在系统中花费的平均时间（等候时间加上服务时间）；(6)一个个体到达以后不得不等待以接受服务的概率； 管理者具备了以上的信息，才能更好的做出使期望服务水平与所花费的成本相平衡的决策。11.1等候线系统的结构 为了说明等候线系统的基本特征，我们以伯格.度姆快餐店的等候线为例。伯

3、格.度姆快餐店出售火腿汉堡、奶酪汉堡、法式油炸食品、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特色食品和甜点可供选择。虽然伯格.度姆快餐店希望能为每位顾客提供即时的服务，但是很多时候，到达的顾客远远多于伯格.度姆快餐店的服务人员所能接待的人数。因此，顾客们不得不排队，以等候所点快餐并取走所点的食品。 伯格.度姆快餐店担心，它目前所用的顾客服务方式正导致过长的等候时间。管理层已经提出要求，需要对等候线进行研究，以开发一个能够减少等待时间、提高服务质量的最佳服务方式。 11.1.1 单列等候线 在伯格.度姆快餐店目前所实行的运作方式中，首先由一名服务生接受一位顾客的点餐，计算总费用，向顾客收取餐费，然后上

4、菜。为第一位顾客上菜之后，这名服务生就可以为下一位等待中的顾客服务。这种运作方式就是一个单列等候线模型的例子。每位进入伯格.度姆快餐店的顾客都必须通过这一条渠道（一个接收点餐和上餐的工作台）以进行点餐、付款，然后取食品。当到达的顾客人数很多，以至于工作人员不能及时提供服务时，顾客们就会形成一条等候队伍，等待这个点餐和上菜的工作台为其提供服务。有关伯格.度姆快餐店的单列等候线如图11-1所示。等候线服务生接收点餐并满足点餐要求顾客到达点餐完毕后顾客离开系统图 11-1 伯格.度姆的单列等候线 11.1.2 达到间隔分布 为等候线确定到达过程，主要包括确定在某个给定时间段内顾客到达数目的概率分布。

5、对于有些等候线情形来说，顾客的到达具有随机性和独立性，我们也不能预测新的顾客会在什么时候到达。在这种情况下，管理科学家们发现，顾客的到达规律可以用泊松概率分布来很好地进行描述。 泊松概率函数可以计算出在某个时间段内，有x位顾客到达的概率。该概率函数如下：式中， x-在此时间段内到达的人数; -每个时间段内到达的平均人数； e=2.718 28e-的值可以利用计算器或通过书末附录B计算得出。(11-1) 假设伯格.度姆快餐店已经对相关的顾客到达数据进行了分析，并得知平均每小时到达的顾客人数为45人。也就是说，平均1分钟内到达人数为=45名顾客/60分钟=0.75名顾客/分钟。因此，我们可以利用下

6、面的泊松概率函数计算1分钟内有x为顾客到达的概率： 从而，1分钟内有0为、1位和2位顾客到达的概率分别为：可见，1分钟内没有顾客到达的概率为0.472 4， 有1位顾客到达的概率为0.354 3，有2位顾客到达的概率为0.132 9.表11-1表示偶尔一分钟内到达的顾客数的概率。 表 11-1 1分钟内到达伯格.度姆快餐店的顾客人数概率分布 到达顾客数 概率 0 0.472 4 1 0.354 3 2 0.132 9 3 0.033 2 4 0.006 2 5 0.001 0 在第11.2节和第11.3节中，我们将要讨论到等待线模型，其中伯格.度姆快餐店的顾客到达人数是用泊松分布描述的。在实际

7、应用中，我们要记录几天或几个星期内每个时间段的实际到达人数，并将观察到的到达人数概率分布与泊松概率分布相比较，以确定由泊松概率分布计算得出的值是否是实际到达人数分布的合理的近似值。 11.1.4服务时间分布 服务时间是指从服务开始，某位顾客在服务台所花费的时间。对于伯格.度姆快餐店而言，服务时间是从顾客开始向服务生点餐开始，并持续到顾客拿到所点的食品为止。服务时间通常不是固定的。在伯格.度姆快餐店，每位顾客所点的食品数目和品种有很大的不同。点餐少的顾客可能在几秒钟内完成，但点餐多的顾客的可能要花2分钟甚至更长的时间才能完成。 管理科学学家们发现，如果服务时间的概率分布可以用指数概率分布来表示，

