工程统计学课件：第1章 统计数据基本特征

1、第一章数据的概括性度量哪名运动员的发挥更稳定?在奥运会女子10米气手枪比赛中，每个运动员首先进行每组10抢共4组的预赛，然后根据预赛总成绩确定进入决赛的8名运动员。决赛时8名运动员再进行10枪射击，再将预赛成绩加上决赛成绩确定最后的名次在2008年8月10日举行的第29届北京奥运会女子10米气手枪决赛中，进入决赛的8名运动员的预赛成绩和最后10枪的决赛成绩如下表哪名运动员的发挥更稳定?最会的比赛结果是，中国运动员郭文珺凭借决赛的稳定发挥，以总成绩492.3环夺得金牌，预赛排在第1名的俄罗斯运动员纳塔利娅帕杰林娜以总成绩498.1环获得银牌，预赛排在第4名的格鲁吉亚运动员妮诺萨卢克瓦泽以总成绩4

2、87.4环的成绩获得铜牌，而预赛排在第3名的蒙古运动员卓格巴德拉赫蒙赫珠勒仅以479.6环的成绩名列第8名由此可见，在射击比赛中，运动员能否取得好的成绩，发挥的稳定性至关重要。那么，怎样评价一名运动员的发挥是否稳定呢？通过本章内容的学习就能很容易回答这样的问题 第 1 章 数据的概括性度量1.1 集中趋势的度量 1.2 离散程度的度量1.3 偏态与峰态的度量学习目标1.集中趋势各测度值的计算方法2.集中趋势各测度值的特点及应用场合3.离散程度各测度值的计算方法4.离散程度各测度值的特点及应用场合偏态与峰态的测度方法1.1 集中趋势的度量1.1.1 分类数据：众数1.1.2 顺序数据：中位数和分

3、位数1.1.3 数值型数据：平均数1.1.4 众数、中位数和平均数的比较-集中趋势的度量集中趋势(central tendency)一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值不同类型的数据用不同的集中趋势测度值低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据-集中趋势的度量众数(mode)1.一组数据中出现次数最多的变量值2.适合于数据量较多时使用3.不受极端值的影响4.一组数据可能没有众数或有几个众数5.主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据-集中趋势的度量众数(不惟一性) 无众数原始数据: 10 5 9 1

4、2 6 8 一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5 多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42-集中趋势的度量分类数据的众数(例题分析)不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露1511 9 6 90.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值 所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占被调查总人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即 Mo可口可乐-集中趋势的度量顺序数据的众数(例题分析)解：这里的

5、数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)百分比 (%) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 836311510合计300100.0-集中趋势的度量中位数(median)排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据-集中趋势的度量中位数(位置和数值的确定)位置确定数值确定-集中趋势的度量顺序数据的中位数 (例题分析)解：中位数的位置为 (300+1)

6、/2150.5 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中 中位数为 Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300-集中趋势的度量数值型数据的中位数【例】 9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9中位数 1080-集中趋势的度量数值型数据的中位数

7、【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -集中趋势的度量四分位数(quartile)排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%-集中趋势的度量四分位数(位置的确定)方法2：较准确算法方法1：定义算法-集中趋势的度量四分位数方法3： 其中 表示中位数的位置取整。这样计算出的四分位数的位置，要么是整数，要么在两个数之间0.5的位置上方法4： Excel给出的

8、四分位数位置的确定方法 如果位置不是整数，则按比例分摊位置两侧数值的差值-集中趋势的度量顺序数据的四分位数解：QL位置= (300)/4 =75 QU位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中 四分位数为 QL = 不满意 QU = 一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300-集中趋势的度量数值型数据的四分位数【例】：9个家庭的人均月收入数据(4种方法计算)原始数据: 1500 750 78

9、0 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9方法1-集中趋势的度量数值型数据的四分位数【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9方法2-集中趋势的度量数值型数据的四分位数【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 78

10、0 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9方法3-集中趋势的度量数值型数据的四分位【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9方法4-集中趋势的度量平均数(mean)也称为均值，一组数据相加后除以数据的个数得到的结果集中趋势的最常用测度

11、值一组数据的均衡点所在4. 体现了数据的必然性特征5. 易受极端值的影响6. 有简单平均数和加权平均数之分7. 根据总体数据计算的，称为平均数，记为；根据样本数据计算的，称为样本平均数，记为xx-集中趋势的度量简单平均数-未分组数据设一组数据为：x1 ，x2 ， ，xn (总体数据xN) 样本平均数总体平均数-集中趋势的度量加权平均数-分组数据设各组的组中值为：M1 ，M2 ， ，Mk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk样本加权平均总体加权平均-集中趋势的度量加权平均数(例题分析)某电脑公司销售量数据分组表按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)Mi fi 140150150160160

