化工数学：大数定律与中心极限定理

1、正态分布N(, 2)4.4 大数定律与中心极限定理 大数定律与中心极限定理是概率论的重要理论问题，它们从理论上解决了概率引入中“频率的稳定性”以及一类随机变量和的分布问题。这两类结果揭示了随机现象的统计规律性，为概率论与数理统计的有效结合打下了坚实的基础。一 大数定律1.依概率收敛设Xn为随机变量序列，X为随机变量，若任给0, 使得则称Xn依概率收敛于X. 可记为如意思是:当a而意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当 依概率收敛的直观意义是，当n充分大后，随机变量Xn几乎总是取值为X，或者与X值非常接近。 说明，大量随机现象的平均结果与个别的观测特征及其结果无关，具有相当的稳定性。这种大量

2、随机变量平均结果的稳定性及其成立条件的系列定理，称为大数定律。2.切比雪夫大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则即若任给0, 使得证明:由切比雪夫不等式这里故 切比雪夫大数定律说明n个随机变量X1，X2,Xn的算术平均 依概率收敛于其数学期望的算术平均。这表明，只要n充分大，尽管n个随机变量可以自有其分布，但其算术平均却不再为个别的随机变量Xi所左右，而是较密集地取值于其数学期望的算术平均附近。3.伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验

3、事件A不发生则由切比雪夫大数定理 伯努利大数定律说明：只要n充分大，事件A发生的频率fn(A)就会以相当接近于1的概率逼近概率p。这正是在重复试验的次数较大时，可用事件发生的频率近似代替概率的理论依据，此定理是频率稳定性的严格的数学描述。 伯努利大数定律还说明：如果事件A的频率很小，则事件A发生的概率也很小，在实际中，概率很小的随机事件在个别试验中，几乎是不可能发生的。 这一原理称为小概率原理。它在经济管理中有广泛的运用。3. 辛钦大数定律 若Xk,k=1.2,.为独立同分布随机变量序列, EXk= , k=1, 2, 则推论:若Xi,i=1.2,.为独立同分布随机变量序列, E(X1k)=

4、, 则 辛钦大数定律的特点是只要求每个随机变量的数学期望存在，而不管方差是否存在，但却要求诸Xi同分布，这是与切比雪夫大数定律不同之处。二. 中心极限定理 在经济现象和生产实践中，有时需要研究若干随机变量的和及其分布的问题，如：一座城市耗电总量的确定，随机服务系统中人员、设施的配备等。中心极限定理就是关于满足一定条件的随机变量的和以正态分布为其极限分布的一系列定理，它为解决上述问题提供了理论依据。 1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设Xn为独立同分布随机变量序列，若E(Xk)=，D(Xk)= 2 ，k=1, 2, , 则Xn满足中心极限定理。根据上述定理，当n充分大时

5、1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)因而 近似服从正态分布 ，即近似地有即它表明只要n比较大，无论设X1，X2，Xn原来服从什么分布，随机变量 都近似服从标准正态分布，即近似地有例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解:设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则X1,X100独立同分布.由中心极限定理例2.设由机器包装的每包大米的重量是一个随机变量，其数学期望是10千克，方差为0.2千克2.求100袋这种大米的总重量在990-1010千克之间的概率。解:设Xi为第i袋大米的重量（i=1,2,100）,由题设根据中心极限定理，近似地有故所

6、求的概率为：设随机变量n(n=1, 2, .)服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由中心极限定理,结论得证 例3 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中n= 10000，p=0.6%，

7、设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X于是由中心极限定理 (1)PY0=P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000=PX60000/a0.9;（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于 例4 某市保险公司开办一年人身保险业务，被保险人须交付保险费16元。若一年内发生重大人身事故，其本人或家属可获得2000元赔金。已知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为0.005，现有5000人参加此项保险，问公司一年内从此项业务所得到的总收益在2万元至4万元之间的概率有多大？ 解：设一年内被保险人发生人身事故的数目为Yn， 则Yn B(5000,

8、0.005），由题设， 公司总收益为2-4万元相当于“20 Yn 30” 根据德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为： 例5 银行为支付某日到期的债券须准备现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期日到银行领取本息的概率为0.4，问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换？ 解：设银行应准备的现金为1000 x，再设到期日到银行领取本息的客户数为Yn，则Yn B(500,0.4），为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，即要求x，使得 根据德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，所求概率： 所以银行只须准备234,000元就能以99.9%的把握满足客户的兑换。 1、中心极限定理最大的价值在于确立了正态分布在各种分布中的首要地位。即无论设X1，X2，Xn，服从什么分布，在一定条件下， 都以正态分布为极限。小结 2、在生产实际中，这种现象十分常见，例如城市耗电总量问题，城市耗电总量即是各耗电单位（包括工厂、家庭等）耗电的总和，而各耗电单位在某一时刻的耗电量是随机的，最终这就是一