8、那么可以用公式计算等候线运作所需的有用信息。利用指数概率分布来计算服务时间小于或等于时间长度t时的概率如下：其中，-每个时间段内可接受服务的个体的均值；e=2.718 28。 假设伯格.度姆快餐店已经研究了接受点餐和上菜的过程，并发现每个服务生平均每小时能为60位顾客提供点餐服务。在此基础上，可以得出平均服务率为=60名顾客/60分钟=一名顾客/分钟。例如，当=1时，我们可以用式（11-3）来计算在0.5分钟内、1分钟内以及2分钟内可以处理一个点餐要求的概率。计算分别如下： 因此，我们可以得出结论：0.5分钟内能处理一个点餐要求的概率为0.393 5，1分钟内能处理一个点餐要求的概率为0.63

9、2 1，2分钟内能处理一个点餐要求的概率为0.864 7。 本章所述的几个等候线模型中，我们假定服务时间的概率分布服从指数分布。在实践中，我们应该收集相关的实际服务时间的数据，以确定由指数分布得出的值是否是实践中服务时间的合理近似值。11.1.4 排队原则 在描述等候线系统时，我们必须规定等待中的个体按照什么方式等待服务。就伯格 度姆快餐店的等候线（推广到一般来讲，可以是所有面向顾客的等候线）来说，我们是以先到先服务的原则来安排等候服务的顾客的，这种方式被称做FCFS排队原则。然而，用些情况要求有不同的排队原则。如，人们在等候电梯时，最后上电梯的人通常是最先完成服务过程（即最先离开电梯）的人。

10、还有一些排队原则则是赋予等候个体优先次序，然后为具有最高优先权的顾客最先提供服务。在本章中，我们只讨论先到先服务的排队原则为基础的等候线。11.1.5 稳态运行 当伯格.度姆快餐店早上开始营业时，店里没有顾客。渐渐地，营业开始正常或呈稳定状态。我们将开始或起始阶段成为过渡（瞬时）阶段。当系统正常或稳态运行时，过渡（瞬时）阶段结束。等候线模型描述了等候线的稳态运行参数。11.2 到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型 在本节中，为了确定单列等候线的稳态运行参数，我们将引进一些相关的公式。如果顾客到达服从泊松分布，并且服务时间服从指数分布，则我们就可以应用这些公式。因为上述假设符合

11、第11.1节中讨论的伯格.度姆快餐店问题，因此，我们将解释如何应用这些公式来确定伯格.度姆快餐店的运行参数，并据此为管理层提供有益的决策信息。11.2.1运行参数 我们可以用下述公式来计算到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线的运行参数，其中， -每个时间段内到达的平均数（平均到达率）； -每个时间段内服务的平均数（平均服务率）；1. 系统中没有任何个体的概率： （11-4）3 系统中个体的平均数：4 一个个体在等候线中所花费的平均时间：5 一个个体在系统中花费的平均时间：2等候线中个体的平均数： (11-5)(11-6)(11-7)(11-8)7 系统中同时有n个个体的概率：(1

12、1-10)6 某位刚到达的个体必须等待的概率：(11-9)11.2.2伯格.度姆快餐店问题的运行参数 回顾一下，在伯格.度姆快餐店的问题中，我们已经得到一个平均到达率=0.75和一个平均服务率=1。我们可以用式（11-10）确定系统中任何数目顾客的概率。表11-2提供了应用式（11-10）得出的概率。 表11-2 伯格.度姆快餐店的等候线系统中有n位顾客的率顾客人数 概率 0 0.250 0 1 0.187 5 2 0.140 6 3 0.105 5 4 0.079 1 5 0.059 3 6 0.044 5 7个或更多 0.133 5 11.2.3管理者对等候线模型的应用 伯格.度姆快餐店的

