精选圆相关压轴题及答案详解

1、精选圆相关压轴题参考答案与试题解析1.如图，AB是。O的直径，点C是。上一点，AD与过点C的切线垂直，垂 足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点 P,弓C CE平分/ ACB,交AB点F, 连接BE.(1)求证：AC平分/ DAB;(2)求证：PC=PF(3)若tan/ABC旦，AB=14,求线段PC的长.3【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)由PD切。O于点C, AD与过点C的切线垂直，易证得 OC/ AD, 继而证得AC平分/ DAB;(2)由条件可得/ BCP=Z CAB, ZBCF=/ ACF结合外角Tt质可得/ PCF=/ PFC 即可证得PC=PF(3)易证 PA8zXPCB

2、，由相似三角形的性质可得到又因为tan/ABC盘,所以可得绘亶，进而可得到设PC=4K PB=3k, WJ在RtAPOC 3BC 3PB 3中，利用勾股定理可得 Pd+OC2=O旧，进而可建立关于k的方程，解方程求出k 的值即可求出PC的长.【解答】(1)证明：: PD切。O于点C,.OS PD,又AD，PD,OC/ AD,丁. / ACO=Z DAC.VOC=OA第1页(共124页) / ACO4 CAO, / DAC玄 CAO,即AC平分/ DAB;(2)证明：; AD PD,/ DAG/ACD=90.又AB为。O的直径，./ACB=90./ PCB-ZACD=90,丁 / DAC玄 PC

3、B又. / DAC4 CAO,丁. / CAO=Z PCB. CE平分 / ACB,/ACF4 BCF丁. / CAG/ACF玄 PCB-Z BCF/ PFC力 PCF . PC=PF(3)解：PAC4 PCB /P=/ P,. .PA必 APCB匹PB PC又tan/ABC旦， 3n.iPB 3设 PC=4K PB=3k,贝U在 Rt POC中，PO=3l+7, OC=7P&OCO氏(4k) 2+72= (3k+7) 2,k=6 (k=0不合题意，舍去).PC=4k=4X 6=24.第2页（共124页）OFE【点评】此题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：切线的性质、相 似三角形的判

4、定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判 定与性质.此题难度适中，是一道不错的中考题题目.2.已知 ABC中，BC=5,以BC为直径的。交AB边于点D.(1)如图1,连接CD,则/ BDC的度数为 90 ;(2)如图2,若AC与。O相切，且AC=BC求BD的长;(3)如图3,若/ A=45,且AB=7,求BD的长.图1图2S3【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)如图1,只需依据直径所对的圆周角是直角就可解决问题；(2)如图2,连接CD,根据条件可得 ACB是等腰直角三角形，从而得到/ B=45, 再根据直径所对的圆周角是直角可得 BDC是等腰直角三角形，然后运用勾股定 理

5、就可解决问题；(3)如图3,连接CD,根据条件可得 ADC是等腰直角三角形，从而得到DA=DC 设BD=x,然后在RtA BDC运用勾股定理就可解决问题.【解答】解：(1)如图1,第3页(共124页)BC是0 0的直径,Z BDC=90故答案为90;AC与。0相切，BC是。的直径,Z BDC=90, Z ACB=90.vAC=BQZ A=Z B=45,Z DCB2 B=45,DC=DBv BC=5 Btf+DC?=2Btf=52, bd；(3)连接CD,如图3,第4页(共124页)图3v BC是。的直径, ./ BDC=90,./A=45,丁. / ACD=45=/ A, DA=DC设 BD=

6、x, WJ CD=AD=7 x.在 RtA BDC中，x2+ (7-x) 2=52,解得 xi=3, x2=4,.BD的长为3或4.【点评】本题主要考查了圆周角定理、 切线的性质、等腰直角三角形的判定与性 质、勾股定理等知识，运用勾股定理求线段的长度是常用的一种方法， 应熟练掌 握.3.如图，已知在 ABC中，AB=AC=5 cosB*, P是边AB上一点，以P为圆心,PB为半径的。P与边BC的另一个交点为 D,联结PD AD.C RC(1)求 ABC的面积；(2)设PB=x, 4APD的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域;(3)如果 APD是直角三角形，求PB的长.【考点】MR:

