平面向量夹角的计算方法

1、平面向量夹角的计算方法【知识要点】、两个非零向量的夹角的概念r r uuu r uur已知非零向量 a与b,作OA a,OB,则 AOB (0)叫a与b的夹角.当rr rb同向；当 时，a与b反向；当 一时,2(1)对于0,不谈它与其它向量的夹角问题 .r rra与b垂直，记ar b.r r(2) a与b的夹角，记作r rr ra,b ，确定向量a与b的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如:AB, AC A 但是 AB, BC B AB, BC、求两个向量的夹角一般有两种方法r r方法一：cos a, buurrr方法二：设 a = (x, y1)，b = d, y2),为向量a与b的夹

2、角，则 cosX”yy2r r r u例1 已知x a b, yr rr r rr2a b,且 |a| |b| 1,a b.r u(1)求 |x|和 | y|;r u(2)求x, y夹角的余弦值.【方法讲评】方法一uur r r-大利用公式cos a,b需j求解.|a|H使用情景一般没有坐标背景.解题步骤r r 先求agb,r r |a|,|b|,r r再代入公式 cos a,buur需求解.【解析】(1)1宣1=正=je+By二忑 + 240b + 5-= 1 0+1 二” | y =42十万)工=+ = J4 十。+ 1 = #、工 3 C O 5 CZ - = = 一 1L a V X

3、U330# M 如 1。所以向量夹角的余弦值为之四.10r , 2十 rrrr r公式cos a,b【反馈检测【点评】（1） |a|2 a和|a| Ja是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用a卑求解时，要先求 a* ,1a |,| b|这些基本量，再代入公式.abr rr r r rr r r r r1】已知a,b都是非零向量，且a 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的 夹角.方法二利用公式cos, x1x2 y1y2 求解./ 22 f 22Uxy1 7x2 y2使用情景一般有坐标背景.解题步骤r rz zX/ X/先求出a,b的坐标，再代入公式

4、cos,x1 % yy= 求解.2222y y2【例2】 如图，函数y 2sin（ x ）,x R （其中0）的图像与y轴交于点（0,1）.2（I）求 的值；uuuu uuur（n）设P是图像上的最高点，M N是图像与x轴的交点，求PM与PN的夹角的余弦【解析】（I ）因为函数图像过点（0,1）, ,r1所以 2sin 1,即 sin -.2因为0所以2 TOC o 1-5 h z 这11耳(n)由函数+=喜皿石+二)及其图像，得虫-二,既不-4可匕用6636所四两二2),两三&2工从而上，Jh 丽-两 15cos PV 一 PN *=r-=|EM|-| 尸叫 17r r【点评】 此类问题的一

5、般步骤是：先求 a,b的坐标，再cos_xxl yy 求解.学科刨2222xi yi 、. X2 y2r r _ r r _ 【反馈检测2】已知|a| 1,|b|褥a b (73,1),r r r r r r(1)试求|a b|; (2)a心fa b的夹角.参考答案r r【反馈检测1答案】a与附勺夹角为一 3【反馈检测:L详名照析】由题得G+防网7-5分=。7fl2 + 16i-15？ = 0 (1)(a-4S)7fl-25) = 0 :77-3。嬴+/=。Q)-(2厝标=柒 (3)把(S代人d得a=b丁 a w 0:司二岩段的夹角为1【反馈检测2答案】(1) 2; (2) 2 . 3r r=r r -【反馈检测2详细解析】(i)|a b| J(a b)2rr % r r2r rQ|ab|2 a2agbb44 2agbr r r r_2ag)0 |a b|