13、单列等候线的计算结果给出了一些关于等候线运作的重要信息。特别值得注意的是，顾客们在点餐前的平均等待时间为3分钟，这对以快速服务为宗旨的快餐行业来说，多少有些长了点。此外，我们还注意到，等待中的顾客平均人数为2.25位，且顾客不得不等待的概率为75%，这也要求我们必须采取措施来改善等候线的运作。通过表11-2，我们知道，在伯格.度姆快餐店的系统中，同时有7个或7个以上顾客等待的概率为0.1335.这一数字表明，如果伯格.度姆快餐店继续使用单列等候线运作方式，则很可能会出现较长的等待队伍。 如果相对于公司的服务标准来讲，伯格.度姆快餐店的运作参数并不令人满意。因此，快餐店的管理者应当考虑采取其他设

14、计或计划来改善等候线的运作。11.2.4改进等候线运作 等候线模型通常会显示出哪些运作参数需要改善。然而，要就怎样改变等候线结构来改善运行参数做出决策，必须依靠分析家的洞察力和创造力。 考察了等候线模型所提供的运行参数之后，伯格.度姆快餐店的管理者认为有必要改善等候线的运作从而减少顾客的等候时间。为了改善等候线的运作，分析家们常常侧重于采用提高服务率的方法。一般来讲，要提高服务率，需要做出下面一两种改变： (1)通过创造性的设计变更或利用新技术来提高平均服务率。 (2)增加服务渠道，这样能够使更多的顾客得到即时服务。 假设在考虑方案1时，伯格.度姆快餐店的管理者决定雇用一名上菜员来帮助收银台旁

15、的点餐员。从点餐员点餐开始，顾客开始接受服务。点餐后，点餐员通过一个内部通讯系统报出菜名，然后由上菜员开始上菜。点餐完毕后，点餐员处理付款事宜，上菜员继续上菜。按照这一设计，伯格.度姆快餐店的管理者预测，平均服务率可以从现在的每小时60位顾客上升到每小时75位顾客。也就是说，改变后的系统的平均服务率为=75位顾客/60分钟=1.25位顾客/分钟。在=0.75位顾客/分钟且=1.25位顾客/分钟的情况下，我们可以利用式（11-4）式（11-10）重新计算伯格度姆快餐店的等候线的新的运行参数。计算得到的运行参数如表11-3所示。 系统中没有顾客的概率等候线中顾客的平均人数系统中顾客的平均人数一位顾

16、客的等候线中花费的平均时间分钟一位顾客在系统中花费的平均时间分钟一位到达的顾客必须等候的概率系统中有7位以上（含7位）顾客的概率表11-3 平均服务率上升到=1.25位顾客/分钟时，伯格度姆快餐店系统的运行参数 从表11-3中我们可以看出，服务率的提高改善了所有的运行参数。特别地，顾客排队等候所花费的平均时间从3分钟下降到了1.2分钟；顾客在系统中所花的平均时间从4分钟减少到2分钟。然而，还没有其他的方法可以让伯格度姆的快餐店提高服务率呢？如果有，并且每种方法中的平均服务率都能确定，则可以利用式（11-4）式（11-10）来计算改变后的运行参数以及等候线系统中的所有改善。我们可以将实施改进方案

17、所增加的成本与提高的服务质量进行比较，从而帮助管理者决定实行改善方案的服务改善策略是否有价值。 正如前面所提到的，方案2可以提供一个或多个额外的服务梁道。从而可以在同一时间内为多位顾客服务。下一界讨论的主题就是把单列等候线模型扩展到多位等候线模型。11.2.5等候线模型的Excel解法 在工作表的帮助下，我们可以很容易的实施等候线模型。伯格度姆快餐店单列等候线的Excel工作表如图11-2所示。阴影部分是输入了公式的单元格，明亮的部分是输入了数值的单元格。在单元格B7和B8中分别输入平均到达率和平均服务率，然后将等候线相关运行参数的公式输入到单元格C13到C18中。通过该工作表得到的结果与我们