12、170170180180190190200200210210220220230230240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 5 5801395264047253700331520501720 9001175合计12022200-集中趋势的度量加权平均数(权数对均值的影响) 甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（x ）: 0 20 100 人数分布（f ）：1 1 8 乙组： 考试成绩（x）: 0 20 100 人数分布（f ）：8 1 1平均数(数学性质)1.各变量值与平均数的离差之和等于零 2

13、. 各变量值与平均数的离差平方和最小-集中趋势的度量平均数(数学性质)1.各变量值与平均数的离差之和等于零-集中趋势的度量平均数 2. 各变量值与平均数的离差平方和最小-集中趋势的度量几何平均数 n 个变量值乘积的 n 次方根适用于对比率数据的平均主要用于计算平均增长率计算公式为5. 可看作是平均数的一种变形-集中趋势的度量几何平均数 (例题分析) 【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率年平均增长率114.91%-1=14.91%-集中

14、趋势的度量几何平均数 (例题分析) 【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率 算术平均： 几何平均：-集中趋势的度量众a数、中位数和平均数的关系左偏分布均值 中位数 众数对称分布 均值= 中位数= 众数右偏分布众数 中位数均值众数、中位数、平均数的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用平均数易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用-集中趋势的度量数据类型与集中趋势测度值数

15、据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型分类数据 顺序数据间隔数据比率数据适用的测度值众数中位数平均数平均数四分位数众数几何平均数众数中位数 中位数四分位数四分位数众数1.2 离散程度的度量1.2.3数值型数据：方差和标准差1.2.2顺序数据：四分位差1.2.1分类数据：异众比率-离散程度的度量离中趋势数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值-离散程度的度量分类数据：异众比率1.对分类数据离散程度的测度2.定义：非众数组的频数占总频数的比例3.计算公式为 4. 用于衡量众数的代表性-离散程度的

16、度量异众比率(例)解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露1511 9 6 90.300.220.180.120.183022181218合计501100-离散程度的度量四分位差对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差 Qd = QU QL反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响，没有充分利用原始数据用于衡量中位数的代表性-离散程度的度量四分位差解：设非常不满

17、意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 。 已知 QL = 不满意 = 2 QU = 一般 = 3四分位差为 Qd = QU - QL = 3 2 = 1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24108 93 45 30 24132225270300合计300-离散程度的度量极差(range)极差也称全距，一组数据的最大值与最小值之差，表明总体中数据变动的范围离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布 R = max(xi) - min(xi)计算公式为6.特点：计算简便，直观易于理解。-

18、离散程度的度量平均差也称平均绝对离差，各变量值与其平均数离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为未分组数据组距分组数据-离散程度的度量平均差某电脑公司销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计12

19、02040平均差 含义：每一天的销售量与平均销售量相比， 平均相差17台-离散程度的度量方差和标准差数据离散程度的最常用测度值反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差，记为2()；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差，记为s2(s)-离散程度的度量样本方差和标准差未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!-离散程度的度量样本标准差某电脑公司销售量数据标准差计算表 按销售量分组组中值(Mi)频数(fi)140150150 160160 170170 180180 190190 200200 210

20、210 220220 230230 240145155165175185195205215225235 4 91627201710 8 4 540302010 01020304050160270320270 0170200240160250合计12055400样本标准差 含义：每一天的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台-离散程度的度量总体方差和标准差)未分组数据组距分组数据未分组数据组距分组数据方差的计算公式标准差的计算公式-离散程度的度量标准分数1. 也称标准化值，变量值与其平均数离差除以标准差后的值2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量3.可用于判断一组数据是否有离群点(outl

21、ier)4.用于对变量的标准化处理5. 计算公式为-离散程度的度量标准分数(性质)均值等于02.方差等于1-离散程度的度量标准分数 z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在改组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0，标准差为1 -离散程度的度量标准分数9个家庭人均月收入标准化值计算表 家庭编号人均月收入（元） 标准化值 z 1234567891500 750 7801080 850 960200012501630 0.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.556 1.853 0.116 0.996经验法则经验法则表明：当一

22、组数据对称分布时约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 -离散程度的度量切比雪夫不等式如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有1-1/k2的数据落在k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数-离散程度的度量切比雪夫不等式对于k=2，3，4，该不等式的含义是至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内至少

23、有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内-离散程度的度量离散系数1.标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较5. 计算公式为-离散程度的度量离散系数某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x212345678170220390430480650950 1000 8.112.518.022.026.540.064.069.0【 例 】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度-离散程度的度量离散系数结论： 计算结果表明，v1 0为右偏分布5. 偏态系数 0为左偏分布6. 偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布；偏态系数在0.51或-0.5-1之间，被认为是中等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越低 -偏态与峰态的度量偏态系数根据原始数据计算根据分组数据计算-偏态与峰态的度量偏态系数 某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组(台) 组中值(Mi)频数 fi140 150150 160160 170170 180180 190190 200200 210210 220220 230230 240