_平面向量_考点分析与复习建议_701

1、“平面向量”考点分析与复习建议南京理工大学附中 徐永忠 平面向量及其运算是高中教材的新增内容，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机。由于向量融数、形于一体，“具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介”。因而，向量的引入大大拓宽了解题的思路和方法，“使它在研究其它问题时得到了广泛的应用”。一考试说明要求1考试内容 向量。向量的加法与减法。实数与向量的积。平面向量的坐标表示。线段的定比分点。平面向量的数量积。平面两点间的距离。平移。 2考试要求（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。（2）掌握

2、向量的加法与减法。（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。（6）掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。二考点分析 以下围绕高考的热点，以近四年全国新课程高考试题及上海试题为例，分类进行分析。三、复习建议 平面向量是新编教材中的新增内容之一，是解决实际问题的重要工具。在20002003年新课程高考试题中，一般都是一道选择题，一道解答题，考查

3、的层次都是控制在基本要求层面上。选择题主要考查向量及其运算的基本概念、公式，属于基本题；在解答题中，往往是将某些基本概念、公式作为中间步骤来考查，难度中等偏上。基于此，高三复习中应注意以下几个问题。1以本为本，重视教材的示范作用 数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对高三复习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，复习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。在第一轮复习中我们要不遗漏一个知识点

4、，薄弱学校可以回到教材进行课本例题、习题的变式教学，将第一轮复习进一步落到实处，提高复习效益。2注重数学思想方法的教学 （1） 数形结合的思想方法。 由于平面向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以向量知识处处都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要帮助学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。 （1） 化归转化的思想方法。 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。（2） 分类讨论的思想方法

5、。 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 3突出向量与其它数学知识的交汇 “重视综合能力的考查、在知识网络的交汇处设计试题”是近年来高考命题的重大改革趋势，而向量本身具有的特点决定了它必然成为“在知识网络的交汇处设计试题” 的良好载体，同时最新颁布的普通高中数学课程标准（实验稿）的教学建议中也特别强调“教学中要注意向量与三角函数、向量与几何、向量与代数的联系”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此

6、类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，如2000年新课程卷的第（22）题中将全国卷中用定比分点叙述的问题，改用向量语言叙述；2002年新课程卷第（21）题将向量与解析几何、不等式、函数等有机结合，2003年新课程卷（20）题将向量与解析几何交汇，以此达到知识应用的融合贯通。这从中启示我们在高考复习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，不宜在平面向量自身知识“深挖洞”。我们可以预测近两年高考题中向量工具性考查不会也不应该削弱。 数学新课程的高考引入了微积分、概率、导数、向量等新内容，这些新内容都是现代数学的基础，它们的引入使相应的数学方法、数学

7、语言和数学工具更加丰富，应用形式更加强大，而且全新的思维方法可以更有效地解决数学问题。为了积极地支持课程改革，促进新增内容的教学，检查学生对新内容的掌握程度，新增内容在新课程高考中都有涉及，其分数比例超过课时中的比例。2003年新课程高考理科卷以及江苏卷中涉及新增内容的试题都有62分之多，超过40%。 另外，近两年新课程改革增加的新内容的考查形式和要求已经发生了变化，导数、向量已经从前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析问题和解决问题时必不可少的工具，如2002年新课程卷理科（21）题，2003年江苏卷（20）、（21）题等。这一命题特点和思路值得广大数学教育工作者关注，它启示我们在教学中

8、既要注意新旧知识的有机结合，又要注意挖掘新增内容的应用价值。 这个定理是高一新教材上册第117页中向量数量积的性质5，学生在考试中出现这样的错误让我吃惊，同时也令我反思。1造成以上错误的原因不能仅仅归咎于学生粗心大意，深层次原因是学生没有把注意指向向量数量积这一概念本质特征诸方面的关系，并把这种关系当成关键特征来认识。这也启发我们在概念的教学过程中，要依照概念形成方式进行教学，扎扎实实地完成概念形成的每一个步骤，如果没有经历概念形成的全过程，学生往往很难全面正确地理解概念，很容易造成对概念的片面、孤立甚至错误的理解。因此教学中要通过概念形成过程的展示，帮助学生主动获取信息，并通过学生活动将概念

9、内化到自身知识结构中去。 2从心理学的角度分析，本题错误解法是由思维定式负效应造成的。学生在解题时，首先对问题进行模式辨认，当解决类似新问题时，学生心理上具有试图将新问题纳入到已建立的模式中加以解决的倾向。而造成这种负效应的根本原因在于教师忽视基本概念和基本思想的传授，过分强调“框题型，对套路”，企图通过反复训练强化知识的获得，结果反而使学生陷入思路呆板、单一的状态，失去了培养学生良好思维品质的契机。向量与实数之间，有联系，更有区别，教学中要帮助学生对两个概念及其性质进行对比，自主总结它们之间的区别和联系，帮助学生以已有知识为固着点，建立起正确的认知结构。 3概念的反例提供了最有利于辨别的信息

10、，对概念认识的深化具有非常重要的作用。反例的适当运用不但可以使学生对概念的理解更加准确，而且还可以排除无关特征的干扰，抓住概念的本质属性，这对于培养学生的创新意识和能力大有裨益。以上所举反例使我们很容易辨别“向量的模”与“实数的绝对值”这两个概念间的差异。 本题证法很多，从以下几种证明方法我们可以感受到向量的独特魅力。 （2）一点感悟 本题并非难题，特别是第一问不偏不怪，在正常情况下，考生完全有能力解决，但实际得分却很低，究其原因仍是应试教育在作祟。教师在教学中忽视基本概念和基本思想方法的传授，过分强调“框题型，对套路”，企图通过反复训练强化知识的获得，而学生在解题时只会对问题进行模式辨认，心

11、理上总是具有企图将新问题纳入到已建立的模式中加以解决的倾向。这样的教学过程使学生陷入思路呆板、单一的状态，考生一看到陌生试题就不知所措。经高考后笔者调查，70%以上的考生并不缺导数、二项式定理等基本知识，缺乏的只是必备的素质，面对新题型、新问题考生心理上已经惧之三分，解决问题从何谈起，这样的教学现状发人深省。 从以上分析我们可以得到以下的结论：新高考是新课程改革的推进器，为进一步促进新课程理念的落实，在新高考中引进了许多新思想、新观念，所以高考试题“源于大纲、高于大纲”是新课程高考命题的必然趋势，这启发我们在日常复习中要渗透能力的培养，如归纳、类比、猜想等创新能力，今年的高考试题中就出现了许多这样的试题，如上海试题中的数列归纳猜想题，新课程广东试题中的立体几何类比题等。 总之，在高三复习中，教师要引导学生系统地、全面地掌握