18、前面得到的运行参数的值是相同的。我们可以通过在单元格B7和B8输入不同的平均到达率和（或）平均服务率，来得出等候线设计的变更。如此就可以立刻得到等候线的新的运行参数。 图11-2所示的工作表是一个模板，可以用于所有到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型。该工作表及本章中提到的其他的一些等候线模型的类似工作表，可以参见在本书附带的CD盘中的内容。11.3 到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线模型 一个多列等候线包括两个或两个以上的服务梁道，假设这些服务渠道就服务能力而言是相同的。在多列系统中，到达的个体在单列等候线中等待，然后移动到第一个可用的梁道接收服务。图11-

19、3为伯格度姆快餐店的一个双梁道示意图。 本节中，我们将介绍确定多列等候线稳态运行参数的公式。这些公式的应用前提为下列条件成立：到达服从泊松分布；各个梁道的服从时间服从指数分布；各个梁道的平均服务率相同；到达者在单列等候先中等候，然后移动到第一个可用的梁道接受服务。顾客到达等候线渠道1服务生A渠道2服务生B顾客到下一个营业渠道点餐完毕后顾客离开图11-3 伯格 度姆快餐店的双渠道等候线 （11-11）(11-12)11.3.1运行参数 我们可以用下列公式来计算多列等候线的稳态运行参数,其中, 表示系统中的平均到达率;表示每个两道的平均服务率;k表示渠道数.1.系统中没有任何个体的概率:2.等候线

20、中个体的平均数: (11-15)3.系统中个体的平均数:(11-13)4.一个个体在等候线中所花费的平均时间:(11-14)5.一个个体在系统中花费的平均时间:(对于nk) （11-17） （对于nk）（11-18）6.某位刚到达的个体必须等待的概率:(11-16)7.系统中同时有n个个体的概率： 因为为每个渠道的平均服务率，所以k就是多列系统的平均服务率。我们已经知道上述公式适用与单列等候线模型，但只有当系统的平均服务率大于系统的平均到达率时，这些公式才能使用于多列等候线模型的运行参数。也就是说，对于多列等候线模型，只有当k时，才可以应用上述公式。 对于多列等候线，有些运行参数的表达式比单列

21、等候线的要复杂。但是，式（11-11）式（11-18）给出了与单列等候线模型相同的信息。为了帮助简化多列等候线模型中的公式的运用，表11-4给出了根据所选定的一些和的值所计算出的0 的值。表中的数值都对应着k的情况，即服务率足够处理到达的顾客。11.3.2 伯格度姆快餐店问题的运行参数 为了说明多列等候线模型，我们仍然以伯格度姆快餐店的等候线为例。如果管理者想对增开第二个点餐工作台（以便能同时为2位顾客提供服务）的可行性进行评估。假设在单列等候线中排在第一位的顾客首先到达空闲的服务生处接受服务。下面我们来计算这个双梁道系统的运行参数：P0 =0.4545（见表11-4，其中，/=0.75）（位

22、顾客）（位顾客）（分钟）（分钟）利用式（11-17）和式（11-18），我们可以计算出系统中有n位顾客的概率。计算结果如表11-5所示。 现在，我们可以将双梁道系统的稳态运行参数与第11.2节中所讨论过的原先的单列系统的运行参数进行对比。 (1)一位顾客在系统中所花费的平均时间（等候时间加上接受服务时间）从W=4分钟减少到W=1.1636分钟； (2)等候线中顾客的平均人数从Lq =2.25位减少到Lq =0.1227位； (3)一位顾客在等候线中所花的平均时间从Wq=3分钟减少到Wq=0.1636分钟； (4)一位顾客不得不等待的概率从PW=0.75下降到PW=0.2045。 很明显，双渠道

