中科大版--现代控制系统-课件(1)

1、自动控制原理2009年12月中国科学技术大学工业自动化研究所吴刚第八章频率响应法目录8.1 引论8.2 频率响应图8.3 频率响应测量8.4 频域性能指标8.5 对数幅相图8.6 设计实例8.7 应用控制设计软件研究频率响应法8.8 循序渐进设计案例：磁盘驱动器读取系统8.9 总结习题8.18.3节：E8.5、E8.6、E8.14、8.1(a)(d）、P8.6、P8.17、P8.19、P8.23、AP8.18.48.8节：E8.8、P8.7、P8.8、P8.12、P8.14、P8.15、P8.24、P6.12、P6.13、AP8.5、DP8.3、DP8.5作业说明：题目中所有绘图（极坐标图，B

2、ode图，对数幅相图等）必须手工绘制，不能用Matlab绘制频率响应frequency response：系统对正弦输入信号的稳态响应线性定常系统在正弦输入信号作用下，稳态时的输出信号、系统内部各处的信号，都是正弦信号，信号频率与输入信号相同，幅值、相位与输入信号有差别对于系统：Y(s)=T(s)R(s)，r(t)=Asint，有：8.1 引论8.1 引论假定极点-pi各不相同，展开成部分分式：系统T(s)稳定，所有极点-pi都是负实部，则：8.1 引论正弦输入时，稳定的线性定常系统稳态输出：输入信号频率、振幅A确定后，稳态时的输出信号只与T(j)的幅值、相位有关8.1 引论频率响应法的优点：

3、各种频率、振幅的正弦测试信号容易获得，用实验方法容易确定系统的频率响应通过测量频率响应可以获得传递函数在频域中设计系统，可以有效地控制系统的带宽、抑制噪声和扰动令s=j，可以由传递函数T(s)得到T(j)用图形可以很方便地表达T(j)的幅值、相角，并深刻洞察控制系统分析、设计频率响应法的缺点：频率响应特性与时域的瞬态响应特性之间缺乏准确的定量关系Laplace变换对Laplace transform pair：8.1 引论Fourier变换对Fourier transform pair：已知f(t)的Laplace变换F(s)，令s=j，得f(t)的Fourier变换F()用Laplace变换

4、可以得到系统传递函数T(s)，可以对T(s)在s平面的零极点分布进行分析用频率响应法可以得到传递函数T(j)，关心的是系统的幅值和相位特性研究闭环系统频率响应时，输入r(t)在频域中具有Fourier变换：8.1 引论对闭环系统输出Y(s)=T(s)R(s)，令s=j，可得单回路反馈系统的输出频率响应：采用傅氏反变换，可得输出瞬态响应：8.1 引论但是，除了最简单的系统，傅氏反变换积分很难求解频率响应图：系统的频率响应特性，可以在不同的坐标系中，用不同的曲线、图形表示三种常用的频率响应图：Nyquist图（极坐标图、幅相特性图）、Bode图（对数坐标图、对数频率特性图）、Nichols图（对数

5、幅相图）系统传递函数G(s)的频域表达：8.2 频率响应图例8.1 RC滤波器的频率响应RC滤波器的传递函数：8.2 频率响应图正弦稳态传递函数：8.2 频率响应图可以由下式绘制极坐标图：极坐标平面：8.2 频率响应图第一步：确定=0和时的R()、X()第二步：确定取其它值的图形RC滤波器的极坐标图8.2 频率响应图=1时实部、虚部的幅值相等，()=-45可以根据频率特性的幅值、相角表达来绘制极坐标图：8.2 频率响应图例8.2 传递函数的极坐标图8.2 频率响应图8.2 频率响应图采用G(j)的实部、虚部绘制极坐标图：8.2 频率响应图在S平面上沿虚轴s=j，在每个频率，用图解法求取向量G(

