高考数学讲义微专题08函数方程问题的分析(含详细解析)

1、微专题08函数方程问题的分析一、基础知识：1、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如f x f x , f 1 x fix都可称为函数方程。在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：(1)表示函数f x的某种性质：例如f x f x体现f x是偶函数；f x 1 f x体现f x是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性” 一节)(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式:-1- 1例如：f x 2f - 3x,可用一 xx2f2f x2f x3x3x(3)函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值2、双变量函数方程的赋值方法：(1)对x,y均赋

2、特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如f 0 ,f 1 ,f 1 ,在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域。(2)其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质3、常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程(1)fxy f x f y ： f x kx(2) f xy f x f y ： fx axa 0,a 1(3)当x 0, 时，f x y f x f y ： fx logax当 x x|x0 时，fxy f x f y ： f x log

3、a x二、典型例题例1 ：已知函数 f x对任意的m, n R均有f m n f m f n ,且当x 0时,f x 0(1)求证：f x为奇函数(2)求证：f x为R上的增函数（2）思路：考虑证明 f x单调递增，则需构造出f x1f x2 ,即可设x2 x1且令（1）思路：要证明奇函数，则需要f x,f x出现在同一等式中，所以考虑令m x,n再通过代入特殊值计算出f 00即可解：（1）令m x,nx,0, n0,则f0解得x为奇函数(2)思路：要证明单调递增，则需任取xiER,且xx2,去证明 f x与f x2的大小,结合等式，则需要让f xi与x2分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑

4、x2x2xix1,进而 m nx2, nxi 。只需判断f x2x,的符号即可解:任取x1, x2R ,且 xx2,令 mx2xi,n x1，代入方程可得:x2xixif x2 xif xix2xif x2 x1Qx2xix2xi 0 ,依题意可得:f x2 x10 x2fxi0 即 f x2f xix为增函数小炼有话说：第（2）问将x2拆分为x2xix1是本题证明的亮点，达到了让fx2分居等号的两侧的目的例2:已知定义在R上的函数fx ,对于任意实数 a,b都满足f a0,当x 0时,(i)求f 0的值(2)求证：f上是增函数(3)求不等式:f x21 ，一1的解集 f 2x 4解：（i）令

5、a一一 2 一一 一0f2 0 ,解得 f 0令a 0,b i可得：f ia X2 Xi,b Xi,f X2f X2 X1 f X1f X2f Xif X2Xi由X20和已知条件可得：f x2 % i所以需要证明f Xi0,00,可考虑结合题目条件和f 0i,令a Xi,bXi,则有fxi fXiXii一1一0,从而单调性可证fXi证明：xi, x2R,xiX2 ，则令X2Xi,b代入函数方程有:f x2fX2 Xi fXif X2XiX2XiQ x2 XiX2Xi0,下证f Xi由已知可得,Xi0 ,所以只需证明xi,0 时，f xiXi,bXif Xi f Xif XiifXiQxiXiX

6、iX2f XiX2Xif Xif X2x在R上单调递增(3)思路：本题并没有 f的解析式,所以考虑利用函数的单调性求解。由（D (2)问可f 2x 4f X2再根据单调性即可得到关于X的不等式，解出不等式即可解：Q f Xf X2if 2x 4f X22xf 2x 4x 2x3x 4 f 0由（2）可得单调递增3x 4 0解得X4,i例3:定义在1,1的函数满足关系f xf 3，当 x1 xy1,0 时，f11f - ,Q f - ,R f52P,Q,R的大小关系为A. R PQ B.C.R D.思路：由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性,先化简x y1 xy可得：f xx y1 xy1y

7、4令 4x yxy解得:157,即左边已经作差,所以考虑x1，X20,ix1f x2x21x1x20 x1X2x10,1x1x2 1xx21x1x20,即x2x1x21x1x20,得到f x 在 0,12单调递增，所以答案:小炼有话说:本题在证明单调性时,因为考虑了 P,Q,R中自变量的取值,所以只需考虑0,：的单调性，缩小为？2的范围使得判断 21x2的范围较容易。但也可将1 x1x2、？2在 1,1中任取,但是在判断x1 x2的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证: 1 x1x2假设1x1x2取2x1x21x1x2且迎冷1x1x2xx22由 x1, x1,1x1x1x21可得x1 1