23、系统可以极大地改善等候线的运行参数。但是，在每个服务台增加一个上菜员也会进一步提高平均服务率，并且可以进一步提高运行参数。伯格度姆快餐店人员决策的最终决定权在管理者手中。对等候线的研究只提供了3种结构下可以预测到的运行参数：一名员工的单列系统，两名员工的单列系统和每个渠道一名员工的双梁道系统。考察了上述结果之后，你会推荐是是什么措施？在本案例中，伯格度姆快餐店采用了下面的策略：在预计到达顾客为平均每小时45人的时间段内，伯格度姆快餐店将增开两个处理点餐的梁道，每个渠道安排一名员工。 伯格度姆快餐店的管理者通过改变平均到达率来反映一天中不同时段的到达率，然后计算出运行参数，这样他们就能够制定出相

24、应的方针政策，告诉经理什么时候应当安排单个梁道，什么时候应当安排双梁道，或者甚至是三个或更多梁道以适应营业状况。表11-5伯格度姆快餐店双梁道系统中有n位顾客的概率顾客人数概率01234504545034090127800479001800010911.4等候线模型中的一般关系在第11.2节和第11.3节中，我们分别讲到了到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线和多列等候线的运行参数的计算公式。相关的运行参数如下：Lq等候线中个体的平均数；L 系统中个体的平均数；Wq一个个体在等候线中所花费的平均时间；W一个个体在系统中所花费的平均时间。 约翰里特（John D .C. Little

25、）证明了这四个参数之间存在的几种关系，并且这些关系适用于各种不同的等候线系统。其中的两种关系成为里特导出方程： L=W （11-19） Lq=Wq （11-20）式（11-19）表明，系统中个体的平均数可以由平均到达率与每个个体在系统中所花费的平均时间W相乘得到。式（11-20）表明，等候线中个体的平局数Lq 与每个个体在等候线中所花费的平均时间Wq之间也存在这一样的关系。利用式（11-20）求解Wq，我们可以得到：利用里特的第二个到导出方程可以直接推导出式（11-21）。我们在第11.2节中的单列等候线模型和第11.3节中的多列等候线模型中都用到了这个公式。【参见式（11-7）和（11-14

26、）】。一旦计算出上述某个模型的Lq，就可以通过式（11-21）计算出Wq。（11-21） 另一个适用于等候线模型的一般表达式是：个体在系统中的平均时间W等于个体在等候线中的平均时间Wq加上平均服务时间。对于一个平均服务率为的系统来说，平均服务时间为1/。因此，我们得到一般的关系式：回顾一下，我们曾用式（11-22）计算单列等候线模型和多列等候线模型系统的平均时间【参见式（11-8）和式（11-15）】。（11-22） 里特导出方程的重要性在于：不论到达是否服从泊松分布，服务时间是否服从指数分布，都能适用于任何等候线系统。例如，在一次对墨菲食品连锁店的食品杂货收银台的研究中有分析家得出：该店的顾

27、客到达服从平均到达率为每小时24位顾客（即=24/60=0.40为顾客/分钟）的泊松分布；但是他还发现，服务时间服从平均服务率为每小时30位顾客（即=30/60=0.50位顾客/分钟）的正态分布，而不是指数分布。通过一个对顾客实际等候时间的研究发现，每位顾客在系统中平均花费的时间为4.5分钟（等待时间加上付账时间）。也就是说，W=4.5。根据本节所讨论的等候线的相关关系式，我们现在可以计算这个等候线的其他运行参数。 首先，利用式（11-22）求解Wq，我们可以得到：此时我们已知W和Wq ，接下来我们可以利用里特导出方程式（11-19）和式（11-20）进行计算，并得到： L=W=0.404.5

