全国名校高考专题训练09立体几何三、解答题

1、全国名校高考专题训练09立体几何三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)（本小题满分12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB=60的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点. （1）求二面角O1BCD的大小； （2）求点E到平面O1BC的距离. 解法一:（1）过O作OFBC于F，连接O1F，OO1面AC，BCO1F，O1FO是二面角O1BCD的平面角，3分OB=2，OBF=60，OF=.在RtO1OF在，tanO1FO=O1FO=60 即二面角O1BCD为606分（2）在O1AC中，OE

2、是O1AC的中位线，OEO1COEO1BC，BC面O1OF，面O1BC面O1OF，交线O1F.过O作OHO1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，10分OH=点E到面O1BC的距离等于12分解法二：（1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，2分建立如图所示的空间直角坐标系（如图）底面ABCD是边长为4，DAB=60的菱形，OA=2，OB=2，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），O1（0，0，3）3分设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则，则z=2，则x=，y=3，=（，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）5分cos=，设O1BCD的平面角为，

3、 cos=60.故二面角O1BCD为60. 6分（2）设点E到平面O1BC的距离为d， E是O1A的中点，=（，0，），9分则d=点E到面O1BC的距离等于。12分SABC2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)如图在三棱锥S中，。（1）证明。（2）求侧面与底面所成二面角的大小。（3）求异面直线SC与AB所成角的大小。解：（1）SAB=SCA=900 （2）（3）3、(江苏省启东中学高三综合测试二)在RtABC中，ACB=30，B=90，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，二面角A-BD-C大小记为. （）求证：面AEF面BCD； （）为何值时，AB

4、CD. 解：（）证明：在RtABC中，C=30，D为AC的中点，则ABD是等边三角形又E是BD的中点，BDAE，BDEF，折起后，AEEF=E，BD面AEFBD面BCD，面AEF面BCD（）解：过A作AP面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，则ABD是边长为1的等边三角形，若ABCD，则BQCD由于AEF=就是二面角A-BD-C的平面角，ABCGEA1C1B14、(江苏省启东中学高三综合测试三)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC

5、1上一点，且BE=BC1。(1)求证：GE侧面AA1B1B；(2)求平面B1GE与底面民ABC所成锐二面角的大小。答案：（1）略；（2）arctan (arccos)5、(江苏省启东中学高三综合测试四)如图， 正方形ABCD和ABEF的边长均为1，且它们所在的平面互相垂直，G为BC的中点（）求点G到平面ADE的距离；（）求二面角的正切值解：（）BCAD， AD面ADE,点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离连BF交AE于H，则BFAE，又BFADBH即点B到平面ADE的距离 在RtABE中，点G到平面ADE的距离为 （）过点B作BNDG于点N，连EN，由三垂线定理知ENDN 为二面角的

6、平面角 在RtBNG中，则RtEBN中，所以二面角的正切值为6、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)如图，已知面，；(1)在面上找一点，使面。(2)求由面与面所成角的二面角的正切解：（1）M为PC的中点，设PD中点为N，则MN=CD，且MN/CD，MN=AB，MN/ABABMN为平行四边形，/，又，又，面，面，（2）延长交于，CD。/CD，又，面，为二面角的平面角；，；tan7、已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离；（III）求二面角的大小。解：（I）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又所以平面；4分（II）因为，所以四边形为菱形

7、，故，又为中点，知。取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面，在中，故，即到平面的距离为。（III）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，所以，在中，故二面角的大小为。12分解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；4分（II）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。8分（III）再设平面的法向量为，所以，设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的大小为。8、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=a,且CAB=90,三棱锥P-ABC中，P平面B

8、B1C1C,且PB=PC= eq f( eq r(3),2) a （1）求直线PA 与平面ABC所成角的正切值（2）求证：PB/平面AB1C（3）求二面角A-PB-C的大小解：（1）取的中点，连， ，面面，面，是直线与面所成的角， 在中，中，（2）由（1）知，又，面，面，面 (3)由（1）知AM面CPB,由三垂线定理可知AHPB,在面PBC中过M作MHPB, 垂足为H,连接AH,则AHM为二面角A-PB-C的平面角10分在RtAHM中，tanAHM=,AHM=9、(四川省成都市一诊)如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分

9、别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.求异面直线AF与BG所成的角的大小；求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.解：由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系 A-xyz由平面几何知识知：AD4,D(0,4,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(1,0,1),G(1,1,1)2分(1) EQ o(AF,sup5()(1,0,1), EQ o(BG,sup5()(1,1,1) EQ o(AF,sup5() EQ o(BG,sup5()0AF与BG所成角为 EQ f(

