同化算法课程

1、同化1.基本概念1.1分析在气象学及地球物理的其他分支中确定某时刻的物理系统得真实状态的过程称为分析。 作为分析的基础的信息包括观测数据以及物理系统及其初边值条件，还可能有对分析的 约束条件。分析本身对描述物理系统是有用的，它也可以作为研究系统演化的初始状态。 例1：经典分析方法。在计算机的发明之前，气象学家是用手工做气象分析的。观测 是在大致同时（例如在船上报告12UTC（Coordinated Universal Time协调世界时）表面 压力）对温度，风及压力作记录。这些手工的分析比仅仅用观测数据作空间的插值得到 的更多，有些人把它用于早期数值天气预报。方法如下：把预报模型在格点处的首次

2、猜 测场插值到观测点，把观测值与插值的差插值回格点作为订正（随着格点与观测点的距 离的增大而减少）。这个方法的重要的一步就是在对观测值的插值时首次猜测场的引入。 虽然这个早期的工作引出了最优插值法，但它仍然是广泛使用的分析方法。例2：臭氧分析。臭氧是在空间用遥感测量的。一天得到的数据覆盖了大部分地球，如 果用分析的方法来把空缺部分的数据补充完整从而得到全球的臭氧图。但是数据是在 24小时的时间区间上得到的，而臭氧场在某些地方某些时刻可能有很大的变化，所以 我们在空间的插值效果可能很差。一个更好的分析方法是把臭氧的动态演化和观测的时 间考虑在内。这样就可以得到符合大气臭氧演变的全景图。例3.天气

3、预报：分析者的前期准备工作是：以初始条件为天气预报的基础，加上新得 到的观测值、把以前分析得到的预报值作为大气状态的背景场的估计值。在分析的准备 工作中，一个特别要做的工作通常是用附加的约束条件来衰减重力波。在地球物理系统的时间演化的预报中一个特别的挑战就是系统的非线性性及对初始条 件的敏感性。我们熟知，即使对于一个完美的预报模型，任何预报在有限时间后就会和 真实状态发生很大的偏离。这个例子就是Duffing方程：假设真实状态是X + 0.05X + X3 = 7.5cos t, x（0） = 3,x （0） 二 4而把分析误差解释为初始条件，分析的初始条件为x（0） = 3.01, X （0

4、） = 4.01，则在时间t = 35以后解就发生越来越大的偏离。1.2 同化如上讨论的，一个分析可以很简单，比如空间的插值。然而，更好的结果可以通过在分 析中考虑到物理系统的动态演化。一个结合了关于时间分布的观测值以及动态模型的分 析方法称为同化或数据同化。同化问题可以从多角度来讨论，取决于背景及喜好（比如控制论，估计理论，概率论， 变分分析等等）。在数值模式中的算法中最常用的是离散方法。然而，在此介绍中要说 明的是不同的同化算法是怎样从同一个常用来源得到的。并对每种算法给出其近似程度 （特别是最优插值，三维变分，四维变分，卡尔曼滤波）。其中最吸引人的方法是从变 分的观点讨论连续的同化问题。

5、先来看同化问题和熟悉的初值问题的不同之处。同化问题可以看成带有误差的初值问题。模式状态x的方程带有模式误差广，初始值带有背景误差广，观测值J带有观 mbno,n测误差8。_初m ，x(0) = x (0) + uVbb其中气是观测算子，1.3以概率方式的描述1.3.1概率密度函数上述同化问题含有未知的误差，+ M(X) = -_通过模式计算得出格点n处的观测值yn。y = H (x) + s, n = 1,.,N故显然其解是统计意义上的。因此需要了解有关误差的统计 特点。对于特定系统的观测误差和模式误差的特征的刻画是数据同化的另一个基础。最理想 的情况是得到误差的全概率密度函数P(m，匕,七,

