重庆南开中学高二数学下学期期中试卷文含解析

1、2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（共12题.每题5分，总分60）（2015春?重庆校级期中）已知集合 A= （x,y） |x2+y2=1,集合 B= （x, y） |y=x,则An b=勺元素个数为（）A.0B.1C.2 D. 3考点： 专题： 分析：交集及其运算.集合.解答：.AAB解不等式组求出元素的个数即可.的元素的个数是2个,故选：C.点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题.（2015春？重庆校级期中）已知命题P: ? xoCR, tanx01,则它的否定为（）A.?xCR,tanx 1B.?xoCR,tanx01C.? x CR,tanx

2、 v 1D.? x。C R,tanx 0V1考点：命题的否定.专题：简易逻辑.分析：根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.解答： 解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题为:? x R, tanx l2A.B., C.二 D.一 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document 2222考点：函数的值.专题：函数的性质及应用.fx+1, K(1分析：由已知中的函数解析式 f (x)=，将x值代入由内向外计算即可得一发+3, 1到答案.，f k+1, TOC o 1-5 h z 解答： 解：:函数f (x) =j,- x+3,工1- f (f(&)=f (

3、工)=2 HYPERLINK l bookmark109 o Current Document 222故选：B.点评：本题考查的知识点是分类函数求值，难度不大，属于基础题.(2011?!宁)若函数 f (x) =-2L为奇函数，则 a=()(2x+l) Ci_ a)A.B.: Ci D.1 HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 234考点：函数奇偶性的性质.专题：计算题.分析：利用奇函数的定义得到 f (-1) =-f (1),列出方程求出a.解答： B： f (x)为奇函数.f (- 1) =- f (1)=一1+a 3 (1 - a) . 1+

4、a=3 ( 1 - a)解得a=2故选A点评：本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量x都有f (-x) =-f (x)成立.(2012?蓝山县校级模拟)函数 y=lgx - 3的零点所在的大致区间是()A.(9, 10)(6, 7)(7, 8)(8,9) D .考点：函数零点的判定定理.专题：计算题.分析：由于函数y=f (x) =lgx - 9在(0, +0)上是增函数，f (9) 0,x由此得出结论.解答： 解：由于函数y=f (x) =lgx -&在(0, +8)上是增函数， xf (9) =lg9T0, f (9) ?f (10) 0求出函数的定义域，在根据对数函数和二次函数

5、的单调性，由“同增异减”法则求出原函数的减区间.解答： 解：由x22x30解得，*3或*1,则函数的定义域是(-8, 1) U ( 3, +8),令y=x2- 2x - 3= (x1) 24,即函数 y在( 1)是减函数，在(3, +0)是增函 数，,函数y=log 2K在定义域上是增函数，函数f (x)的减区间是(-巴 1).故选：D.点评：本题的考点是对数型复合函数的单调性，应先根据真数大于零求出函数的定义域，这是容易忽视的地方，再由“同增异减”判断原函数的单调性.(2014?南宁一模)已知 y=f (-y)的定义域为-血,2匹,则y=f (x)的定义域为( )A. T, 1B., 2C.

6、 0 , 2 D. 0 ,3考点：函数的定义域及其求法.专题：函数的性质及应用. TOC o 1-5 h z .2/分析： 由y=f ()的定义域知x的取值范围，从而求出 工的取值范围，即得 y=f (x) HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 44的定义域.2-解答： 解：.(= (工)的定义域为-, 2&,_4-加WxW2 加，一一 2 一CKx 8,2.0 工W2;4. .y=f (x)的定义域为0 , 2.故选：C2点评：本题考查了求函数的定义域的问题，解题时应根据y=f ()的定义域中x的取4值范围，求出函数的定义域，是基础题. TOC

7、o 1-5 h z ,一 - 1. 一 .(2015春?重庆校级期中)若万程log 2=m在x 1 , 2上有解，则实数 m的取值范2k+1围为()A.1, 2B. log 4, logC.一巴 logD. HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 3533,log 2, +oo 5考点：函数与方程的综合运用.专题：计算题；函数的性质及应用.分析： 由题意可得 =2m,再由工wfw上可得上w2mwE；从而解得.2X+13 2Z+1 535“ 2X -1解答： 解：log 2=m2Z+12X+1又L2k+1又.xe 1 , 2,上口一；3 2X+1 52