10、,2) 4分(2)可证明AD平面APB平面APB的法向量为n(0,1,0)设平面CPD的法向量为m(1，y，z)由 EQ blc(aal(y1,z2)故m(1,1,2)cos EQ f(mn,|m|n|)f(r(6),6)平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos EQ f(r(6),6)10、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，CABOPDEABBCPBPC2CD2，侧面PBC底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E. (1)求证：PABD； (2)求二面角PDCB的大小； (3)求证：平面PAD平面PA

11、B.本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角，空间想想能力，以及综合解题能力方法一：(1)证明： 又平面平面ABCD 平面平面ABCDBC，平面ABCD2分 在梯形ABCD中，可得 ，即 在平面ABCD内的射影为AO，4分(2)解：，且平面平面ABCD DC平面PBC 平面PBC， PCB为二面角PDCB的平面角6分 PBC是等边三角形，PCB60，即二面角PDCB的大小为608分 (3)证明：取PB的中点N，连结CN PCBC，CNPB ，且平面平面ABCD 平面PBC10分 平面PAB 平面平面PAB 由、知CN平面PAB 连结DM、MN，则由MNABCD MN EQ f(1,

12、2)ABCD，得四边形MNCD为平行四边形CNDM DM平面PABDM平面PAD 平面PAD平面PAB 12分方法二：取BC的中点O，因为PBC是等边三角形， 由侧面PBC底面ABCD 得PO底面ABCD 1分以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz2分(1)证明：CD1，则在直角梯形中， 在等边三角形PBC中， ，即4分 (2)解：取PC中点N，则 平面PDC，显然，且平面ABCD 所夹角等于所求二面角的平面角6分 二面角的大小为8分(3)证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为 又10分 即平面PAB，平面平面PAB.

13、11、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45.(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)求二面角A-BD-C的大小；(3)求点C到平面ABD的距离.解：（）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为 在中，解得 此正三棱柱的侧棱长为 5分 注：也可用向量法求侧棱长（）解法1：过作于，连，侧面为二面角的平面角 在中，又， 又在中， 故二面角的大小为 10分解法2：（向量法，见后）（）解法1：由（）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平

14、面 在中， 为中点，点到平面的距离为 14分解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为过点作于，则的长为点到平面的距离解法3：（思路）等体积变换:由可求解法4：（向量法，见后）题（）、（）的向量解法：（）解法2：如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 又平面的一个法向量 结合图形可知，二面角的大小为 10分（）解法4：由（）解法2，点到平面的距离12、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. （）求证：平面；DA1D1C1B1E1BACPO（）当时，求直线与平面所成角的大小； () 当取何值时，在平面内的射影

15、恰好为的重心? 解法一：（）过P作MNB1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D1C1的中点，连MB、NC，则四边形BCNM是平行四边形 2分DA1D1C1B1E1BACPOMNFE、M分别为AB、A1B1中点，A1EMB 又MB平面PBC，A1E平面PBC。 4分（） 过A作AFMB，垂足为F，连PF，BC平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，AFBC， BCMB=B，AF平面PBC，APF就是直线AP与平面PBC所成的角， 7分设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，sinAPF=。所以，直线AP与平面PBC所成的角是。 9分（）连OP、OB、OC，则OP

16、BC，由三垂线定理易得OBPC，OCPB，所以O在平面PBC中的射影是PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是PBC的重心，则PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以。反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心 13分zxyDA1D1C1B1E1BACPO解法二：以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、 2分()由上得、，设得解得， ， 平面 4分_（）当时，由、得、设平面的法向量为，则由，得，7分，直线与平面所成角的大小为. 9分() 由()知的重心为，则，若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得

17、当时，在平面内的射影恰好为的重心. 13、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=120，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一动点(可ABCDA1B1C1D1以与A1或B1重合），过D1和C1C的平面与AB交于D.（）证明BC平面AB1C1；（）若D1为A1B1的中点，求三棱锥B1-C1AD1的体积；（）求二面角D1-AC1-C的取值范围.方法1：ABCDA1B1C1D1（）证明：依条件有CBC1B1， 又C1B1平面A B1C1，CB平面A B1C1， 所以CB平面A B1C1.3分（）解： 因为D为AB的中点， 依条件可知C1DA1B1.所以=C

