信息论与编码第78章习题解答

1、 7-2设瓦是“维二元欠量空间中所有具备偶数重量的矢量集合。证明瓦是线性码，并确定E”的参数5,k,d),以及它的系统生成矩阵。设q和C2均属于即均是重量为偶数的斤维二元矢量。于是C,+C2的重量为(C1+c2)=WH(C1)+(c2)-2wh(c,-c2)是偶数，其中c,-c2表示C|和C2的交截。因此c,+c2gh,所以E”是一个线性码。由于对称性，在所有长度为朴的二元矢量中，奇数重量与偶数重量的欠量数相等，所以中码字数为2心，从而k=n-,乂E”中最小非零码字的重量为2,所以d=2,于是E“的参数为丿1,2)。7-4设二元线性码M的生成矩阵为_10011_G=0010101111求M的最

2、小距离。由G生成的(5,3)码的八个码字为(00000),(10011),(00101),(01111)(10110),(01010),(11100),(11001)所以非零码字最小重量为2,从而最小Hamming矩离必亦=2。7-5设二元线性码M的生成矩阵为(11010、G=,01010/建立码M的标准阵，并对码字11111和10000分别进行译码。由G生成的(5,2)码M的标准阵列为(00000),(11010),(01010),(10000)(00001),(11011),(01011),(10001)(00010),(11000),(01000),(10010)(00100),(111

3、10),(01110),(10100)(00011),(11001),(01001),(10011)(00101),(11111),(01111),(10101)(01100),(10110),(00110),(11100)(00111),(11101),(01101),(10111)接收到矢量(11111)译成码字(11010)接收到矢量(10000)译成码字(10000)7-7设二元线性码M的生成矩阵为G=/711()11111H1011001110000001111 # 确定M的校验矩阵并求其最小距离。相应的校验矩阵为II1100101001101111101100111001G和G的差

4、别仅是列的置换,所以H和的差别也是同样的列置换，所以1100101001101111110001111101/0|4X41I与G相应的系统生成矩阵为110010100110G=11117x711010101_1001该码的校验矩阵任意二列线性独立，而第1,2,3列之和为零矢量，所以存在着相关的三列，从而最小Hamming重量为3。min=37-8建立二元（7,4）Hamming码的包含陪集首项和伴随式的伴随表，并对收到的矢量0000011,1111111,1100110,1010101进行译码。解(7.4)Hamming码的校验矩阵为10101W=0110000011错误形式和伴随欠量表为es

5、(1000000)(100)(0100000)(010)(0010000)(110)(0001000)(001)(0000100)(101)(0000010)(011)(0000001)(111)接收矢量伴随矢量相应译出码字(0000011)=n(100)=(1000011)(1111111)=(000)=(11111111)(1100110)=(000)=(1100110)(1010101)=(000)=(1010101)接收到欠量伴随式错误形式译出码字(011011001111000),(0110),(000001000000000),(011010001111000)(001100110

6、011000),(1111),(000000000000001),(001100110011001)7-9设二元（15,11）Hamming码的校验矩阵为_000000011111111_rr000111100001111H=011001100110011101010101010101试对收到的字011011001111000,和001100110011000进行译码。7-11研究系统码(&4),其校验方程为c0=tnl+m2+myq=m0+m,c2=7H()+mx+myc3=rn0+m2+m33,5是校验位，求此码的生成矩阵和校验矩其中如m1,加2皿3是信息位，CQ,C2,C阵，并证明此码的

7、最小距离为4。设系统码的校验矩阵为1000gooC21C2,m-1)C3=(C30C31?C3,?-l)考虑第i位分量，如果C”和C3j取相同符号，即(5心)=0贝I显然d(ch.,qJ+d(c2/.,q.)d(clf.,q.)=0如果5和C3,取相异符号，即(5心)=1贝怀管C2,取什么符号，至少它与仏和C3冲一个符号相反，所以d(5,c2/)+d(c2/.,c3/)d(Ci心)=1所以d(Ci，C2)+d(?2，C3)d(q，5)8-2另加是一个止整数，若加不是质数，证明集合1,2,.,m在模加加法和乘法下不是域。证明*.*加不是质数可设m=kt,设1km考虑k和集合中其它非零元的模m乘法

8、:kAmodm=kk2modm=2kkJmmodm=ymk1ktmodm=0M+l)modm=k1TOC o 1-5 h zk(f+2)modm=2kk(t+ym)modm=ymk1k和集合中其它非零元的模加乘法在集合OM,+】,，皿k中取值，其中不包括“1”，即R不存在逆元。集合1,2,，加在模加加法和乘法下不是域。8-4根据本原多项式P(X)=1+X+X构造GF(2S)表；列出每个元素的幕，多项式和矢量表示，决定每一元素的阶。解:GF(23)的8个元素：(000)0(110)1+a(100)1(101)1+/(010)a(Oil)a+a1(001)er(111)1+G+由定理8.1.4可得

9、，GF(2y)中非零元素可能的阶数是1或71的阶数为1,其余非零元素的阶数为78-7考虑由g(X)=1+X+X4生成的(15,11)循环Hamming码。确定此码的校验多项式。确定它对偶码的生成多项式。找出此码的系统生成矩阵和一致校验矩阵。解(a)校验多项式/z(X)=(X%l)/g(X)=Xl+X1+X5+X2+X-1(b)对偶码生成多项式为/7(X)的倒易多项式，即GX)=Xi=1+X3+X4+X6+Xs+X9+XlQ+Xn(c)此码的一个非系统生成矩阵为rl10010000000000011001000000000G=0011001000000001000000000001001系统生成矩阵为：rl100、01100011110110100101Alxu11100111111110111001丿G=z10011010111、11010111100H=Idd4x40110101111000110101111/8-8设计由g(X)=1+X+X4生成的(15,11)循环Hamming码的编码器。解h设计一个(15,11)的系统循环码的编码过程由三步组成:1、用乘以消息多项式2、用g(兀)除X4-m(x)得到余式b(x)3、码字多项式c(x)=x4m(x