长沙市雅礼2021-2022学年高考数学全真模拟密押卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1设，分别是中，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）A平行B重合C垂直D相交但不垂直2设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是( )A，B，C，D，3已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（ ）A圆，但要去掉两个点B椭圆，但要去掉两个点C双曲线，但要去掉两个点D抛物线，但要去掉两个点4设集合，则（ ）ABCD5过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（ ）ABCD6已知Sn为等比数列an的前n项和，a516，a3a432，则S8（ ）A21B24C85D857已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）ABCD8

3、某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（ ）ABCD9已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ）ABCD10复数的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD12已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终

4、边上有一点，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则_14某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_15双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_.16函数在的零点个数为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）2019年底，北京2022年冬奥

5、组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:()试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;()从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;()为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出

6、的最小值.(结论不要求证明)18（12分）已知在四棱锥中，平面，在四边形中，为的中点，连接，为的中点，连接.（1）求证：.（2）求二面角的余弦值.19（12分）已知数列的通项，数列为等比数列，且，成等差数列.（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.20（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值1=-1的一个特征向量为1=1-1，属于特征值2=4的一个特征向量为2=32.求矩阵A.21（12分）数列满足，其前n项和为，数列的前n项积为.（1）求和数列的通项公式；（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.22（10分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.参

7、考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系2B【解析】根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，当，时，由于不在平面内，故无法得出.对于B选项，由于，所以.故B选项正确.对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出.对于D选项，当，时，无法得出.综上所述，的一个充分条件是“，”故选：B【点睛】本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.3A【解析】根据题意可得,即

8、知C在以AB为直径的圆上.【详解】,，,又，,平面,又平面，故在以为直径的圆上，又是内异于的动点，所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.4A【解析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.5B【解析】设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，可

9、得，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，.故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.6D【解析】由等比数列的性质求得a1q416，a12q532，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【详解】设等比数列an的公比为q，a516，a3a432，a1q416，a12q532，q2，则，则，故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.7A【解析】根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.【

10、详解】因为双曲线（），所以，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8C【解析】计算出、，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，由频率分布直方图可知，则，由于场外有数万名观众，所以，.故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.9D【解析】将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可

11、，即，当设切点，则，.故选：D.【点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.10C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.11A【解析】设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12B【解析】根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可

12、求得的值.【详解】因为终边上有一点，所以，故选：B【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面，且，设该阳马的外接球半径为，该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，侧棱底面，且底面为正方形，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，内切球半径为，故故答案为【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题解决球

13、与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.141【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】分层抽样的抽取比例为，抽取学生的人数为6001故答案为：1【点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.15【解析】根据双曲线上的点的坐标关系得，交圆于点，所以，建立等式，两式作商即可得解.【详解】设，交圆于点，所

14、以易知:即.故答案为：【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.16【解析】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数【详解】详解：由题可知，或解得,或故有3个零点【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 ()万；()分布列见解析， ；()【解析】()根据比例关系直接计算得到答案.() 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.【详解】()样本中女生英

15、语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.() 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，.故分布列为：.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，证明，得到面，得到证明.（2）以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，为平面的法向量，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.【详解】（1）连接，在四边形中，平面，面，面，又面，又在直角三角形中，为的中点，面，面，.（2）以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，设为平面的法向量，令，

16、则，同理可得平面的一个法向量为.设向量与的所成的角为，由图形知，二面角为锐二面角，所以余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19（1）；（2）.【解析】（1）根据，成等差数列以及为等比数列，通过直接对进行赋值计算出的首项和公比，即可求解出的通项公式；（2）的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和.【详解】（1）数列为等比数列，且，成等差数列.设数列的公比为，解得（2），.【点睛】本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用，难度一般.判断是否适合使用错位相减法，可根据数列的通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.20A=2321【解析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，A1=11，即abcd1-1=-11-1，得a-b=-1,c-d=1.同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵A=2321【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单21（1），；（2），证明见解析【解析】（1）利用已