原材料的存储与订购问题

1、原材料的存储与订购问题信息与计算科学2007 魏孝明指导老师 蔡蕃摘要 本文针对某工厂对原材料的订购与存储问题展开分析，在允许缺货，承受缺货损失的前提下，寻找费用最小的存储策略。由于对原材料的需求量存在一定的随机性，所以以总平均费用函数最小作为目标函数建立存储模型，并抽象为形如型存储策略模型，其中为订货点，为库存水平。分别在需求量为离散分布和连续分布的两种不同情形下，采用差分的思想求解模型的最优解，得出在离散分布和连续分布的存储策略分别为（80，100）和（80，92.36）。并就这两种方案分析其实际意义。关键字 存储策略，期望存储费，期望缺货费，差分思想Abstract On the pre

2、mise of allowing to be out of stock and bearing the losing of shortage, this text aims at some factories sub and storage question spread analysis for raw materials, and looks for charges minimum storage strategy. As the demand existence certain random of the raw materials, so we use minimum total av

3、erage charge function as the object function creates to store pattern, and abstract for shape such as type saving strategy pattern, among them a contract for order point, for stock level. In thedemandfor thediscretedistribution andcontinuous distribution oftwo different cases, we adopt the different

4、ialthoughts to find the Optimal solutionfor the model, and reduce the strategywere (80,100) and (80, 92.36). in discretedistribution andcontinuous distribution ofstorage. And analyzing theactual meaning on these twoprogramsKeywords Storage strategy Expectedcosts of storage Expectedshortagecost Diffe

5、rentialthoughts目 录问题分析 31.1 背景介绍 3建模前相关知识准备 4存储问题的相关概念 4Mathematica 软件介绍 4模型准备 5模型假设 5模型分析与建立 6离散需求下模型的建立 6离散需求下模型的求解 7连续需求下模型的建立 8连续需求下模型的求解 10模型答案分析 12总结 14致谢 15参考文献 1510.附录 16问题分析1.1 背景介绍存储物品的现象是为了解决供应（或生产）与需求（或消耗）之间的不协调，是解决和协调供应与需求之间矛盾的一种手段。存储论研究的基本问题是：对存储物资在数量上，时间上如何管理才能使存储系统消耗最小。存储策略就是决定在什么时候对

6、存储系统进行补充，以及补充多少库存量的一种方法。评价一项策略的优劣时，常用的标准就是该策略所耗用的平均费用的多少。库存对于企业的意义：能够适应原材料供应的季节；适应产品销售的季节性；适应运输上的合理性和经济型；适应生产上的合理安排；适应批发量的大小。库存管理的意义：企业作为一个微观的经济系统，它必然要以宏观的经济系统作为自己的依存环境，在产、供、销、储、运等方面搞好内部与外部的协调和配合，才能获得良好的社会效益和经济效益，保证企业的生存和可持续发展。企业库存管理的目标可以概括为下列两点：（1）保证企业按科学的计划实现均衡生产，不要因为缺少原材料或其他物资而停工停产；（2）使库存管理的总费用达到

7、最低；本文试图在企业库存管理方面作一定的研究，具体问题表述如下。某工厂生产某种产品，已知对原料的需求量k 在80吨至120吨之间；设开工时有原料50吨，每吨原料的价格为850元，每次订货费为2825元，每吨原料的存储费为45元，缺货损失费1250元。如果原料的需求量满足下列两种情形： 情形一：原料需求量的概率分布为：需求量 k8090100110120概率P0.10.20.30.30.1情形二：原料需求量k服从80,120上的均匀分布；分别研究上述两种情形，当存储量达到多少时需要订购？最佳订购量是多少？2. 建模前相关知识准备2.1 存储问题的相关概念（1）需求：存储量因需求的满足而减少。（2

8、）补充：存储量减少后必须进行补充，订货时要考虑从订货起到货物运到之间的滞后时间。滞后时间分为两部分，从开始订货到货物到达为止的时间称为拖后时间，另一部分时间为开始补充到补充完毕为止的时间。（3）缺货的处理：一般在订货达到后不足部分立即补上或订货到达后不足部分不再补充。（4）存储策略（5）费用1）生产费：外购时需要支付买价，自行生产时，需要消耗直接材料、人工等制造费用。2）订货费：订货费是完成一次订货所需要的费用，它是仅与订货次数相关的一种固定费用。3）存储费：包括仓库管理费、货物维修费、保险费、积压资金。4）缺货费：指当存储不能满足需求而造成的损失费，如停工待料造成的生产损失、因货物脱销而造成

9、的损失、延期付货所支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形损失等。2.2 Mathematica软件介绍Mathematica是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于世界领先地位，是使用最广泛的数学软件之一。Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始。自从20世纪60年代以来，在数值、代数、图形、和其它方面应用广泛，Mathematica是世界上通用计算系统中最强大的系统。自从1988发布以来，它已经对如何在科技和其它领域运用计算机产生了深刻的影响。Mathematica从刚开始是一个主要用于数