8、mW旦35mC log 2_1, log J,35故选B.点评：本题考查了对数运算与指数运算的应用，属于基础题.工0I X大值为1,则实数a的取值范围是()A.3 , +8B. 0 , 3C. -oo, 3 D., 4考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义.专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用.分析：由分段函数知，当 x=0时，e=1,故只需a-2l即可.解答： 解：当 x0, ex0时，a - x - A=a- ( x+) wa- 2;y k(当且仅当x=l,即x=1时，等号成立)故 a- 2w1；故 a3;故选C.点评：本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于基

9、础题.(2014?呼和浩特一模)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2e) =-f (x)(其中e为自然对数的底)，且在区间e , 2e上是减函数，又 a=lg6 , b=log 23, () c 2 1且lnc21,则有()A.f (a) f (b) f (c) B .f (b) f (c) f (a)C. f (c) v f (a) v f (b)D. f (c) v f (b) vf (a)考点：函数奇偶性的性质.专题：函数的性质及应用.分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，得到函数的对称性，利用a, b, c的大小关系结合函数的单调性即可得到结论.解答： 解：由(1)。一

10、2v 1且lnc v 1得2v cv e,2. f (x)是奇函数，1-f (x+2e) = - f (x) =f (x),，函数f (x)关于x=e对称，- f (x)在区间e , 2e上是减函数， .f (x)在区间0 , e上是增函数，. 0vlg6 1, 1vlog23v2, 0V a b c,. f (x)在区间0 , e上是增函数，f (a) f (b) 0时，f (x)引Ui，0 x2L乙为()A.7 B.8 C.9 D. 10考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用.专题：函数的性质及应用.分析： 由已知可分析出函数 g (x)是偶函数，则其零点必然关于原点对称， 故g

11、(x)在- 6, 6上所有的零点的和为 0,则函数g (x)在-6, +8)上所有的零点的和， 即函数g ( x) 在(6, +8)上所有的零点之和，求出( 6, +8)上所有零点，可得答案.解答： 解：.函数f (x)是定义在R上的奇函数，1. f ( x) = - f ( x).又,函数 g (x) =xf (x) - 1,，g(- x) =(- x) f ( - x) - 1= ( - x) - f (x) - 1=xf (x) T=g (x),二.函数g (x)是偶函数，函数g (x)的零点都是以相反数的形式成对出现的.函数g (x)在-6, 6上所有的零点的和为 0,函数g (x)在

12、-6, +8)上所有的零点的和，即函数 g (x)在(6, +8)上所有的零点 之和.0Kl由 0 x2 时，f (x) =-f (x 2),2函数f (x)在(2, 4上的值域为工，4 2函数f (x)在(4, 6上的值域为L 1,8 4函数f (x)在(6, 8上的值域为-L, 1,当且仅当x=8时，f (x) J,16 8S函数f (x)在(8, 10上的值域为-L, A,当且仅当 x=10时，f (x) =A,32 1616故f(x)在(8, 10上恒成立，g(x)=xf(x)- 1在(8,10上无零点，同理g (x) =xf (x) - 1在(10, 12上无零点，依此类推，函数 g

13、 (x)在(8, +00)无零点.综上函数g (x) =xf (x) - 1在-6, +00)上的所有零点之和为 8,故选：B.点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6, +8)上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理.二.填空题(共 4题，每题5分，总分20)(2009?浦东新区校级三模)不等式 *皂)以的解集是(1, 7.s - 1考点：一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法.专题：计算题.分析：把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，在不等式两边同时除以-1,不等号方向改变得到x - 7与x - 1异号，然后转化为两个一元一次不

14、等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集.解答：解：不等式-L2，X - 1移项得：工!乌20,即受二 x - 1K - 1解得：1vxW7,则原不等式的解集为(1,7.故答案为：(1, 7.点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型.学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以-1时，注意不等号方向要改变.(2012?黑龙江)曲线 y=x (3lnx+1 )在点(1, 1)处的切线方程为 y=4x - 3 .考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：计算题.分析：先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程.解答： 解：求导函数，可得 v =3lnx