28、=1.8（位顾客） Lq=Wq =0.402.5=1（位顾客）墨菲食品的经理现在可以自己检查一下这些运行参数，看看是否应当采取措施来改善服务，以降低等候时间，缩短等候线的长度。（分钟）11.5 等候线的经济性分析 通常，等候线设计的相关决策是建立在对等候线运行参数进行主观评价的基础上的。例如，经历可能会做出决定，将系统中的平均等待时间控制在1分钟或1分钟以内，并把等候服务的顾客的平均人数控制在2位或2位以内。利用前几节中所讨论的等候线模型，可以为实现该经理的目标确定渠道的数量。 另一方面，经理可能还会希望计算出运行等候线系统的成本，然后在每小时或每天的运行成本最小化的条件下，决定如何设计系统。

29、在进行等候线的经济性分析之前，必须首先建立一个总成本模型，包括等候成本和服务成本。 要对一个等候线进行经济性分析，我们必须对等候成本和服务成本进行合理的预测。在这两种成本中，等候成本通常更难估价。在伯格度姆快餐店问题中，等候成本是每分钟花在每位等候顾客身上的成本。这一成本对于伯格度姆快餐店来说不是一笔直接的花销。但是如果伯格度姆快餐店忽视这一成本儿任由长长的等待队伍继续存在，最终，顾客们将会到其他的地方购买食物。这样会造成伯格度姆快餐店在销售上的损失，从而导致更多的成本。 服务成本通常比较容易确定。它是与每个服务渠道的运作直接相关的成本。在伯格度姆快餐店的问题中，服务成本包括服务生的薪水、福利

30、以及其他与服务渠道的运作相关的直接成本。根据估计，伯格度姆快餐店的服务成本是每小时7美元。 为了说明如何使用式（11-23），在此假设伯格度姆快餐店愿意付出的等候成本为每小时10美元。我们用第11.2节和第11.3节中计算得出的系统中个体的平均数L，来分析计算出单列系统和双渠道系统的每小时的总成本：单列系统（L=3位顾客）， 双渠道系统（L=0.8727位顾客）， 因此，根据伯格度姆快餐店所提供的成本数据，我们认为双渠道系统提供了最经济的运行方式。 图11-4描述了在分析等候线的经济性时成本曲线的大题形状。我们可以看出，服务成本随着渠道数的增加而提高：然而，更多的渠道会带来更好的服务，即等候时

31、间及等候成本是随着渠道数量的增加而减少的。因此我们可以通过对几个设计方案进行评估求得一个渠道数量，使得其对应的总成本接近于最低。等成本线每小时的总成本服务成本总成本服务渠道的数目（K)图11-4 等候线模型中的等候线成本曲线 服务成本曲线和总成本曲线的大体形状11.6 其他等候线模型肯德尔提出了一套符号，这套符号有助于对已有的许多不同的等候线模型进行分类。这套3个字母的肯德尔符号如下： A/B/k其中，A表示到达的概率分布；B表示服务时间的概率分布；k表示渠道数。 根据在A或B的位置上出现的不同字母，可以描述出许多等候线系统。通常使用的标记字母如下： M-到达服从泊松分布或服务时间服从指数分布

32、 D-到达或服务时间是确定的或持续不变的 G-到达或服务时间服从某种已知均值和标准差的一般概率分布。 利用肯德尔符号法，到达服从泊松分布，服务时间服从指数分布的单列等候线模型可以划分为M/M/1模型；第11.3节中讲到的到达服从泊松分布，服务时间服从指数分布的双渠道等候线模型可以划分为M/M/2模型。11.7到达服从泊松分布、任意服务时间的单列等候线模型 让我们再回头看看单列等候线模型，其中，可以用泊松概率分布来描述到达的个体。然而，在此我们假设服务时间不是服从指数概率分布的。这样，利用肯德尔符号法，该等候线模型符合M/G/1模型，其中G代表某种一般的或不明确的概率分布。11.7.1 M/G/

