高等动力学课件：lecture15-3D

1、 Lecture 143D刚体动力学内容回顾Euler情形（无外力作用）能量守恒动量矩守恒 RGP惯量椭球面，其常数值取为k*k=2TOMQroQ如果能量椭球为对称椭球的情况，即莱沙尔坐标系考虑简单的具有对称惯量椭球的刚体的定点运动情形 J1 = J2对刚体的定点运动进行分解，引入中间参考系（莱沙儿参考坐标系）O, n, s, 。惯性系下莱沙尔坐标系运动的角速度可表示为Euler角的形式刚体的定点运动在莱沙尔坐标系中可以看做是绕O的定轴转动 （角速度合成定理）。莱沙尔坐标系由于J1=J2,所以，与O轴垂直的平面上任意两相互垂直的轴均为主轴。即On和 Os轴也是惯量主轴。动量矩在莱沙尔坐标系中的

2、投影绝对角速度矢量在莱沙尔坐标系的分量表示为莱沙尔坐标系在莱沙尔坐标系下的动量矩定理的形式为注意：这时是，即是莱沙尔坐标系的角速度，而非刚体的角速度。可以得到采用Euler角表示的具有对称惯量椭球的刚体定点运动的动力学方程利用以上方程，可以分析在重力场作用下的具有轴对称刚体的定点运动的情况，并得到解析解的形式。Lagrange情形C对称的玩具陀螺在地面上作定点运动，除重力和地面支撑力外，无其它外力。质心在C点，质心到定点的距离为rOC=a。要求分析该对称回转刚体的定点运动的情形。Lagrange情形由于是对称刚体， J1=J2，故可以采用莱沙尔坐标系建立与Euler角相关的动力学方程。对固定点

3、的外力矩为动力学方程为角速度矢量在莱沙尔坐标系中的各个分量与Euler角之间的关系C重力作用下轴对称刚体的定点运动分析运动微分方程中的首次积分（1）（1）式表明角速度矢量在3轴上的分量总是常数。由于即有第三个首次积分来自机械能守恒条件。运动微分方程存在三个微分变量，有三个首次积分常数，如果能够确定其它三个积分常数，便可以得到其解析表达式。（2）（3）重力作用下轴对称刚体的定点运动根据（2），有（4）其中：=Gz/J1, =J33/J1如果是已知的关于时间t的函数，则得到(t)。利用(), 将其代入(1)（5）根据能量积分(3)，并定义将(4)代入上式（6）重力作用下轴对称刚体的定点运动定义如下

4、参数方程（6）变为（7）引入如下的变量变换方程(7)具有如下的形式（8）上式的右端项是关于u的一个代数方程，可归结为如下的一个积分根式内是关于u的三次多项式，是代数函数的反转问题，必然涉及到椭圆函数的积分问题。为揭示物理的本质，不一定完全得到解的解析表达式。章动角根的分布定义方程（8）中右端项关于u的三次多项式为如下函数该三次多项式的根给出了是deta变号的可能性。下面分析以上三次多项式在u为实数轴上的分布情形。根据以上函数值域的分布，可以断定三个根的分布如下：同时注意：三个根互不相等的情况如果存在三个根不等的情况，则，初始位置的u0必定位于刚体的运动将被限制两个临界章动角1, 2之间运动。具

5、体运动形式与初始条件相关。uf(u)u=-1u=1u1u2u3u0可能的运动情形在由1和2所给定的界圆边界上，章动角速度dot=0。轨迹形状主要由进动角速度的方向来确定。（图b）21情形1根据进动角速度（方程（4）轨迹在单位圆上，经线与纬线微弧长的夹角为当初始条件当到达u1所给定的界圆时，当到达u2所给定的界圆时，说明，进动的角速度将在两个界圆处转换方向，轨线形状如图a所示情形2（图b）如果给定的初始条件进动角速度将不变方向，轨线将如图（b）所示。如果给定的初始条件形状仍然如图(b)所示，只是方向相反。情形321如果初始条件刚好满足说明只有单向进动，同时可以证明，Proof:因此，所以，这时出

6、现单向进动，但在上界圆出现尖点情况。存在三重根的条件存在两种情况：u1=u2=u3=1,如图(b)所示，这时只对应一种状态，即刚体只能绕竖直轴转动。-1u1=u2=u3=1f(u)0f(u)u1图（b）存在二重根的条件：情形1-1u1u2=u3f(u)0f(u)u图（a）Case1 : u2=u3时,当u2=u3,必有u2=u3=1函数f(u)将具有如下的形式待定系数可以确定为则方程的第三个根为If u1 0f(u)uf(u)代数表达式中也可能存在两个重根的情况。Case 2: u1=u2在这种情况下，意味着上、下界圆相同。因此，初始条件对应的章动角在这种情况下，对应如下的条件为即，当f(u)

7、有以上重根时，章动角保持不变。显然，这一条件严格依赖于初始条件。0dotdot存在重根的条件:规则进动对上式微分可得到如下条件则可以看出，章动角不变，进动角速度为常数，其方向依赖于（/-u0）的符号。并且初始条件满足上面的公式（1）。这样的运动称为规则进动。（1）规则进动的讨论规则进动产生的条件（不考虑=0的情况）：令dot=p, 可得如下关于p的一元二次方程，该方程带来了附加约束。要使以上方程存在实数根，其条件为由于cos 0, 即两个实数根分别为该条件进一步限制了初始条件的取值范围。（1）规则进动的讨论如果自转是高速的，即（应用小参数下的线性化近似）则对以上两个根可近似为对应进动角速度为p

8、1的情况，称为快进动。对于慢进动来说，进动角速度为小量，初始匀速进动角速度的条件可以作为类似p=0的一个小的摄动，即通过施加一个非常小的推力来实现。这在物理上是可行的。规则进动的稳定性设未受扰的规则进动为：如果p=0，可以认为初始定轴转动的情形。受扰后，章动和进动都将有微小的改变量。将考虑摄动项后，代入Euler动力学方程由于守恒条件，3保持常量，利用前两个方程，并考虑一阶近似，得到关于摄动项的线性微分方程规则进动的稳定性对应的特征方程为可以得到四个特征根，可以证明，二重零根将对应代数方程f(u)=0时，u1的实数根。两个纯虚数根将使得受扰后规则进动系统的进动角速度和章动和章动角速度按照相同的频率在规则进动附件振动。高速慢进动情形高速转动下的慢进动情形可以近似的认为进动和章动振动的频率为扰动可能激发具有高频振动的慢进动和章动现象，考虑阻尼后，该振动