数模选修课传染病与微分方程稳定性

1、数模选修课传染病与微分方程稳定性模型目标问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机 理分析方法建立模型模型假设基本假设：传染病是由病人通过“接触”健康人进行传播的.疾病流行区域内的人分为三类：S类(易感人群)；I类(病人)；R类(移出者)。为简单起见，假设本地区总人口不变，为N。 S I R1、SI模型（只考虑S和I两类人） (1) 人群个体之间没有差异。病人与易感者在人群中混合均匀，记s(t)为t时刻健康人占总人口的比例，i(t)为t时刻病人的比例，则s(t)+ i(t)=1。(2)人群数量足够大，s(t

2、)和i(t)可以视为连续且可微的。(3) 每个I类人每天“有效接触”的人数为常数 。(4)不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。构造模型 令t 0，得到微分方程： 这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的发展规律，并预测传染高峰的时间。SI模型图形分析 i di/dt tm t 0 1/2 i1 (dI/dt)m1/2i 0病人比例随时间的变化规律 病人数增长速率与病人数的关系 增派防疫、医疗人员采取放假、隔离等措施普及防疫措施、知识调整临床医疗策略SI模型结果分析 这个模型的缺陷是显而易见的. 比如t +时，i(t) 1，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系

3、统中只有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。 1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条)（5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为。2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈经历的时间。 根据假设5，Logistic模型被修改为： 构造模型定义一个常数=，根据和1/的定义，就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这在模型里被称为接触数。将代入方程中，得到 求解这个方程，得到解为模型求解1时，t +则 i(t) 1-1/。 画出

4、解的图象为 ：1，t +时 i(t) 0. = 1-1/iti0i0模型结果分析ii00 t 0。根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)/2，把这个结论代入方程组。 模型分析dr/dt=i /2 这会导致r(t)+，这跟上面r(t)的极限也存在的结论有矛盾。所以只能有： i = 0 。也就是说传染病最终将消失。 其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为： 模型分析i10 1/ s =i10 1/ ss0 1/时，i(t) 先升后降至0传染病蔓延s0 0 且 q 0 时平衡点 P0 稳定；p 0 或 q 0 且 q 0 时 P0 稳定.p 0 或 q 1 (11 (21)不稳定11， 20而且q0P1(N1,0), P2(0,N2), P3(0,0), 当稳定性定理无法给出全部稳定性条件时，我们需要结合使用几何方法。1、 11x2x1 = 0 = 0 (0,N2) (N1,0)S1S2S3几何分析表明，此时P1(N1,0), 稳定。 2、 11，21x2x1 = 0 = 0 (0,N2) (N1,0)S1S2S3