金融工程学课件：2-1 投资组合

1、第二章 基础理论第一节 投资组合理论1 一、证券投资组合概述 1952年美国经济学家哈里.马柯维茨在【金融杂志】上发表文章提出最小方差资产组合思想。借助定量分析方法构建组合求得风险一定条件下，收益最大；或收益一定条件下风险最小。 资产组合模型假设理性投资者是厌恶风险的，要想投资者承担额外风险，必须在收益上给予相应的补偿。1. 证券组合 (portfolio) 证券组合的涵义 组合是指个人或机构投资者将资金同时分散投资到股票、债券、商品、不动产投资、流动资产或其他资产。证券组合由一种以上的有价证券组成，如包含各种股票、债券、存款单等. 构建证券组合目的 （1）降低风险 2 资产组合理论证明，证券

2、组合的风险随着组合所包含的证券数量的增加而降低，资产间关联性极低的多元化证券组合可以有效地降低个别风险。 （2）实现收益最大化 如果投资者仅投资于单个资产，他只有有限种选择；当投资者将各种资产按不同比例进行组合时，其选择则有无限多。 这将为投资者在给定风险水平下提供获取更高收益的机会，当投资者对风险和收益作出权衡时，他能够得到比投资单个资产更为满意的收益与风险的平衡。3 证券组合的分类 证券组合的分类通常以组合的投资目标为标准。以美国为例。证券组合可以分为避税型、收入型、增长型、收入和增长混合型、货币市场型、国际型等。 以上各种组合可以进行组合的再组合。如货币市场型组合与增长型组合的在组合等。

3、 2. 证券组合管理 主要内容 组合管理的目标是实现效用最大化，即使组合的风险和收益特征能够给投资者带来最大的满足。就是在实现投资者对一定收4益水平的追求的同时，将投资者面临的风险降到最低，或在投资者可接受的风险水平之内，使其获得最大的收益。 这种目标的实现有赖于组合管理有效的内部控制，具体内容包括计划、选择时机、选择证券、监督等。 （1）计划：资金、风险承受力、投资方向、实现目标 （2）选择时机： 分析政治、经济大环境所处的阶段 分析行业生命周期结构 （3）选择证券 运用基本分析、技术分析、证券估值理论和组合弱相关理论确定组合元。5 （4）监管组合证券的变化 定期检查组合中的证券。对于可能偏

4、于目标太远的组合，及时予以调整。 研究方法 （1）传统的证券组合管理。传统的证券组合管理靠非数量化的方法即基础分析和技术分析来选择证券，构建和调整证券组合。尽管已经出现了科学的组合管理理论和管理技术，相当一部分组合管理者仍习惯于采用这种传统的方法。 （2）现代证券组合理论，现代证券组合理论是一种数量化的组合管理方法。6 该理论由美国著名经济学哈里，马柯维茨于1952年创立，经过几十年的发展已经成为在金融领域占主导地位的理论。 90年代起，现代资产组合理论几乎替代了投资学的教科书中基础分析和技术分析的组合方法，可以说现代组合理论完成了投资组合从定性到定量发展并使二者有机结合的基本过程。 目前，大

5、约30的组合管理者在利用马柯威茨模型、单一指数模型、资本资产定价模型和套利定价模型来进行资产的选择和组合。7二. 资产组合的收益与风险 1.单个资产收益与风险风险资产期望收益率无风险资产收益率风险资产收益率方差82. 资产组合收益与风险资产组合协方差资产组合收益率相关系数资产组合方差93. 资产组合与风险分散（2）非系统风险（1）系统风险（3）组合风险变化特征30N系统风险非系统风险系统风险非系统风险10对第一项，令11考察第二项12三. 投资组合最优化模型1.两种证券组合的最优组合对上式两端求期望和方差13令142. N种证券组合的最优化模型(1) N种证券组合的期望与方差15 (2) N种

6、证券组合最优化模型.期望收益一定，取得风险最小(1，2，N)16.风险一定，取得期望收益最大(1，2，N)17四、 证券组合可行域及有效集合 1.证券组合可行域 前述最优化模型构造是以期望收益率及其标准差（或方差）为基础的。事实上在一定的假设条件下（比如在正态分布）证券与其期望收益率和方差是一一对应的，那么任意一种证券 可用 坐标系中的一点（ ）来表示，相应地，任何一个二元证券(A证券和B证券)组合P=（xA ，xB）也可以由组合的期望收益率和标准差（方差）确定出坐标系中的一点，这一点将随着组合的权数 XA =1- XB 变化，而得到18无穷多个在坐标系 上的证券组合点（ ），其轨迹如图3-1