10、学和科技计算的系统，到现在发展成许多计算领域的主要力量，Mathematica已经成为世界上最强大的通用计算系统。模型的准备在市场竞争日趋激烈的形势下，库存成本作为企业物流总成本的一部分，在企业资产总额中所占比率极为可观。因此，库存是否适量对企业经营效益有很大影响。一方面，若库存不足，不能满足实际需求，会导致客户群的流逝，影响企业正常运作。另一方面，如库存超量，则造成资金积压，企业易出现周转资金不灵。所以无论是对于企业还是工厂，寻找一种合理的库存方式是很有必要的。显然，无论是第一种情形还是第二种情形，该问题都是需要寻找一个合理的存储策略，这个策略要解决两个问题：一是何时补充材料，即存储量达到多

11、少时需要订货；另一个是补充多少，即原料的最佳订购量。本题中该工厂的情况即为存储策略中常用的型策略，称为订货点，称为库存水平，为掌握库存量的多少需要对其进行检查，一旦发现库存量降至，则立即订货，订货量为，也就是说，在型策略中， 由确定订货时间，由确定订货量的多少。模型假设对库存量的检查是连续的，即对任一时刻，我们都知道库存水平。从订货到交货之间的时间间隔为零。允许缺货（这意味着缺货损失不是非常大，在短期内工厂能承受此损失），缺货费为。需求量不是常数，需求量为的概率为。当时（即本阶段开始时），库存水平为，且此刻订货，订货量为。模型中符号的约定如下：每吨原材料的购价；订货费用；订货量；原材料的存储费

12、单价；缺货损失费单价；模型的分析与建立5.1 离散需求下模型的建立无论第一种情形还是第二种情形，在存储策略模型中，其目的都是使工厂的平均费用最低。所以，取平均费用函数为目标函数，并认为原来所拥有的存储量为，在本阶段开始时订货，从而使存储量达到。本阶段工厂所需支付的费用为订货费、存储费（期望值）、缺货损失费（期望值）。下面就第一种情形，即原料需求量为离散情形时，讨论模型的建立与求解。该阶段订货费为，期望存储费用为，期望缺货费为，于是平均费用函数为 。记，为库存所达到的水平，则， （1）所以求存储策略中的库存水平的问题就转化为，求使得达到最小。下面讨论求存储策略中的订货点的问题，即当库存量达到什么

13、水平时需要订货。显然，订货点表示当时的库存水平也是，当时可以不订货，当时需要订货，且要使库存量达到，所需的订货量为。之所以在进货，是由于当存货大于时，工厂所花的费用比进货后达到时的总费用少，而存货小于时，由于可能缺货及其他原因，工厂所花费的总费用比进货后达到时的总费用多，因此有下列不等式成立。 ， （2）此为订货点所满足的模型。5.2 离散需求下模型的求解对于上述求库存水平的模型（1），由于的取值是离散的，所以用差分的思想求解。，令，从而得所满足的等式。 将元，元，元，吨代入，得，而本问题中的取值只有5个，即，按照所满足的分布律，得 所以应取=100吨，故本阶段开始的进货量吨。为了求订货点，将

14、所满足的模型（2）式变形为， ， （3）代入，（3）式右端可算得，当时，（3）式左端可算得，当时，（3）式左端可算得，当时，（3）式左端可算得，上面的在k的可能取值范围内均可取得。可以看出当存货从100吨降至90吨直至80吨，工厂所负担的费用越来越多，当存货达到80吨时，不进货比进货达到吨时所需要费用仅少5元。于是可以得出，当库存最少小于80吨时，就要进货；否则就不必进货。故该厂的存贮策略为：当原料不足80吨时，就购进原料，并使库存达到100吨；当存储的原料多于80吨时，不必进货。5.3 连续需求下模型的建立假设原材料的需求量k服从区间80,120上的均匀分布，则k是连续型随机变量，其概率密度

15、函数为：，连续型随机变量k的期望值为：，同离散需求下模型的建立类似，取平均费用函数作为目标函数，并且认为原有存储量为，在该阶段开始时，订货从而使存储量达到。那么该阶段工厂所需要支付的费用即为订货费、存储费（期望值）、缺货损失费（期望值）。设，其中为库存所达到的水平，则该阶段的订货费为，期望存储费用为，期望缺货费为，于是得到平均费用函数为+， （4）所以求存储策略模型中的库存水平的问题就转化为，求使得达到最小。下面讨论当库存I达到什么水平时需要订货，即订货点。显然，订货点表示当时的库存水平也是，当时可以不订货，当时要订货，而且要使库存量达到，那么这时所需要的订货量即为。接下来讨论为什么要在库存水