15、+4,当 x=1 时，v =4,曲线y=x (3lnx+1 )在点(1, 1)处的切线方程为 y - 1=4 (x-1),即y=4x - 3.故答案为：y=4x - 3.点评：本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题.(2015春?重庆校级期中) 若实数x, y满足：x2+y2=4,则x2 - 3y+2的最大值为：理4 考点：函数的最值及其几何意义.专题：函数的性质及应用.分析：化简表达式为y的二次函数，利用 y的范围以及二次函数的最值求解即可.解答： 解：实数x, y满足：x2+y2=4,可得y -2, 2.则 x2 - 3y+2= - y2 - 3y+6=-(y - -)

16、 2+6+ ,24 4当且仅当y=时，表达式取得最大值.故答案为：二.点评：本题考查函数的最值，圆的方程的应用，考查计算能力.(2015幽州一模)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f(f(x) 0的解集为空集，则实数 a的取值范围是av - 2 .考点：其他不等式的解法.专题：函数的性质及应用.分析： 由 f (x) 0 解得 a - 1 vxva+1,不等式 f (f (x) 0? a - 1 f (x) a+1, 原不等式的解集为空集，得到 a- 1f (x) v a+1解集为空集，那么(a- 1, a+1)与值域 的交集为空集，求出 a的范围.解答： 解：f (x

17、) =x22ax+a21=x22ax+ (a1) (a+1) =x - (a1) x (a+1)由 f (x) v 0即x (a 1) x (a+1) 0解得 a- 1x a+1,那么不等式 f (f (x) v 0? a- 10,且cwl,设p：函数y=cx在R上单调递减；q：函数f (x) =x2-2cx+1在(1，+8)上为增函数，若“p 且q”为假，“p或q”为真，求 2实数c的取值范围.考点：复合命题的真假.专题：计算题；函数的性质及应用.分析： 由函数y=cx在R上单调递减，知 p： 0vcv 1,p： c1;由f (x) =x2-2cx+1在(工，+8)上为增函数，知 q： 0c

18、且cw1.由p或q为真，p且222q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数 c的取值范围.解答：解二函数y=cx在R上单调递减，0V c1. (2分)即 p： 0 c0 且 cw1,p： c1. (3 分)又f ( x) =x22cx+1 在+)上为增函数，c 2.22即 q： 0c0 且 cw1,q: c且 cw1.2又“p或q”为真，“p且q”为假，.p真q假，或p假q真.(6分)当 p 真，q 假时，c|0 c/,且 cw1=c| ,c1 nc|0 v c!=?.2综上所述，实数c的取值范围是c| ic0恒成立，求实数m的取值范围.考点：利用导数求闭区间上函数的最值.专题：导数的

19、综合应用.分析：由已知条件得，m f (x), xC-2, 2,只要m f (x) min即可，所以求f (x),根据极小值的概念，求 f (x)在-2, 2上的极小值，并比较端点值得到f (x)在-2,2上的最小值f (x) min=- 1,所以m - 1,所以实数m的取值范围便是(-, -1).解答： 解：由已知条件得，x -2, 2时，m f (x)恒成立，m0, x e ( _2, 1)时，f ( x) V0, xC (1, 2 33时，f ( x) 0;.f (x)在-2, 2上的，极小值是 f (1) =1,又 f (-2) =-1;2.在2, 2上,f (x) m产1,，m0 求

20、得增区间，3由g (x) 0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取.解答： 解：(1)由题意得f (x) =3ax2+2x+b因此 g (x) =f (x) +f (x) =ax3+ (3a+1) x2+ (b+2) x+b因为函数g (x)是奇函数，所以 g (- x) =-g (x), TOC o 1-5 h z 即对任意实数x,有 a ( - x)3+(3a+1) (- x)2+(b+2)(- x) +b=- ax 3+(3a+1)x2+(b+2)x+b从而 3a+1=0, b=0,解得3=_工,10,因此f (x)的解析表达式为f (工)=-ly3+x2. HYPERLINK l bo