18、1D1(A1AD1B1)= (1)=.7分（）解：因为D1是A1B1上一动点， 所以当D1与A1重合时，二面角D1-AB(D)CA1B1(D1)C1EFAC1-C的大小为； 9分当D1与B1重合时，如图，分别延长A1C1和AC1，过B1作B1EA1C1延长于E，依条件可知平面A1B1C1平面ACC1A1，所以B1E平面ACC1A1. 过点E作EFA1C1，垂直为F. 连结FB1， 所以FB1A1C1. 所以B1FE是所求二面角的平面角. 11分 容易求出B1E=，FE=. 所以tanB1FE=.所以B1FE= arctan. （或arccos）所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arctan

19、，（或arccos，）.13分AB(D)CA1B1(D1)C1xyz方法2：（），（）略（）解：如图建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B1(-，1)，C1(0，0，1). 因为D1是A1B1上一动点， 所以当D1与A1重合时，二面角D1-AC1-C的大小为；9分当D1与B1重合时， 显然向量n1=(0，1，0)是平面ACC1A1的一个法向量. 因为=(1，0，-1)， =(-，1)，设平面C1AB1的法向量是n2=(x，y，z)，由n2=0，n2=0，解得平面C1AB1的一个法向量n2=(1，1).因为n1n2=，| n1|=1，| n2|=，设二面角B1-AC1-C的大小为，所以co

20、s=.即=arccos.所以二面角D1-AC1-C的取值范围是arccos，（或arctan，）.14、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90，AB=BC=AA1=2，D是AB的中点. （I）求AC1与平面B1BCC1所成角的正切值； （II）求证：AC1平面B1DC； （III）已知E是A1B1的中点，点P为一动点，记PB1=x. 点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照EA1A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥PBCC1的体积表达式V（x）.解：（I）直三棱柱ABCA1B1C1，B1B面ABC，B1BAB. 又ABBC，AB面BCC1B1.2

21、分连结BC1，则AC1B为AC1与平面B1BCC1所成角.3分依题设知，BC1=2，在RtABC1中，5分 （II）如图，连结DF，在ABC1中，D、F分别为AB、BC1，的中点，DFAC1，又DF平面B1DC，AC1平面B1DC，AC1平面B1DC.10分 （III）PB1=x，当点P从E点出发到A1点，即时，由（1）同理可证PB1面BB1C1C，当点P从A1点运动到A点，即时，.三棱锥PBCC1的体积表达式15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30角. （I）求证：平面B1AC平面ABB1A1

22、； （II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值； （III）求二面角BB1CA的大小.解法一： （I）证明：由直三棱柱性质，B1B平面ABC，B1BAC，又BAAC，B1BBA=B，AC平面 ABB1A1，又AC平面B1AC，平面B1AC平面ABB1A1.4分 （II）解：过A1做A1MB1A1，垂足为M，连结CM，平面B1AC平面ABB1A，且平面B1AC平面ABB1A1=B1A，A1M平面B1AC.A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，直线B1C与平面ABC成30角，B1CB=30.设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为9分 （I

23、II）解：过A做ANBC，垂足为N，过N做NOB1C，垂足为O，连结AO，由ANBC，可得AN平面BCC1B1，由三垂线定理，可知AOB1C，AON为二面角BB1CA的平面角，二面角BB1CA的大小为14分解法二： （I）证明：同解法一. 4分 （II）解：建立如图的空间直角坐标系Axyz，直线B1C与平面ABC成30角，B1CB=30.设AB=B1B=1，直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为9分 （III）解：设为平面BCC1B1的一个法向量，二面角BB1CA的大小为16、(北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是边长为2的

24、正方形，PAB为等边三角形. （1）求PC与平面ABCD所成角的大小； （2）求二面角BACP的大小； （3）求点A到平面PCD的距离.解法二： （1）解：同解法一5分 （2）解：建立如图的空间直角坐标系Oxyz，则A（1，0，0），B（1，0，0），则P（0，0，），C（1，2，0）设为平面PAC的一个法向量，则又令z=1，得得又是平面ABC的一个法向量，设二面角BACP的大小为，则10分 （3）解：设为平面PCD的一个法向量.则 由D（1，2，0），可知），可得a=0，令，则c=2.得，设点A到平面PCD的距离为d，则点A到平面PCD的距离为17、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一