6、j)，绘制极坐标图：8.2 频率响应图极坐标图的优点、缺点：采用Nyquist稳定性判据，便于分析稳定性频率响应计算繁琐单个极点、零点的影响难以明显区分增加新的极点或零点，频率响应要重新计算从试验得到的极坐标图，难以获得传递函数对数坐标图logarithmic plots，波德图、波特图、Bode图Bode plots，为纪念H. W. Bode频域的传递函数：8.2 频率响应图对数幅频特性图：对数角频率、对数增益值相频特性图：对数角频率、相位()例8.3 RC滤波器的Bode图8.2 频率响应图对数增益值：8.2 频率响应图低频段（1/）对数增益值：=1/处，对数增益值：频率=1/称为转折频

7、率break frequency，转角频率corner frequency，三分贝频率相位特性：一阶惯性环节对数幅频特性图一阶惯性环节相频特性图频率轴采用线性刻度很不方便，采用对数刻度就很方便。水平轴取为log，当1/ 时：8.2 频率响应图一阶环节对数增益曲线近似为直线十倍频程decade：两个频率相差10倍，两个频率间的间隔称为十倍频程。2=101，从1到2的频率范围称十倍频程。对数增益差：一阶环节高频渐近线的斜率为-20dB/十倍频程Bode图采用半对数坐标纸，横轴为角频率，采用以10为底的对数刻度，单位：弧度/秒rad/s；对数幅频特性图的纵轴为对数增益值，采用线性刻度，单位：分贝dB

8、；相频特性图的纵轴为角度，采用线性刻度，单位：度2倍频程octave：两个频率相差2倍，两个频率间的间隔称为2倍频程，倍频程。2=21，从1到2的频率范围称倍频程，对数增益差：8.2 频率响应图一阶环节高频渐近线的斜率为-6dB/倍频程一阶惯性环节对数幅频特性图一阶惯性环节对数幅频特性渐近线Bode图的主要优点：利用对数增益值，将传递函数中各个因子增益值的相乘，转化为各个因子对数增益值的相加传递函数的一般形式：8.2 频率响应图系统拥有Q个零点、原点有N个极点、M个实极点、R对共轭复极点频率特性的一般形式：8.2 频率响应图G(j)的对数增益值：将各个因子的对数幅频特性图迭加，得到G(j)的对

9、数幅频特性图G(j)的相角为：8.2 频率响应图将各个因子的相频特性图迭加，得到G(j)的相频特性图为了充分利用迭加原理，发挥Bode图的优势，必须首先掌握各种基本因子的Bode图传递函数中共有四种因子：常数增益Kb原点的极点（零点）实极点（零点）复共轭极点（零点）8.2 频率响应图确定这四种因子的对数幅频特性图、相频特性图，对于一般形式的传递函数，先绘制各有关因子的Bode图，迭加后就得到系统的Bode图绘制对数幅频特性时，可以先绘制渐近线，得到近似的对数幅频特性，然后获取若干关键频率的真实值，得到比较精确的对数幅频特性图Bode图的测量法常数增益Kb8.2 频率响应图常数增益的对数幅频特性

10、是一条水平线，相频特性也是一条水平线原点的极点8.2 频率响应图原点的极点对数幅频特性为斜率-20dB/十倍频程的斜线，相频特性为-90的水平线原点的多重极点原点的多重极点对数幅频特性为斜率-20NdB/十倍频程的斜线，相频特性为-90N水平线原点的零点8.2 频率响应图原点的零点对数幅频特性为斜率+20dB/十倍频程的斜线，相频特性为+90的水平线(j)N的Bode图实极点8.2 频率响应图渐近线是对真实对数幅频特性的近似，最大误差发生在转折频率，为-3dB一阶惯性环节对数幅频特性一阶惯性环节相频特性对相频特性采用三段直线近似：8.2 频率响应图实际相频特性与近似相频特性在转折频率处交叉，在