21、okmark83 o Current Document 33由(i)知 g (工)=一所以 g (x) =- x2+2,令 g (x) =0解得； -则当乂-&或表时，g (x) g ( x)恒成立，求a的取值范围.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用.专题：计算题；导数的综合应用.分析： (1)求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求 f (x)在(e, f (e)处的切 线方程(2)先把不等式 2f (x) g ( x)成立转化为 aW2lnx+x+卫成立，设()(x) =2lnx+x+ ,KXx 1 , e,利用导函数求出()(x)在xC 1 , e上的

22、最大值即可求实数 a的取值范围.解答： 解：(1)由 f (x) =xlnx ,可得 f (x) =lnx+1 ,所以 f (e) =2, f (e) =2.所以f (x)在(e, f (e)处的切线方程为 y - e=2 (x-e),即y=2x-e;(2)令 h (x) =2f (x) - g (x) =2xlnx+x 2- ax+30,.3贝U a0,(f) (x)在1 , e上单调递增， M m max ( x)= ()(e) =2+e+上，e一 3 .ah (x) 恒成立时，只需要求 h (x)的最大值；当awh (x)恒成立时，只需要求 h (x)的最小值.21. (2014春？涡阳

23、县校级期末)已知函数 f (k) J/- (a+1) x+alnu (aCR).(I )若f (x)在(2, +8)上单调递增，求 a的取值范围；(n)若f (x)在(0, e)内有极小值工求a的值.2考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.专题：导数的综合应用.2 - ()父+台分析： (I)由于f (x)在(2, +8)上单调递增，可得(力 二)0在(2, +8)恒成立，即x2- (a+1) x+a0在(2, +8)恒成立，通过分离参数即可得出;(II ) f (x)定义域为(0, +8), F = J 一x+a 二(工-a)_(x-l)通XX过对a与1的大小关系分类讨论，

24、研究函数是否在(0, e)内有极小值工，即可.2解答： 解：(1) .一(x)在(2, +8)上单调递增，=(a+1)在(2, +8)恒成立，即 X2 (a+1) x+a0 在(2, +8)恒成立，即(1 x) a+x2-x0 在(2, +8)恒成立， 即(1-x) ax- x2在(2, +8)恒成立，即 aWx在(2, +8)恒成立，实数a的取值范围是(-8,2.(H) f (x)定义域为(0, +8), F (x)= A(升1)口()(L1),当a1时，令f (x) 0,结合f (x)定义域解得 0vxv1或xa, f (x)在(0, 1)和(a, +8)上单调递增，在(1, a)上单调递

25、减， 此时f (其)极小值二O 二一,乂一 a+alna ,若f (x)在(0, e)内有极小值,则1vave,但此时一工&? 一 a+alna。(小矛盾.222当a=1时，此时f (x)恒大于等于0,不可能有极小值.当a1时，不论a是否大于0, f (x)的极小值只能是f (1)二-2-日，2令一一空工，即a= - 1,满足a0, b0.(1)若曲线y=f (x)与曲线y=g (x)在它们的交点p (2, c)处有相同的切线(p为切点)， 求实数a, b的值.(2)令h (x) =f (x) +g (x),若函数h (x)的单调减区间为一 j，夸； 求函数h (x)在区间(-00, -1上的

26、最大值 M (a).若|h (x)心3在xC-2, 0上恒成立，求实数 a的取值范围.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：综合题；导数的综合应用.分析： (1)根据曲线y=f (x)与曲线y=g (x)在它们白交点(2, c)处具有公共切线， 可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；(2)根据函数h (x)的单调递减区间为-月，-包得出a2=4b,构建函数h (x) =f (x)23+g (x) =x3+ax2+3a2x+1 ,求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨4论，确定函数在区间1)上的最大值.由知，函数h (x)在(-8,一月)单调递增，在(-月，-月)单调递减，在(-月,2266+8)上单调递增，从而得出其极大值、极小值，再根据 |h (x) | 0),贝U f( x)=2ax, ki=4a,g(x)=x3+bx,贝Uf(x) =3x2+b, k2=12+b,由(2, c)为公共切点，可得：4a=12+b;又 f (2) =4a+1, g (2) =8+2b, ，4a+1=8+2b,与 4a=12+b 联立可得：a=