16、平为时进货。工厂在这个过程中可能需要支付存储管理费，缺货费，订货费用等。当货存量大于时，工厂所花的费用（如订货费，存储管理费用等）比进货后达到时的总费用少，而存货小于时，由于可能缺货及其他的一些原因，工厂所花费的总费用比进货后达到时所要的总费用要多。所以基于这种考虑，权衡利弊，大多数工厂会将订货点定在处。根据上述的讨论，于是就有下列不等式成立：+， （5）这便是存储策略模型中的解决方案。5.4 连续需求下模型的求解从上述的模型中可以看出，（5）式中的求解要依赖于（4）式中的结果，所以模型的求解必须从（4）式的求解开始。将（4）式变形为，上式对变量求导数，得令，解得，将元，元，元代入，得。对于（

17、5）式，在已知的前提下，将（5）式变形为下列形式：+， （6）已知订购费元，元，元，元，吨，上式右端可计算得+为了求解，通过Mathematica中强大的图形功能分析求解方法。在（6）式的左端将记作变量x，考虑多项式函数，代入各参数的值，得。在Mathematica环境下，画出与直线的图形，键入下列命令：Plot fx, 93354, x, 80,120:图一从上图中可以看出，fx并不是关于x的单调函数，在（80,120）之间有一个最低点，利用命令：g x_ =Dfx,xNSolvegx0即得到这个最低点的值：x92.3552，所以这个最低点为x=92.3552。对于所要求的，在（80, 92

18、.3552）之间是单调减的，在（92.3552,120）之间是单调增的。而又=92.36，所以就只能在减区间（80, 92.36）之间取值。下面求出fx与直线的交点：NSolvefx93354,x得到结果： x - 79.1446, x - 105.566两个交点都在所要寻找的的取值范围（80, 92.3552）之外，根据上述结果得到订货点=80。从图一中可以看出，在取值范围（80, 92.3552）内，又=92.36，所以可以取值的范围就为（80, 92.36），因为在范围（80, 92.3552）内取值为单调减的，所以在除80以外的点取值的话，工厂所需要负担的费用都比80处要多。当存货达到

19、80吨时，不进货比进货达到所需费用的差距最少。结合公式（6）和图一可以看出，我们所要寻找的订货点在函数线上所对应的值在直线之下，从图一中可以看出点80所对应的值与之间的距离最小。 于是可以得出：当库存量小于80吨时，就需要进货；否则就不必进货。故该厂的存储策略为：当原料不足80吨时，就购进原料，并使库存达到92.36吨；当存储的原料多余80吨时，就不必进货。模型答案分析为了能够使模型更易理解，下面就需求量为连续型随机变量情况用离散化的观点来解释，这样就可以很好的将连续的情况与离散的情况统一起来。由X服从上的均匀分布，记为，若是的任一子区间，则这表明X落在的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与

20、子区间位置无关，因此X落在的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。利用均匀分布的这种可能性，将连续分布离散化的观点来解释库存水平=92.36。 图二这是均匀分布的分布函数图形，在离散化的过程中，依据离散模型把区间分成5段：80, 90，90, 100，100, 110，110, 120，120, 130，根据上图的情况，可以将k的分布做这样的离散化：需求量 k8090100110120概率P0.20.20.20.20.2当k在这种概率分布之下，为了与原先离散型模型中相比，把离散型模型中数据和连续型模型中数据在同一张图表中展示出来，这样的展示会让数据更直接一点，并且

21、两者之间的比较在图形上显而易见了。在Mathematica中输入下列命令：；a=80,0.1,90,0.3,100,0.6,110,0.9,120,1；n=ListPlota,PlotStylePointSize0.02；Showm,n最后得到的图形为:从整体上看，离散的点都在连续直线的上方，可以想象，当需求量k为图中直线上的均匀分布时，市场对于工厂的这种产品的需求并没有离散型模型中的那么多。从将连续分布离散化的结果中也可以看出，k在80110吨之间的需求变少了。所以，在结果上需求量k为连续分布时的库存量没有需求量k为离散情况时的库存量大。这一结论符合市场规律的（这里不讨论现代营销观念上的创造

22、市场，创造需求的情况）：市场对某种产品的需求变少时，工厂应该相应的在生产上做出调整。减少库存是最有效直接的办法，这样在资金，在库存管理，在生产上都会随之而改变。相反，如果市场对于某种产品的反应很好，工厂应该适当的增加库存，提高产品生产量。总结合理存储就是要使存储的产品品种适销对路，数量适当，结构合理，经常更新，既不积压，也不脱销，从而使生产企业充分发挥蓄水池作用，做到蓄而不死、做到“为有源头活水来”。本文正是在这种意义下讨论现实中存在的某工厂的某产品，在已知产品在市场的需求情况下的存储策略。本文分别在需求量为离散型随机变量和连续型随机变量两种不同的情形下寻找一种合理的存储策略。将问题抽象为寻找一种的存储策略，其中为订货点，为库存水平。当工厂的库存量低于时，即要补充库存，补充库存的多少由决定。本文的创新点和意义主要有：（1）用差分方法来解决库存水平的问题；（2）在连续型模型中利用Mathematica 软件，简洁的计算出连续型模型中的问题；（3）用图形展示，使数据的比较更直观，更容易理解；（4）解释连续型的情况下的存储策略时，采