6、t)，但实际上我们对？了解甚少，至多知 道其期望值及协方差。在大部分情况下，我们假定模式误差、背景误差和观测误差是互不相关的。这时，全概 率密度函数是各密度函数(模式误差概率密度函数Pm，背景误差概率密度函数p，观测误差概率密度函数P)的乘积：P = P PP = exp(lnP + lnP + lnP )。om b ombo看起来最佳的分析解对应于P的最大值。但实际上不总是这样的。例：考虑一个一维的概率P，设在观测值为y时发生x的条件概率为P(xly)，对于一个高 斯分布，x的最大似然点和x的均值点是重合的，故选取密度函数的最大值是最佳的。但对 于一个非高斯分布，x的最大似然点是不同于x的均

7、值点。这时x的最大似然点并不是一个 最好的解。因此我们必须要研究实际的密度函数以保证最大似然解的确是我们要的分析解。1.3.2 代价函数概率的最大化常常表示为概率密度的负指数的最小化：(称之为代价函数J)min J = min (- lnP lnP lnP) = min(J + J + J )m b 0m b o例：假设忽略模式误差，且P =1exp(-WB-区 /2)，P =1exp(-WR-g /2)，b2兀 | B| b b o：2兀 | R|o o其中B是背景误差协方差阵，R是观测误差协方差阵，则忽略不影响结果的常数后代价函 数为J = &B-区 +U，R-区)/2=(X(0)-X (

8、0)而-1(眼(0)-x (0) + (y-H保)R-1(y-H(X)/2bb当观测算子是线性算子时，代价函数是X的二次函数，这时有惟一的最小解。而且最小解的 计算是高效的。但在实际问题中，模式和观测算子都是非线性的。得到的只能保证是局部 最小解，不一定是全局最小解。不过，对于高斯误差，有很有效的算法，它对代价函数作局 部的线性化叠代而得到最优解。在气象学中，高斯分布通常是一个很好的近似分布。2.变分数据同化2.1误差协方差阵与偏差2.1.1协方差阵模式误差协方差阵Q=Q(W t, , t)描述在两个不同相时点的协方差，阶数同方程中未知量 的个数。背景误差协方差阵B=B(g,；)描述在两个不同

9、相点的协方差观测误差协方差阵R分析误差协方差阵A=A0顼)，2.1.2偏差偏差是同化中的一大困难，在协方差阵中可能会有非零的偏差，而实际上却很难确定它。比 如不能确定偏差是由观测还是模型预报来的。在同化算法中怎样加入偏差以及如何估计偏差 都是具有挑战性的工作。一旦知道的偏差，我们可以通过减去这个偏差而得到一个无偏的量，这称为无偏化。2.2变分同化问题的描述对于误差是高斯分布的情况，最大似然解就是最佳的解，这时代价函数是二次型：J(x) = 2芝(；,t)Q-nT (矿tXgdgdtdt+ 2 Jg； (g)B-i% 育)d；d己 + 2广(如)R- 育,t)dgdM，dtdt 其中关于时间的积

10、分是在同化窗口0,T 上进行的，E (C,t)=W (C,t)(y H (X)， onn n甲(C,t)是一局部化函数：m (?,t)d?dt = 1 nn设X是J(x)的最小解，令X(C,t) = X (C,t) +而(如)，则对于任意数Y及任意函数 aan&t)，g(Y)：=J(X(如)-J(Xa(如)0,故譬 =0,即Y=0J dgdt*|听Q-18texJ-i(X (耿0) - x 含,0)d 洒ab-J 竺 1 R-i (y - H(X )dgdgdtdt=0版Jadg(Y)dty=。JiT (；0) B竺 厂所(+M(X &,t，) d?dtJ记兀(?,t) ：=J Q-1成(顼/、版(x (?,t ,)dgdt J分部积分得Jn (& 具)兀(& 具)dgdgdl TOC o 1-5 h z +椅_竺2*血兀(8