辽宁省沈阳市二十2021-2022学年高考数学四模试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，

2、第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ）A96里B72里C48里D24里2已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）ABCD3设全集集合，则（ ）ABCD4复数为纯虚数，则( )AiB2iC2iDi5运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）ABCD6如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）A该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C该年第一季度GDP

3、总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元7半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）ABCD8已知椭圆内有一条以点为中点的弦，则直线的方程为( )ABCD9设全集，集合，则( )ABCD10已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）ABCD11已知椭圆：的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，成等差数列，则的离心率为（ ）ABCD12阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A11B1C29D28二、填空题：本

4、题共4小题，每小题5分，共20分。13棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为_.14在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_15抛物线上到其焦点距离为5的点有_个16已知全集，集合则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，求证：18（12分）已知函数是减函数.（1）试确定a的值；（2）已知数列，求证：.19（12分）已知，函数.（）若在区间上单调递增，

5、求的值；（）若恒成立，求的最大值.（参考数据：）20（12分）已知，且的解集为.（1）求实数，的值；（2）若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14，求实数取值范围.21（12分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的固体废物污染环境防治法（修订草案）中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表分类意识强分类意识弱合计试点后试点前合计已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政

6、府宣传普及工作有关？说明你的理由；（2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望参考公式：，其中下面的临界值表仅供参考22（10分）已知.（） 若，求不等式的解集；（），求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此

7、人第一天走的路程为，则，解得，从而可得，故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.2C【解析】在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】直线是曲线的一条对称轴.，又.平移后曲线为.曲线的一个对称中心为.，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.3A【解析】先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.4B【解析

8、】复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出，即得.【详解】为纯虚数，解得. .故选：.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.5C【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，；第二次，；第三次，；第九十八次，；第九十九次，此时要输出的值为99.此时.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.6D【解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.故D项不正确.故选：D

9、.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.7B【解析】设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，在中，化为，当且仅当时取等号，此时.故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.8C【解析】设，则，相减得到，解得答案.【详解】设，设直线斜率为，则，相减得到：，的中点为，即，故，直线的方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查

10、学生的计算能力和应用能力.9A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.【详解】由解得，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.10D【解析】设双曲线的左焦点为，连接，设，则，和中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，设，则，根据对称性知四边形为矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11C【解析】根据等差数列的性质设出，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知，成等差

11、数列，设，.由于，据勾股定理有，即，化简得；由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，离心率.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.12C【解析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题.【详解】初始值， 第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，；第七次循环：，；第九次循环：，；第十次循环：，；所以输出.故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由棱长为

12、的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积，求出内切圆的半径【详解】由题意可知：多面体的外接球即正四面体的外接球作面交于，连接，如图则，且为外接球的直径，可得，设三角形 的外接圆的半径为，则，解得，设外接球的半径为，则可得，即，解得，设正三棱锥的高为，因为，所以，所以，而，所以正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，所以，设内切球的半径为，即解得：故答案为：.【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意借助几何体的直观图进行分析.143【解析】

13、设直线AB的方程为ykx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为ykx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx0，所以x0或xA的坐标（0，1），B的坐标为（，k1），即B（，），因此AB，同理可得：AC.RtABC的面积为SABAC令t，得S.t2，SABC.当且仅当，即t时，ABC的面积S有最大值为.解之得a3或a.a时，t2不符合题意，a3.故答案为：3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.152【

14、解析】设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.16【解析】根据补集的定义求解即可.【详解】解：故答案为【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）见解析.【解析】（1）当时，将所求不等式变形为，然后分、三段解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）先由不等式的解集求得实数，可得出，将代数式变形为，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可证得结论.【详解】（1）当时，不等式为，且

15、.当时，由得，解得，此时；当时，由得，该不等式不成立，此时；当时，由得，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）由，得，即或，不等式的解集为，故，解得， ，当且仅当，时取等号，【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18（）（）见证明【解析】（）求导得，由是减函数得，对任意的，都有恒成立，构造函数，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出；（）由是减函数，且可得，当时，则，即，两边同除以得，即，从而 ，两边取对数 ，然后再证明恒成立即可，构造函数，通过求导证明即可【详解】解：（）的定义域为，.由是减函数得

16、，对任意的，都有恒成立.设.，由知，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，在时取得最大值.又，对任意的，恒成立，即的最大值为.，解得.（）由是减函数，且可得，当时，即.两边同除以得，即.从而 ，所以 .下面证；记，. ，在上单调递增，在上单调递减，而，当时，恒成立，在上单调递减，即时，当时，.，当时，即.综上可得，.【点睛】本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题，19（）；（）3.【解析】（）先求导，得，已知导函数单调递增，又在区间上单调递增，故，令，求得，讨论得，而，故，进而得解；（）可通过必要性探路，当时，

17、由知，又由于，则，当，结合零点存在定理可判断必存在使得，得，化简得，再由二次函数性质即可求证；【详解】（）的定义域为.易知单调递增，由题意有.令，则.令得.所以当时，单调递增；当时，单调递减.所以，而又有，因此，所以.（）由知，又由于，则.下面证明符合条件.若.所以.易知单调递增，而，因此必存在使得，即.且当时，单调递减；当时，单调递增；则.综上，的最大值为3.【点睛】本题考查导数的计算，利用导数研究函数的增减性和最值，属于中档题20（1），；（2）【解析】（1）解绝对值不等式得，根据不等式的解集为列出方程组，解出即可；（2）求出的图像与直线及交点的坐标，通过分割法将四边形的面积分为两个三角形

18、，列出不等式，解不等式即可.【详解】（1）由得：，即，解得，.（2）的图像与直线及围成的四边形，.过点向引垂线，垂足为，则.化简得：，（舍）或.故的取值范围为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求法，以及绝对值不等式在几何中的应用，属于中档题.21（1）有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系见解析（2）分布列见解析，期望为1【解析】（1）由在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为可得列联表，然后计算后可得结论；（2）由已知的取值分别为，分别计算概率得分布列，由公式计算出期望【详解】解：（1）根据在抽取的户居民中随机抽取户，到分类意识强的概率为，可得分类意识强的有户，故可得列联表如下：分类意识强分类意识弱合计试点后试点前合计因为的观测值，所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系（2）现在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，则0，1，2，3，故，则的分布列为【点睛】本题考查独立性检验，考查随