7、圆的综合题.第5页(共124页)【分析】（1）如图，作AH，BC于H,利用等腰三角形的性质得 BH=CH再利用 余弦的定义计算出BH=4,接着利用勾股定理计算出AH=3,然后根据三角形面积 公式求解；（2）如图，作PG，BD于G,利用垂彳定理得BG=DG再利用余弦的定义计算 TOC o 1-5 h z 出BG=1 x,接着利用勾股定理计算出PG= x,根据三角形面积公式得到Sa55pbdJZx2,然后利用虹口二虹可表示出y与x的关系式；25江bpd BP y（3）作CH AB于E,如图，利用面积法求得 CE型，则可计算出cos/ EAC3, 525再证明/ APD=/ EAC得到cos/ AP

8、D江，讨论：当/ ADP=90时，利用 cos/25APD红得至！=二;当/PAD=90时，禾I用cos/ APD且得至U里工一,而/ AP 5r 25PD x 25APD=2ZBw900,然后分别解关于x的方程即可得到对应 AP的长.【解答】解：（1）如图，作AHXBCT H, v AB=AC=5BH=CH在 Rt ABH 中，cosB典 WAB 5BH=4,BC=2BH=8 AH=J52_42=3,.& abc=4X 8X3=12;2(2)如图，作 PGBD于 G,则 BG=DG在Rt PBG中，cosB理上PB 5BG= x, 51=；x，一、2 =x BD= X，PG=:& PBD=?

9、x?x.SAAPD AP,BPD BP第6页（共124页）y=J?x2 =-空x2+空x (0 x 0,a=2 三，. AC=AE=2 不，在 R3 ACB中，/ACB=90, AC=2/3, /CAB=60,./ABC=30,AB=2AC=43, BC=yAp2_AC2=6.故答案为6.【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质及圆周角定理的知识， 解题的关键是了解菱形的判定方法及全等三角形的判定方法，难度不大，记住等边三角形面积公式 卫a2 （a是边长）.45.已知AB是。的直径，弦CD AB于H,过CD延长线上一点E作。O的切 线交AB的延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K

10、.第9页（共124页）(1)如图1,求证：KE=GE(2)如图 2,连接 CABG 若/ FGB,/ACH,求证：CA/ FE;(3)如图3,在(2)的条件下，连接 CG交AB于点N,若sinE=_, AK寸历,5求CN的长.F G图3E【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)欲证明KE=GE只要证明/ EGKW EKG即可；(2)欲证明CA/ FE,只要证明/ ACH=/ E即可；(3)作 NP，AC于 P.首先证明 AC=CK=5a HK=CK- CH=4a tan/AKH典=3, HKAK=JahZ+Hk2=S& 由 AK=n可 推出5a=/Hi,可得 a=1. AC=5,在 RtAAP

11、N中，tan/CAH理1，设 PN=12b,贝U AP=9b,在 RtCPN中，tan/ACN=3, AP 3CP推出 CP=4b推出 AC=AF+CP=13h由AC=5,推出13b=5,推出 b磊，可得CN=/f N2 +C F 2=4b 解决问题；【解答】(1)证明：连接OG.v EF切。于 G,OG EF,/AGO/AGE=90,. CD，AB 于 H,丁. / AHD=90 ,第10页(共124页)/ OAG之 AKH=90,. OA=OG丁 / AGO之 OAG, /AGE玄 AKH,/ EKG= AKH,./ EKGWAGE, . KE=GE(2)设/ FGB项，:AB是直径，./

12、AGB=90,/AGE玄 EKG=9 0- a,. / E=180 - / AGE- / EKG=2,/ FGB= ZACH./ACH=2,/ACH玄 E, CA/ FE.(3)作 NPAC于 P./ACH玄 E,sin/ E=sin/ ACH-,设 AH=3a, AC=5a AC 5则 CH小C2THz=4a，tan/CAH若等 v CA/ FE,/ CAK2 AGE. /AGE玄 AKH,/ CAK2 AKH,AC=CK=5a HK=CKE- CH=4a tan/AKH嗡=3, AK=JAH2+HK2WlOa,. AK=/Hj,第11页（共124页）1a=”， a=1. AC=5,/ BH