11、其他频率点上，最大误差不超过6一阶惯性环节对数幅频特性、相频特性的真实值与近似值实零点8.2 频率响应图渐近线是对真实对数幅频特性的近似，最大误差发生在转折频率，为+3dB相频特性也可以用三段直线近似8.2 频率响应图共轭复极点实际的对数幅频特性和渐近线之间的误差与阻尼比有关，2后，G(j)的渐近线变成斜率为-40dB/dec的直线受=10处零点的影响，在10后，G(j)的渐近线变成斜率为-20dB/dec的直线受n=50共轭复极点影响，在50后，G(j)的渐近线最终变成-60dB/dec的直线再根据各因子渐近线与实际曲线的偏差，对渐近线分段修正，得到G(j)的精确幅频特性8.2 频率响应图先

12、绘制G(j)各零点、极点因子的相频特性渐近线，迭加可以得到G(j)的近似相频特性常数增益：相角为0原点处的极点：相角为-90=2处的极点：相角近似为三段直线，=2处相角为-45=10处的零点：相角近似为三段直线，=10处相角为+45n=50的共轭复极点：采用准确的相频特性各基本因子相频特性渐近线迭加，得到相频特性近似曲线，可以确定实际相频特性的基本形状，估计系统在某些特殊频率点的相角8.2 频率响应图8.2 频率响应图在实际使用Bode图时，通常先用G(j)的幅频和相频近似曲线确定重要的频率或频段然后再在较小的范围内，用公式准确计算系统的实际相角和幅值分析、设计控制系统时，最关心对数幅频特性为

13、0dB、相频特性为-180的频率点从近似相频特性可知，=46时，相角为-180=46时，实际相角为：8.2 频率响应图从图中可以精确得到某些特殊频率的幅值和相角特性8.2 频率响应图用正弦信号测量控制系统的开环频率响应，获得增益、相角随频率变化的曲线，利用这2条曲线，导出开环频率特性GH(j)测量控制系统的闭环频率响应T(j) ，导出实际的闭环传递函数波形分析仪wave analyzer，在输入正弦波的频率改变时，测量幅值、相位的变化传递函数分析仪transfer function analyzer，测量开环、闭环传递函数典型的信号分析仪可完成从直流到100kHz范围的频率响应，内置分析和建模

14、功能，可以由测量得到的频率响应推断极点、零点，或对用户提供的模型给出频率响应8.3 频率响应测量8.3 频率响应测量扫频仪 在电子测量中，经常遇到对网络的阻抗特性和传输特性进行测量的问题，其中传输特性包括增益和衰减特性、幅频特性、相频特性等。用来测量前述特性的仪器称为频率特性测试仪，简称扫频仪。它为被测网络的调整，校准及故障的排除提供了极大的方便。扫频仪一般由扫描锯齿波发生器、扫频信号发生器、宽带放大器、频标信号发生器、X轴放大、Y轴放大、显示设备、面板键盘、多路输出电源等部分组成。其基本工作过程是通过电源变压器将50Hz市电降压后送入扫描锯齿波发生器，8.3 频率响应测量就形成了锯齿波，这个

15、锯齿波一方面控制扫频信号发生器，对扫频信号进行调频，另一方面该锯齿波送到X轴偏转放大器放大后，去控制示波器X轴偏转板，使电子束产生水平扫描。由于这个锯齿波同时控制电子束水平扫描和扫频振荡器，因此电子束在示波管荧光屏上的每一水平位置对应于某一瞬时频率。从左向右频率逐渐增高，并且是线性变化的。扫频信号发生器产生的扫频信号送到宽带放大器放大后，送入衰减器，然后输出扫频信号到被测电路。为了消除扫频信号的寄生调幅，宽带放大器增设自动增益控制器AGC。宽带放大器输出的扫频信号送到频标混频器，在8.3 频率响应测量频标混频器中与1MHz和10MHz或50MHz晶振信号或外频标信号进行混频。产生的频标信号送入

16、Y轴偏转放大器放大后输出给示波管的Y轴偏转板。扫频信号通过被测电路后，经过Y轴电位器、衰减器、放大器放大后送到示波管的Y轴偏转板，得被测电路的幅频特性曲线。8.3 频率响应测量超低频频率特性测试仪PLT-A 一种多功能智能化仪表，能够产生较宽频带（0.000110000rad/s）的高精度超低频正弦信号，并能实现待测频率点的自动对数间距输入，能一次性输入最多达400个待测频率点，对频率特性既可单点测量、连续测量，还可以进行全自动测量、记录和运算，用LED显示或通过PP40彩描器打印测量结果，绘出各种频率特性曲线，具有全自动测量、坐标自动转换、彩色打印等功能。8.3 频率响应测量超低频频率特性分