8、 1x2x2x11x20成立，从而x21x1x2例4:函数f的定义域为 x| x 0,满足f xyf x在区间0,上单调递增，若 m满足f log3 mf log 1m 2 f 1 ,则实数m的取值范围是（3A. 1,3 B.1 八110, C. 0, U 1,3 D. ,1 U 1,3 333思路：从所求中发现log3 m,log 1m互为相反数，所以联想到判定3f x是否具有奇偶性。令y 1 ,则有 f x f xf 1 ,需求出f 1 ：令x y再令x y 1 ,则f 12 f 1f 10 f 10,所以 f x fx,fx 为偶函数。所以f log3 mf 10glm 2f log3m

9、 ,所解不等式为 f log3m f 1 ,因为f x为偶函数，且区间 0,上单调递增，所以自变量距离y轴越近，则函数值越小,所以log3 m 1 ,即1log3 mm 3 ,因为 log 3 m 0一 1范围为1,1 U 1,3 3答案：D例5:设角的终边在第一象限,函数f(x)的定义域为 0,1,且f(0) 0, f (1) 1,当x y1 ,， ，一-成立的的集合为4时，有 f x-yf x sin2，一，11 sin f y ,则使等式f -4思路：首先从所求出发，由f 1 141.一sin21 sin f 01.一 sin 2111,则下一步需要确定 f -的值,421 sin f

10、0 sin ，所以 sin的终边在第一象限可得：sin1-,从而 的集合为 | 2k ,k Z26答案： | 2k ,k Z6例6：定义在 2013,2013上的函数f x满足：对于任意的a,b 2013,2013 ,有f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 60所以fab f a f b 2012,且x 0时，有f x 2012,设f x的最大值和最小值分另iJ为M ,N ,则M N的值为（A. 2011B.2012C.4022D.4024思路：由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明f x单调，令a又2X1,b x1（其中x1 x2）,则可证明f x为增函数，从而 M2013 ,N f

11、 2013 ,再利用函数方程求出f 2013f 2013的值即可解：x1,x22013,2013 ,且为x2,令 ax2 x1,b x1代入函数方程可得:f x2f x1f x2 x12012,Q x2x10 x2x.2012f x2在 2013,2013单调递增x maxf 2013 , N fx min2013f 2013 f2013f 201320132012f 020120,可得:2f 02012020124024答案:任意实数x,y2ff 2014A.B.C.D.由所求考虑判2f x f 1两式相加可得f x的周期为6,可得：f可得从而f x12 f x xf 1 f 2 f 3 L

12、 f 2013335 f 1 L f 6 f 2013 f 2013 ,且f 2014 f 4答案:8:已知f是定义在R上的函数，f 0 ,且对任意的x, y4都有2f思路：函数方程为2015“和一积”的特点，抓住f 0 ,可发现令42x 2f 2222f x -40,所以可得:自变量间隔一2,其函数值的和为0,所以将求和的式子两两一组，即:f7f 2013 42015答案：0的定义对 x, yf xy 1的解析式为思路：观察到右边的结构并非,f y的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1 ,则x 1时f y 1 f 1 f y f yf x 1 f x f 1 f 12，则求f

13、 1是关键，结合则 f 1 f2 0 f 00f 12,代入到可得:x 1 f x 1，消去f x 1解得：f答案:例10：x 1 2f x x已知函数f (x)是定义在R上不恒为0的函数,且对于任意的实数a,b满足f(2) 2,f (ab) af (b)bf (a) ， anf(2n),(nN ),bnf (2n)-,(n N ),考察下列结论: f(0) f (1)f(x)为奇函数数列an为等差数列数列bn为等比数列，其中正确的个数为()A. 1思路：考虑按照选项对函数方程中的x,y进行赋值。1 2f 1 f 10,所以 f(0)f(1),正确使等式中出现f x , f x ,令axf需要计算出1 ,结合方程可令x 1,y2f为奇函数，正确从等差数列定义考虑递推公式an2n 1f 2nan2n 1小，因为2n 1f 2n 22n2f 2n ,所以可得:f 2n 12n2n 1 2f 2nf