13、D=Z AGB=90,./ BHC+ZAGB=180,在四边形 BGKH中，/ BHC+/HKG+/AG曰/ABG=360,丁 / ABGbZ HKG=180, / AKH+Z HKG=180,/AKH之 ABG,/ACN之 ABG,/AKH之 ACN,.tan / AKH=tanZ ACN=3v NP)AC于 P,./APN=/ CPN=90,在 Rt APN 中，tan/CAH工，设 PN=12b,贝U AP=9b, AP 3在 RtCPN中，tan/ACN=3, CP. CP=4b. AC=AP+CP=13b . AC=513b=5,-5b=, 13，CN=Jp n 2Kp z=4，yT

14、6 b= VTS - JL。第12页（共124页）A【点评】本题考查圆综合题、锐角三角函数、平行线的判定和性质、勾股定理、 直径的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线， 学会利用 参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.6.如图，。为等腰 ABC的外接圆，直径AB=12, P为弧标上任意一点(不与B, C重合)，直线CP交AB延长线于点Q,。在点P处切线PD交BQ于点D, (1)若 PD/ BC,求证：AP平分/ CAB;(2)若PB=BD 求PD的长度；(3)证明：无论点P在弧标上的位置如何变化，CP?CM定值.【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)连接OP,根据切线的性质

15、得到OP，PD,根据垂径定理得到CP=BP 证明结论；(2)证明 BOP是等边三角形，根据勾股定理计算；(3)证明AACWAQCA,根据相似三角形的性质计算即可.【解答】证明：(1)如图，连接OP,: PD是。O的切线，OP PD,PD/ BC,第13页(共124页).OP，BC,.CP=BP丁 / PACW PAB, AP 平分 / CAB;PB=BD / BPD之 BDP,. OP，PD,丁 / BPDfZ BPO=Z BDP+Z BOP,丁 / BOP玄 BPO,BP=BO=PO=6即4 BOP是等边三角形，在 RtOPD中，PD=J)d2yf2$V AC=BC/ BAC玄 ABC,.

16、/ABC玄 APC,丁 / APC玄 BAG 又ACP=Z QCA.ACP AQC/.二需甯，即CP?CQ=CA：72,即CP?C的定化【点评】本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握圆周角定理、相似三角形的判 定定理和性质定理、切线的性质定理是解题的关键.7.如图1,等腰4ABC中，AC=BC点O在AB边上，以O为圆心的圆经过点 C, 交AB边于点D, EF为。的直径，EFBC于点G,且D是它的中点.(1)求证：AC是。的切线；(2)如图2,延长C皎O O于点H,连接HD交OE于点P,连接CF,求证：CF=DOOP;第14页(共124页)（3）在（2）的条件下，连接 CD,若tan/HDC毁，C

17、G=4求OP的长.图1图2【考点】MR:圆的综合题.【分析】（1）如图1中，先判断出/ A+Z BOF=90,再判断出/ CODW EOD4BOF 即可彳4出 / A+/COD=90;（2）如图2中，连接OC,首先证明FC=FH再证明点K在以F为圆心FC为半 径的圆上即可解决问题；（3）先求出 CH=2CG=8 进而用 tan/CMH=tan/HDC图，得出MH7 MH 7求出MH=工，进而CM=也，即可得出OD=OF亚，再求出OG1MH=I,进而得 33626出FG=OF- OG=3,再根据勾月定理得，CF=5借助（2）的结论即可得出结论.【解答】（1）证明：如图1中，连接OC. OF，BC

18、,. / B+/ BOF=90, vAC=BC/ A+Z B=90,/A+/ BOF=90,二.点D是癌的中点,CD=DE,第15页（共124页） / COD4 EOD4 BOF,. /A+/COD=90,./ACO=9,.OS AC,AC是。的切线，(2)证明：如图2中，连接OC,v EF HC,CG=GHEF垂直平分HC,FC=FHZ CFPi/COEvZ COD=/ DOE,/ CFP力 COD./ CHP= /COD,2. / CHP2/CFP2，点P在以F为圆心FC为半径的圆上，FC=FP=F Hv DO=OFDO+OP=OF+OP=FP=C F即 CF=O+DO;(3)解：如图3,