7、-1所示。 它是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A和证券B的结合线。 结合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券A和证券B的所有可能的组合，称之为证券A与证券B组合的可行域。在一般情况下，这一可行域是一条凸向纵轴的圆锥型曲线。 如果是多种证券组合，则在卖空条件下，可行域为一个开放形区域；在不允许卖空条件下，可行域为一个有限区域。19ABCDABAB允许卖空不允许卖空不允许卖空四只股票组合可行域20 2.证券组合最小方差集和有效集(1) 最小方差集合 如图2-1-1所示曲线及其右内侧的点的全体构成某证券组合的可行域，是该可行域的边界。在上的点则是投资者更感性趣的组合。因为在其

8、右内侧的组合比如C点，总可以在上找到一点D，与C点具有同等的收益水平但风险更小。又如A是具有该收益水平下的风险最小组合。我们称这条边界为最小方差集合（Minimum variance set）。 最小方差集合中的每一点代表一种有价证券组合，它规定了每种股票在有价证券组合中的权重。最小方差集合中的每个有价证券组合都符合如下准则：21MVPA图2-1-1证券组合可行域22 (2) Markowitz有效集合 最小方差集合可分成两半，即上半部和下半部。这两部分在MVP(如图2-1-2)点分开。这个点表示了一个具有最低方差的有价证券组合，即总的最小方差有价证券组合（Global Minimum Var

9、iance Portfolio）。我们最愿意持有的有价证券组合在圆头锥形集合的上半部，而不太关心有价证券组合的下半部。 圆头锥形集合的上半部叫做有效集合。 对于一个给定的收益率水平，最小方差集合中的有价证券组合具有最低的标准差（或方差），并且这一点可通过现有的那些股票来实现。23有效集合中所有的有价证券组合符合以下准则：在同一标准差条件下，有效集合中的证券组合可获得最高预期收益率。 尽管有价证券组合B、D和A都符合最小方差集合的准则（即对于给定的预期收益率，具有最低的标准差），然而只有D和B符合有效集合准则（即对于给定的标准差，具有最高的预期收益率）。24图2-1-2证券组合最小方差集和有效集

10、25 3.存在无风险证券时的可行域、最小方差集、有效集 现考察新的可行投资组合：加入的无风险证券与所有可行的风险证券组合的再组合。投资于一种无风险证券, 表明能获得某一确定的收益率rF，因为收益率是确定的，其收益方差为0，在坐标系 中，无风险证券落在纵坐标轴上的点（0， rF ）。 在组合决策中定义，购买一定权数的无风险证券，称为贷出了无风险证券；卖空一定权数的无风险证券，则称为借入了无风险证券。 无风险证券与风险证券的结合线将是一条直线，而所有可行的风险证券组合也可视为一种风险证券（图2-1-3）。26我们可以将原来风险证券的可行域中的每一点与F相连。 在允许卖空的情况下，可行域将扩大为过F

11、的两条射线所夹的区域（图2-1-4），这两条射线与原来风险证券组合的可行域的边界最小方差集合相切，从而新的有效边缘具有特别简单的形状射线FR。点 R 具有特别重要的地位，首先，R是一个风险证券组合，既未借入也未贷出无风险证券，这个风险组合在缺乏无风险证券时就已是一个有效组合，现在仍然是有效组合；27 图2-1-3无风险证券与风险证券的组合28其次，将无风险证券纳入证券组合以后，所有有效组合将由无风险证券与风险证券组合 R 的组合来产生，无论投资者对风险持何种态度，他拥有风险证券的最好组合是 R。这时风险态度将体现在不同投资者会在 FR 这条射线上获得不同位置，这些位置均由无风险证券与风险证券组

12、合 R 之间组合产生。 相对保守的投资者，选择买入适量的无风险证券和风险证券组合R, 从而获得F与R之间的某个位置，比如图2-1-5中的投资者甲选择A点。如果是更愿意冒险一些的投资者，借入无风险证券29图2-1-4 存在无风险证券时的有效边缘30并将收入连同自有资金投资于风险证券R, 从而获得FR的东北延长线上一个适当的位置（如B点）。无论如何，只要你厌恶风险，不管你厌恶程度多大，你总会持有相同的风险证券组合R。 可见，风险证券组合 R 极大地简化了对投资组合的选择，投资者只须决定借入和贷出多少即可，剩余的资金只有一种适当的风险组合 R 是唯一最佳的选择，因而我们将风险证券组合 R 称为最优风