25、)已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）. () 试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；() 求二面角B-AC-D的大小； 图（1）() 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.解：() AB平面DEF. 在ABC中， E、F分别是AC、BC上的点，且满足， ABEF. 图（2） AB平面DEF，EF平面DEF， AB平面DEF. 3分 ()过D点作DGAC于G，连结BG， ADCD, BDCD, ADB是二面角A-CD-B的平面角. ADB=, 即

26、BDAD. BD平面ADC. BDAC. AC平面BGD. BGAC . BGD是二面角B-AC-D的平面角. 5分在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a, .在RtBDG中，. .即二面角B-AC-D的大小为. 8分 () ABEF, DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角. 9分 ， .又DC=, ， 11分 . . 解得 k EQ f(1,2).18、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)如图，四棱锥中，底面， 底面为梯形，.，点在棱上，且（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小证明：（）PA底面ABCD，又ABBC，平面 2分又平面，平面平面 4分（）PA

27、底面ABCD，AC为PC在平面ABCD内的射影又PCAD，ACAD在梯形中，由ABBC，AB=BC，得，又ACAD，故为等腰直角三角形连接，交于点，则 7分在中，又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC 9分（）在等腰直角中，取中点，连结，则平面平面，且平面平面=，在平面内，过作直线于，连结，由于是在平面内的射影，故就是二面角ACEP的平面角 12分在中，设，则，由，可知：，代入解得：在中， 13分即二面角ACEP的大小为 14分解法二：（）以为原点，所在直线分别为轴、 轴，如图建立空间直角坐标系设，则，.5分设，则，解得：连结，交于点，则.7分在中，又PD平面EAC，EM平面EAC，

28、PD平面EAC 9分（）设为平面的一个法向量，则，解得：， 11分设为平面的一个法向量，则，又，解得：， 12分 13分二面角ACEP的大小为19、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，在正四棱锥中，,点在棱上 ()问点在何处时，并加以证明；()当时,求点到平面的距离；()求二面角的大小.解法一: ()当E为PC中点时，2分连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，O为AC的中点，又E为中点，OE为ACP的中位线，又，5分() 点到平面的距离等于点到平面在正DPC和正BPC中，由于E为PC中点，PCDE，PCBE ，又，PE即为所求，点到平面的距离为9分()连接PO，则，又BOAC，

29、过点作，垂足为，连接.由三垂线定理得.为二面角的平面角. 12分在中，.又， 故二面角的正弦值为.故. 14分解法二: ()作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.则, , ， ， ，设面的法向量为 , 7分点到平面的距离为. 9分 ()设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, .12分. 20、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，平面平面. （）求证：； （）求二面角的大小；（）求异面直线和所成角的大小. 解法一：（）证明： 平面平面，平面平面，且， . . 2分平面 ， .又 . . 4分（）解：作于点，于点，连结. 平面平面， ， 根据三垂线

30、定理得 ，是二面角的平面角. . 6分设， .， ， . 8分即二面角的大小是. . 9分（）解：在底面内分别过作的平行线，交于点，连结.则是异面直线和所成的角或其补角. . 11分， ，.易知底面为矩形，从而，在中， . 13分 异面直线和所成角的大小为. . 14分解法二：作于点， 平面平面，平面.过点作的平行线，交于点.如图，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 . . 2分. .，. 4分（）证明： . 又 . . 7分（）解：作于点，连结.平面， 根据三垂线定理得 ，是二面角的平面角. . 8分在中， ， 从而， . 10分即二面角的大小是. . 11分（）解：， 异面

31、直线和所成角的大小为.21、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=，AB=1，E是DD1的中点。（）求直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小；（）求证：B1DAE；（）求二面角CAED的大小。22、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB(1)求证：AB平面PCB；(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，CD平面PAB，AB平面PAB，

32、CD AB。又，AB 平面PCB（2）过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF、FC，则为异面直线PA与BC所成的角。由（1）可得AB BC，CF AF，有三垂线定理，得PF AF，则AF=CF=，PF=。在Rt中，异面直线PA与BC所成的角为 8分（3）取AP的中点E，连结CE、DEPC=AC=2，CEPA，CE=CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA，为二面角C-PA-B的平面角由（1）AB 平面PCB ，又AB=BC，可得BC= 在Rt中，PB=，CD=在Rt中，二面角C-PA-B大小的余弦值为 .13分解法二：（1）同解法一 4分（2）由（1）AB 平面PCB ，PC=AC