33、1模型的运行参数 在描述M/G/1模型的运行参数时，所用到的符号有： 平均到达率； 平均服务率； 服务时间的标准差。 M/G/1等候线模型的一些相关运行参数如下： 1.系统中没有任何个体的概率： (11-24)2.等候线中个体的平均数：3.系统中个体的平均数：4.一个个体在等候线中所花费的平均时间：(11-27)(11-25)(11-26)5.一个个体在系统中花费的平均时间： 6.某位刚到达的个体必须等待的概率：注意，L、Wq和W在此的关系与第11.2节和第11.3节中所讲的等候线性模型中三者的关系一样，可以用里特导出方程求出它们的值。(11-28)（11-29） 示例 哈氏海货供应公司的零售

34、业务由一名职员处理。顾客的到达是随机的，平均到达率为每小时21位顾客（即=21/60=0.35分钟）。对服务过程的一次研究表明：平均服务时间为每位顾客2分钟,标准差=1.2分钟。每位顾客的平均服务时间为2分钟，也就是说一名职员的平均服务率为=1/2=0.50位顾客/分钟。因此，我们可以计算该M/G/1模型的运行参数如下：哈氏公司的经理可以参考这些运行参数，以决定是否值得再增加一名职员。11.7.2 固定不变的服务时间 对于假设到达具有随机性、服务时间固定不变的单列等候线模型，我们想简单的做些评论。我们知道，在生产制造环境下，由机器控制的服务时间是持续不变的。因此这种等候线模型可能会存在于生产制

35、造环境下。我们可以用M/G/1模型来描述这种等候线，其中D是指确定性的服务时间。在M/G/1模型中，等候线中个体的平均数Lq可以在持续服务时间的标准差=0的条件下，通过式（11-25）计算得出。如此一来，在M/G/1模型中，等候线中个体平均数的表达式变为： (11-30) 本节前面讲到的其他表达式可以用于确定M/G/1系统的其他运行参数。11.8到达服从泊松分布、任意服务时间且无等候线的多列模型 在到目前为止所讨论的等候线模型中，一个特别引人注意的变化就是没有等候线的系统。到达的个体或顾客向众多服务渠道中的某个渠道寻求服务。如果所有的渠道都处于繁忙状态，那么，到达的个体将无法进入系统。用等候线

36、的术语来讲，系统满载时，到达的个体受阻，并会离开系统。如此一来，系统就有可能会失去这些顾客，这些顾客也有可能会在某个以后的时刻重返系统。 本节中所讲到的这个特定模型是建立在下列假设基础上的； (1)系统中有k个渠道； (2)到达者服从平均到达率为的泊松分布； (3)每个渠道的服务时间可能服从某种概率分布； (4)每个渠道的平均服务率是相同的； (5)当至少有一个渠道可用时，到达者才会进入系统。如果某个个体在所有渠道都繁忙s时到达，则他会受到阻碍。也就是说，系统不提供服务，该个体不能进入系统。 上述条件下的模型被称为“清除了受阻顾客”的M/G/k，其中，G表示服务时间服从某种不确定的概率分布。在

37、这种模型中存在的一个问题是：渠道或服务生的数目应如何确定？ 这种模型主要应用在电话系统和其他通信系统的设计中。其中，到达者是打进的电话，渠道是可用的电话数或通信线路的数目。在这样一个系统中，所有电话拨打的是同一个号码。系统不忙碌时，电话会被自动转到空闲的电话线路。当所有的渠道都忙碌时，多出的电话将接受到一个繁忙信号，并且不能进入系统。清除了受阻顾客的M/G/k模型的运行参数 为了求解系统的最佳渠道数目，我们假设k条渠道中有j条处于繁忙状态，然后依次计算稳定状态下的各种概率。这些概率可以由下式得出： 式中， 平均到达率； 每个渠道的平均服务率； k渠道数； Pjk条渠道中有j条处于繁忙的概率（j

38、=1，2，3，k）。(11-31)对我们来讲，最重要的概率为Pk，也就是所有的k条渠道都处于繁忙状态的概率。按照百分比来计算，Pk表示受阻而无法进入系统的到达者占总数的百分比。 另外一件值得注意的事是，运行参数是系统中个体的平均数。这个数值等于使用中的渠道的平均数。令L表示系统中个体的平均数，我们可以得到： (11-32)示例 微型资料软件公司利用一套电话订货系统来为其计算机软件产品进行相关服务。来电者可以通过拨打公司的800免费电话向公司订货。假设拨打该号码的来电以=12个电话/小时的平均频率到达。处理一个电话订货所需要的时间因订货要求不同而有很大不同。然而，预计微型资料软件公司的每个销售代