13、险组合。而最优风险组合的存在将我们愿意承担多大风险的决策与具体确定持有各种风险证券的比例分离开来，这一特性通常被称为“分离定理”。31图2-1-5 最优风险组合与不同风险态度下投资选择32 当不允许卖空时，如图2-1-6，无风险证券只是引起有效边缘部分线性化（FR线段）。这时风险证券组合 R 的重要性亦有所减弱， R作为最优风险组合只对相对保守的那一部分投资者起作用，即如果投资者要在R和F之间获得有效位置，他可以通过贷出F并投资于R来获得。如果一位投资者希望在线段FR以外获得位置，即希望多承担一些风险来增加期望收益，由于不允许卖空，他不能借入F以达到FR的东北方向延长线的位置，而只能从R 出发

14、选择适当具有更高风险和更高的期望收益率的其他风险证券组33图2-1-6 存在无风险证券不允许卖空的有效边缘(有效集合)34合（风险组合R将不再是他的最佳选择，组合中也不再含有无风险证券），如图2-1-6中的B点。 由前述可知要估计 ，需估计N个方差和 个协方差，当N非常大时，这一计算量十分巨大，比如在一个大的证券市场，股票种数高达1600种，要估计的方差和协方差个数达将近130万个之多，况且最优化模型均为非线性规划模型。为了克服这一困难，后来发展了一种所谓指数模型，我们将在后面的章节中介绍。 35 注意到在上述模型中除了要知道收益率的期望、方差以外还要计算协方差, 这就需要知道联合分布。而对分

15、布的本身的估计是十分困难的，也是不必要的。事实上我们只须对协方差和相关系数直接做出估计即可。如果假设两种证券间的关联性保持不变，则可通过历史的观察数据，对协方差和相关系数作出估计，这个估计就是统计学中的样本协方差和样本相关系数。证券A的方差与证券B的方差以及证券A与B的协方差估计如下：3637 五、证券组合元有效性分析 Markowitz有效集合是在既定的组合目标条件下可能得到投资组合全体。由组合可行域和有效集合的定义可知，它是在已选定组合元即给定组合中每一证券期望、方差水平条件下，组合权数变化而得到的。然而，应如何选择组合元即参与组合的证券？或者说具备什么特性的证券组合在一起在某种收益水平下

16、，通过调整组合比率可以最大限度的降低风险甚至达到零风险组合? 以下我们就两种证券组合的情况进行讨论。381999年5月2001年6月为牛市时期2001年7月2005年3月为熊市时期 39404142434445A，B的证券组合P的结合线由下述方程所确定 给定证券A，B的期望收益和方差，证券A与证券B的不同的关联性将决定A，B的不同的结合线。 在完全正相关下，方程（1），（2）变为（1）（2）1完全正相关下的结合线。46 因为， 与 是线性关系，而 与 是分段线性的关系，所以， 与 之间也是分段线性关系（图）。在分段点处 =0，说明这时投资组合将得到个无风险收益率。 假设证券A与证券B风险状况不

17、同，即47ABEPAB48上述两式必有，且只有一个小于 0。取决于 表示卖空 A股票；表示卖空 B 股票。无风险收益率492完全负相关下的结合线这时， 与 仍是分段线性关系令 = 050ABEPrp与 rA 和 rB 的斜率为反向的51 证券A和证券B完全负相关，二者完全反向变化，因而同时买入两种证券可抵消风险。所能得到的无风险收益为3不相关的情形下的结合线52令：得：534不完全相关情形下的结合线 不会有任何形式的简化，但方程（1）和（2）作为一般情形下所确定的曲线是一条双曲线（在完全相关时，双曲线退化为折线），不同的相关系数将决定结合线在A与B之间的弯曲程度。当 时，弯曲程度最大，呈折线弯

18、曲， 当 时，弯曲程度最小（此时实际上没有弯曲，呈直线），而不相关是一种中间状态。此外，从结合线的形状来看，不卖空的情况下，相关系数越小，证券组合可获得越小54的风险，特别是负相关的情况下，可获得无风险的组合，在不相关的情况下，虽然得不到一个无风险组合，但可得到一些组合，其风险小于A，B中任何一个单个证券的风险。当A与B的收益不完全负相关时，结合线在A，B之间比不相关时更弯曲，因而更能找到一些组合（不卖空），使得风险小于A和B的风险。可见不卖空的情况，组合所能降低风险的程度是由证券间的关联程度所决定的。55图2-1-7不同相关程度下的结合线的比较56思考题： 1. 理解投资组合及其最优化的内涵。 2. 对卖空与非卖空、有无风险证券与非无风险证券四个条件分析组合的可行域、最小方差集、有效集图形特征。 3. 理解并掌握最优组合解的寻优思路。 4. 简述投资组合对系统风险与非系统风险的影响作用。请给