合肥工业大学力学班有限元试题09A答案

1、合肥工业大学工程力学专业工程结构数值方法2009年试卷A2009年4月23日下午考试供8题，满分100分），考试时间：120分钟适用专业：工程力学06-1 （本科），出题人：牛忠荣题号题1题2题3题4题5题6题7题8总分分值8881510101625100得分08 （8分）线弹性力学静力学问题有限元法计算列式的理论推导是如何采 用弹性力学问题基本方程？答：弹性力学有限元的基本过程是：假设单元的位移场模式f = WK 代入到几何方程得到研=BH&代入到物理方程得到 = DB8e代入到虚功方程，得到单元刚度方程Fe=伙&叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程Fe=伙&引入位移边界条件后，解第5步得到的方

2、程组，可以得到结点位移09 （8分）单元的形函数N具有什么特征？答：1）其中的N在，结点处取值为1;在其他结点处取值为零N = 0 ;2） Z N. =1。09 （8分）为了保证有限元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；2）位移模式必须能反映单元的常量应变；3）位移模式尽可能反映单元之间位移的连续性。换了(8分)弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”概念是何意 思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连续吗？应力场连续吗？答：在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形状的变换和单元内的场函 数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换

3、。采用等参变换的单元称之为等 参元。所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的位移插值形函数相同，参数 个数相等。相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。09(15分)图示弹性力学平面问题，采用三角形常应变元，网格划分如图， 试求：对图中网格进行结点编号，并使其系统总刚度矩阵的带宽最小；计算在你的结点编号下的系统刚度矩阵的半带宽；指出已知约束的结点位移。答：(2)d=4 ,B=2(d+1)=10(3)u = u = v= v = 0 .07A (10分)回答下列问题：弹性力学空间轴对称问题3节点等参元，其单元自由度是多少？单元 刚阵元素是多少？弹性力学空间问题8节点等参元，其单元自由

4、度是多少？单元刚阵元 素是多少？弹性力学空间问题20节点等参元，其单元自由度是多少？单元刚阵 元素是多少？平面刚架结构梁单元(考虑轴向和横向变形)的自由度是多少？单元 刚阵元素是多少？空间轴对称问题3节点等参元，其单元自由度6个，单元刚度元素 是36个；空间问题8节点等参元，其单元自由度24个，单元刚度元素是576 个；空间问题20节点等参元，其单元自由度60个，单元刚度元素是3600个;平面刚架结构梁单元(考虑轴向和横向变形)的自由度6个，单元 刚度元素是36个。08 (10分)结构振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为(K-w 2M )0 = 0式中K 是刚度矩阵，M 是质量矩阵，w是结

5、构固有频率，0是振型向量。试问为什么从上式荥出的特征对 (i = 1,2,.,n )中，只有前若干低阶频率和相应振型是可靠的，误差较小。答：在有限单元法中，采用低阶多项式拟合振型。结构的低阶振型曲线与低阶多项式 比较通配，结构的高阶振型曲线与低阶多项式曲线有着显著的差异。因而，有限 元法中求出的低阶频率和振型是可信的，而所求出的高阶频率和振型误差较大， 甚至无效。09工程(16分)考虑一个两自由度振动系统，其振动的运动微分方程是20 u1 +3-r ?u1=;101 u12u0112112试求：系统的特征方程；振动系统的固有频率和相应振型。解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为203-M =，K =0

6、112振型方程(K -w 2 M )0 = 0特征方程3 2w 22 w 2=w 2 = 5.；2 ;代入振型方程1)2)-1.2得2 =；。08（25分）图示矩形薄板2mx1m，厚度h = 0.1m。载荷及约束信息如图示，泊松比r = 0, E = E0 N/m2 ；载荷P = 10N , q = 100N；m2;板的重量密度为y = 300N/m3，沿y轴负向。试采用三角形常应变元求：（1）建立适宜的有限元计算模型；（2）结构系统的等效结点力列阵；（3）采用划行划列法引入已知结点位移，计算出结点3和4的位移；（4）单元1和2的各应力分量。（建议单元编号：i j m单元1： 342单元2：

7、213 ）解：计算模型题9图单元1的等效结点力：体力 TOC o 1-5 h z 结点 342Fi = iyhA (0 -10-10 -Dr =5 (0 -10-10 EN 3单元2的等效结点力：体力+面力结点2131hlF2 =-yhA (0 -10-10 -l)r+y(0 0 0 -q 0 -qV= 5(0 -10-10 1 + (0 0 0-5 0 5)tN= (0 5 0 -10 0 0)tN结构整体等效结点力：体力+面力+集中力结点1234F = (0-100-10 0 -200 5)TN单元1：A =0.5,b.=y .y =0,b 1,b = 11Jmjmc =-x+ X=1,c

8、 = -1, c =0ijmjm单元2：A =0.5,b.=yy =0,b =1, b =-l jmjmC -X+ X=一1, c = 1, c =0单元1应力矩阵ijmJm结点342一 00-1010 _S】=E010-100900.50 -0.5 -0.500.5单元2应力矩阵结点2130010-10S2=E0-1010000.500.50.50-0.5单元1刚度矩阵:单元1：A = 0.5,b = y - y = 0, b = -1, i j mjC = X HF X =1, C 一ijmjb =1mL c =0mE hro.5 oE h 0.5 0.5E h0 0.5k =e-, k

9、0，k 6H 2o 1Jy 2 0-1im 2 L。0, E h1.50.51,E h一1-0.51k =-，k = 1jj 2_0.51.5 _jm 2 L 0-0.5_k = Eh I。mm 2 L。0.53420.50- 0.5 - 0.500.5 -010-100E h1.50.5-1- 0.540r20.51.50- 0.5010200.50-0.5-0.500.5 -210-1001.50.5-1-0.510.51.50-0.5010300.5 _2130.5 0 切=k 1=号叠加总刚阵：结点号：1K = k1 + k2 = 0 212r1.50-0.5-0.5301.50-11.5-0.540.51.5 _234已知结点位移：u1= u 2=V = V 2u10 v1-10u02v-10 2r vru03v- 2030u4-5vI A4解得结点位移：v =-560/ E30v = -440/E4I TOC o 1-5 h z E出:21.5-&-= S5-=&501