33、=2，又AB=BC， 可求得BC= 以B为原点，如图建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（0，0，0）， C（，0，0）P（，0，2）=（，-，2），=（，0，0）则=+0+0=2异面直线AP与BC所成的角为8分（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）=（0，-，0），=（，-，0）则，即，得m=（，0，-1）设平面PAC的法向量为n=（x，y，z）=（0，0，-2），=（，-，0），则，即得n=（1，1，0）Cos=二面角C-PA-B大小的余弦值为 EQ f(r(3),3)23、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是 EQ r(3)，D是A

34、C的中点。(1)求证：平面；(2)求二面角的大小；(3)求直线与平面所成的角的正弦值。解法一：（1）设与相交于点P，连接PD，则P为中点，D为AC中点，PD/。又PD平面D，/平面D 4分（2）正三棱住， 底面ABC。又BDACBD就是二面角的平面角。=，AD=AC=1tan =, 即二面角的大小是 8分（3）由（2）作AM，M为垂足。BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=ACBD平面，AM平面，BDAMBD = DAM平面，连接MP，则就是直线与平面D所成的角。=，AD=1，在RtD中，=，。直线与平面D所成的角的正弦值为解法二：（1）同解法一（2）如图建立空间直角坐标系，则D（0，0，

35、0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，0），（0，）=（-1，-），=（-1，0，-）设平面的法向量为n=（x，y，z）则nn则有，得n=（，0，1）由题意，知=（0，0，）是平面ABD的一个法向量。设n与所成角为，则，二面角的大小是 8分（3）由已知，得=（-1，），n=（，0，1）则直线与平面D所成的角的正弦值为24、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=BC=1，ABC=90，AA1=，D、E分别为BB1、AC的中点。 （）求二面角A1ADC1的大小； （）若，求证：BE/平面AC1D。（）以BA所在的直线为x轴、BC所在直线为

36、y轴、BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。 则A（1，0，0），A1（1，0，3），C1（0，1，3）， D（0，0，2） 2分 设平面AC1D的法向量为n=（x，y，z），则由 平面AC1D的法向量为n=（2，1，1） 2分又平面A1AD的法向量为m=（0，1，0） 1分，又由图形可知，所求二面角为锐角 二面角A1ADC1的大小为arccos. 2分（）作EF/CC1交AC1于点F，连结DF。又EF/BD， 四边形EFDB为平行四边形，DF/BE。而DF平面AC1D，BE平面AC1D，BE/平面AC1D。 5分）注：也可证25、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)如图，三棱锥PA

37、BC中，PC平面ABC，PCAC2，ABBC，D是PB上一点，且CD平面PAB。（1）求证：AB平面PCB（2）求二面角CPAB的大小。解（1）（2）解法一：取AP的中点E，连续CE、DE（2）解法二：26、(东北三校2008年高三第一次联考)ABDC如图，正三棱柱的所有棱长都为4，D为CC1中点 （）求证：； （）求二面角的大小解法一：（）取BC中点O，连结AO为正三角形，分 连结，在正方形中，分别为 的中点， 由正方形性质知，分又在正方形中，平面分（）设AB1与A1B交于点，在平面1BD中，作于，连结，由（）得为二面角的平面角分在中，由等面积法可求得，分又，所以二面角的大小为分解法二：（）

38、取中点，连结取中点，以为原点，如图建立空间直角坐标系，则3分 ，平面分（）设平面的法向量为令得为平面的一个法向量分由（）为平面的法向量分所以二面角的大小为27、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)如图，在长方体中，点在棱上移动 （1）求证：； （2）为中点时，求点到平面 的距离； （3）等于何值时，二面角的大小是解：（1）由于 ，根据三垂线定理，得 (4分)（2）设到平面的距离为在中，而，得 (8分)（3）过作于，连接，则为二面角的平面角设则在中，得由于, 即， 解得 因此，当时，二面角的大小为28、(本小题满分12分) 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=

39、1.（I）求证：A1C/平面AB1D；（II）求二面角BAB1D的大小；（III）求点C到平面AB1D的距离.解法一（I）证明：连接A1B，设A1BAB1 = E，连接DE. ABCA1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，四边形A1ABB1是正方形，E是A1B的中点，又D是BC的中点，DEA1C. 3分DE平面AB1D，A1C平面AB1D，A1C平面AB1D. 4分（II）解：在面ABC内作DFAB于点F，在面A1ABB1内作FGAB1于点G，连接DG.平面A1ABB1平面ABC， DF平面A1ABB1，FG是DG在平面A1ABB1上的射影， FGAB1， DGAB1FGD是二面角BAB1D的平面角 6分设A1A = AB = 1，在正ABC中，DF=在ABE