39、表平均每小时处理6个电话，即=6个电话/小时。目前，该公司的800免费电话有3条内线（或渠道），每条内线由一个销售代表来操作。打进的800免费电话会自动切换到一条空闲的内线（或一条可供使用的渠道）。 当3条内线都繁忙时，来电者就会听到一个表示系统繁忙的信号。过去，微型资料软件公司的管理者曾假设，听到忙音的来电者过些时候会再打进来。然而，最近对电话订货的一项研究表明，许多没有打通电话的来电者并不一定会在稍后的时间再打一次。这些未打进的电话说明公司会遭受到利润上的损失。因此公司的管理者提出要求，要对电话订货系统进行分析。公司管理者最想知道的是听到忙音并且受到阻碍无法进入系统的来电者的比率。如果管理

40、者的目的是让此系统的能力到达能够处理90%的来电者，那么，公司应该有多少条电话线？多少名销售代表？ 我们可以通过计算P3来说明如何应用式（11-31）。P3是目前可用的3条电话线全部忙碌的概率，也是多出来的来电者会受到阻碍的概率：当P3=0.2105时，大概有21%（或1/5）的来电者会受阻。只有79%的电话能得到3条内线系统的即使处理。 我么假设微型资料软件公司将系统扩展到4条内线。则4条渠道全部繁忙的概率，也即来电受阻的概率为： 当仅有9.52%的来电者受阻时，90.48%的来电者就能联系上微型资料软件公司的销售代表。因此，为了达到管理者的目标（即让系统有足够能力处理90%的来电），公司应

41、当将电话订货系统扩展为4条线。在拥有4条内线的系统中，来电平均数以及由此得出的繁忙内线和繁忙销售代表的平均数为：尽管处于繁忙状态的内线平均数不到2条，但仍需要4条内线的系统来提供足够的能力以处理至少90%的来电。我们用式（11-31）计算出了0、1、2、3以及4条繁忙的概率，如表11-6所示。繁忙线路概率00.142910.285720.285730.190540.0952表11-6 微型资料软件公司的4条内线系统中繁忙线路的概率 正如我们在第11.5节中所讨论的那样，对等候线的经济性分析可以用来知道有关系统设计的决策。在微型资料软件公司的系统中，我么也比较容易的确定出由于增加电话线和销售代表

42、而造成的成本增加。该成本可以与受阻的电话造成的损失相权衡。当有9.52%的电话受阻且=12个电话/ 小时时，则一天8小时内平均会有8*12*0.0952=9.1个受阻电话。如果微型资料软件公司能够预计可能的销售损失，那么就可以计算受阻电话造成的损失。对服务成本和受阻电话成本的经济性分析，有助于系统内线的最佳数量。11.9有限客源的等候线模型 目前为止，我们说介绍的等候线系统中，都认为要接受服务的到达个体或顾客的人数是无限的。用专业术语来讲，当对要求服务的个体数量不加限制时，我们称该模型为无限客源的。在这种假设下，不管等候线系统中有多少个体，平均到达率均保持不变。大多数等候线模型都假设有无限客源。 然而在有些时候，需要假设要求服务的个体或顾客的最高人数是限定的。此时，系统的平均到达率是变化的，并且取决于等候线中个体的数量，我们称这种模型为有限客源的。为了说明有限客源造成的影响，我们需要对前面讲到的等候线模型的运行参数的计算公式进行修改。 本节中所讨论的有限客源模型是基于以下假设的：(1)每个个体的到达服从平均到达率为的泊松分布；(2)服务时间服从平均服务率为的指数分布；(3)有服务要求的个体的人数是有