17、析仪L420526频率范围：1mHz-1000Hz（0.05%）频率分辨率：1/4000扫频：对数、线性、上扫、下扫、保持、停止、任意变换停止控制：0、90、180、270谐波失真：1%分析器输入幅度范围：0V-300V、1mHz-1000Hz输入阻抗：1M测量误差：直角坐标A+jB：0.5%（满度）1个字；极坐标R：0.5%（满度）1个字，：0.11个字传递函数未辨识的系统的Bode图8.3 频率响应测量8.3 频率响应测量传递函数未辨识的系统的Bode图从Bode图确定传递函数：电阻、电容组成的稳定的电路从100增加到1000，幅值下降约-20dB/十倍频程；=300处，相角-45，幅值-

18、3dB。=300为系统的转折频率，p1=300为极点相角突然变化+180，在n=2450穿越0；幅值的斜率由-20dB/十倍频程变成+20dB/十倍频程。n=2450处有一对共轭复零点当超过50000，幅值变成0dB；当=20000，幅值比高频0dB渐近线低-3dB，相角+45。可以推断p2=20000为系统第二个极点在转角频率n=2450处，幅值渐近线与最低幅值之差为10dB，可得 =0.168.3 频率响应测量传递函数：8.3 频率响应测量T形桥接网络bridged-T network传递函数谐振峰值Mp：幅频特性的峰值（最大值）谐振频率r：幅频特性达到谐振峰值的频率带宽B：幅频特性从低频

19、值下降3dB的频率，称截止频率，0B的频率范围称带宽，或-3dB带宽。增益降低到0.7倍低频增益的频率考虑二阶系统，闭环传递函数：8.4 频域性能指标带宽B衡量系统如实复现输入信号的能力B增大，阶跃响应上升时间减少带宽与无阻尼自然振荡频率n、阻尼比有关8.4 频域性能指标二阶系统幅频特性谐振峰值Mp表征系统的相对稳定性谐振峰值Mp增大，表明阻尼比减小，阶跃响应超调量增大对于二阶系统：8.4 频域性能指标二阶系统单位阶跃响应为：8.4 频域性能指标阻尼比给定，n越大，系统响应速度越快为满足时域性能指标，要求频域性能指标：谐振峰值相对较小，例如Mp1HzDS2：P.O.15DS3：阶跃输入稳态误差

20、为零见方程8.6 设计实例采用控制设计软件选择控制器：8.6 设计实例可调参数c使控制器增加一个自由度，更加灵活选择关键调整参数：K，a，b，c也可以选择如下控制器：闭环系统响应主要由主导极点位置决定。由性能指标确定主导极点位置，设计控制器参数，配置期望主导极点，忽略非主导极点响应开环传递函数：8.6 设计实例闭环系统为四阶系统，选择参数K，a，b，c，使其中两个极点为主导极点，并配置到能够满足性能指标的位置闭环传递函数：期望的特征多项式：8.6 设计实例选非主导极点为重实极点，特征多项式为：8.6 设计实例对应项系数相等，K，a，b，c为：二阶系统带宽B与自然频率n有近似关系：8.6 设计实

21、例由性能指标DS1：由百分比超调量指标DS2：尽管对调整时间没有指标，但一般希望调整时间尽可能短。所以选择=0.52自然振荡频率、谐振峰值、谐振频率为：8.6 设计实例取=0.52，n=5.11，=12，可得控制器：百分比超调量P.O.=14%，调整时间0.96秒闭环系统阶跃响应闭环系统幅频特性可见，闭环系统带宽B=27.2rad/s=4.33Hz，满足性能指标DS1，由于是四阶系统，所以B大于1Hz。B 越大，调节时间越短实际的谐振峰值MP=1.21，预期值是1.125当输入为正弦信号，输入信号频率增加，输出信号幅值减小：输入为=1rad/s的正弦信号，稳态输出幅值近似为1输入为=500ra

22、d/s的正弦信号，稳态输出幅值小于0.0058.6 设计实例输入为角频率=1rad/s正弦信号，闭环系统输出响应输入为角频率=500rad/s正弦信号，闭环系统输出响应本节介绍如何使用Matlab来绘制Bode图，再次讨论频率性能指标与时域性能指标的联系，并举例说明频域内的控制系统设计主要的Matlab函数:bode 和 logspacebode：用于绘制Bode图logspace:用于生成频率点数据向量，这些频率点数据是根据频率对数的相等间距生成的8.7 应用控制设计软件研究频率响应法Bode函数BODE(SYS)，绘制线性时不变系统sys的Bode图，频率区间及点数由Matlab自动选择B

23、ODE(SYS,WMIN,WMAX)，绘制频率在wmin,wmax范围内的bode图BODE(SYS,W)（W：保存Matlab要计算幅值和相角的频率向量，可以由logspace函数指定），绘制给定W向量的Bode图MAG,PHASE = BODE(SYS,W)，将特定频率处的幅值和相角分别保存在mag和pahse向量中MAG,PHASE,W = BODE(SYS)，同时也将计算了幅值和相位的频率点保存在W向量中8.7 应用控制设计软件研究频率响应法对系统: ,绘制Bode图的Matlab代码： g = tf(1 0.1 7.5,1 0.12 9 0 0);bode(g)8.7 应用控制设计软

24、件研究频率响应法需要更宽的频率范围，例如0.1-100g = tf(1 0.1 7.5,1 0.12 9 0 0);bode(g,0.1,100)8.7 应用控制设计软件研究频率响应法Logspace函数y = logspace(a,b)，产生10a-10b之间对数间距相等的50个点的行向量yy = logspace(a,b,n)，产生10a-10b之间对数间距相等的n个点的行向量y8.7 应用控制设计软件研究频率响应法Bode图，考虑传递函数：生成Bode图的Matlab代码：%num=5*0.1 1;f1=1 0;f2 =0.5 1;f3 =1/2500 6/50 1;den = conv

25、(f1,conv(f2,f3);sys = tf(num,den);%bode(sys)8.7 应用控制设计软件研究频率响应法Bode函数说明mag,phase,w=bode(sys,w)8.7 应用控制设计软件研究频率响应法使用logspace函数的Bode图绘制W = logspace(-1,3,200);Bode(sys,w)8.7 应用控制设计软件研究频率响应法通常控制系统设计的目标是使系统满足给定的时域性能指标，因此，在频域内设计控制系统时，应弄清楚频率响应和时域响应的相互关系产生2阶系统不同阻尼系数的频率响应曲线簇zeta=0.15:0.05:0.7;wr_over_wn=sqrt

26、(1-2*zeta.2);Mp =(2*zeta.*sqrt(1-zeta.2).(-1);Subplot(211),plot(zeta,Mp),gridxlabel(zeta),ylabel(M_pomega);Subplot(212),plot(zeta,wr_over_wn),gridxlabel(zeta),ylabel(omega_r/omega_n);8.7 应用控制设计软件研究频率响应法8.7 应用控制设计软件研究频率响应法雕刻机系统设计目标：选择增益K的合适取值，使得闭环系统阶跃响应的各项指标保持在允许的范围内频率设计的流程图见下页图所示。基本步骤：首先确定增益K的初值，计算其闭环传递函数根据闭环传递函数，绘制其Bode图，计算频率性能指标MP和r的值根据MP 和r与 和n的关系，计算和n利用和n,估计时域性能指标MP和Ts的值判断性能指标是否满足设计目标，如满足，则设计结束，否则重新给K赋初值，重复上述设计过程，直到满足设计目标8.7 应用控制设计软件研究频率响应法雕刻机系统的频域设计流程图设计程序代码，根据增益K来计算时域性能指标num=K; den=1 3 2 K;sys=tf(num,den);w=logspace(-1,1,