19、连接CO并延长交。O于M,连接MH,/CMH=/ CDH /CHM=90,. OF，CH于 G,. CH=2CG=8在 RtCHN中，tan/CMH=2l=tan/HDC出MH7第16页（共124页）8重 ?MH 7MH=,3.CM=.-产葺，qd=of=L6/ CGO力 CHM=90 ,OG/ MH,V OC=OMOG= MH= 1 , 26FG=OF- OG=3,在RtACGF中，根据勾月定理得，CF二 .：.二邛：2=5,由（2）知，OP=CF OD=5一星.6 6图2【点评】本题考查了圆的综合知识及勾股定理的应用、 相似三角形的判定和性质 的应用等知识，综合性强，难度较大，能够正确的作

20、出辅助线是解答本题的关键.8.已知：如图，AB为。的直径，C是BA延长线上一点，CP切。于P,弦PD）AB于E,过点B作BQ,CP于Q,交。于H,第17页（共124页）(1)如图1,求证：PQ=PE(2)如图2, G是圆上一点，/ GAB=30,连接AG交PD于F,连接BF,若tanZBFE=Vs,求/C的度数；(3)如图3,在(2)的条件下，PD=6/3,连接QC交BC于点M ,求QM的长.图2图3【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)连接OP,过点O作OR QB于R,证明 PO/OBR根据全等 三角形的性质证明；(2)连接OP,根据切线的性质得到、结合题意得到/ C=/ EPQ设EF=x

21、根据 正切的定义求出BE,根据正弦的定义解答；(3)连接BG,过点O作OK HB于K,得到四边形POKQ*矩形，得到QK=PQ 根据垂直定理得到PE与PD=3由，根据圆周角定理、解直角三角形的知识计算即可.【解答】(1)解：连接OP,过点O作OR QB于R, 则四边形PORQ是矩形，OR=PQ/POR=90, /OEP=90,/ OPE玄 BOR在 POE和AOBR中，fZOEP=ZBRO、NOPE:NBOR,QP=0B.PO/ AOBROR=PE. PQ=PE(2)连接OP,第18页(共124页).CP切。于 P,/ OPCW OPQ=90,. / C+Z COP=90, v PD AB,.

22、/ PEOW AEF之 BEF=90,/ EPG/COP=90, / C=/ EPQ在 Rt FEA中，/ GAB=30,.设 EF=k WJ AE=EE tan30 =Vx,在 RtFEB中，tanZBFE=3/3,BE=EFtanZBFE=3r3x,AB+AE+BE=4/sx, . AO=PO=2 二x,EO=A6 AE= 7x,.在 Rt PEO中，sin/EPO=二, P0 2 / C=/ EPO=30;(3)连接BG,过点O作OK! HB于K,又BQCP, / OPQ之 Q=/ OKQ=90,四边形POKQ*矩形,QK=PO OK/ CQ, . ./C=/ KOB=30,.OO 中，

23、PDAB于 E, PD=673, AB为。的直径, .PEPD=3 二，2根据(2)得，/ EPO=30,在 Rt EPO中，cos/ EPO骂,P0 PRPO=6,cosZEPOOB=QK=PO=6.在 Rt KOB中，sin/KOB=二,第19页（共124页）. KB=OB?sin30 =3.QB=9在AABG中，AB为。的直径,./AGB=90,/ BAG=30, .BG刊 /ABG=60解AQBG得，QG=3/19,v Z ABG=Z CBQ=60,.=.=：, GM GB 2 qm=9E .5图300图1全等三角形的判定和【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义、性质，正确

24、作出辅助性、掌握相关的判定和性质是解题的关键第20页（共124页） 9.如图，AB为。的直径，C为。上一点，作CDAB,垂足为D, E为弧BC 的中点，连接AE、BE, AE交CD于点F.(1)求证：/ AEC=90-2/BAE;(2)过点E作。的切线，交DC的延长线于G,求证：EG=FG(3)在(2)的条件下，若BE=4/5, CF=6求。的半径.【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)连接AC、BC,先根据等弧得：/ AECq BAE,则/CAB=2Z BAE 再由直径所对的圆周角为直角得：/ ACB=90,直角三角形的两锐角互余得：/ CABfZCBA=90,等量代换可得结论；(2)如图

25、 2,连接 EO设/OEA土 OAE=，证明/ GFEWGEF=90 - % 贝U GE=GF(3)如图3,作辅助线，构建直角三角形，证明/ COM=/ BOM则OMLBC,由 (2)得/ GEM=90,则 CM/ EG, CF=CN=6 设 MN=x,则 CM=BM=&x,根据三 角函数得：cos/ EBM反型，列式求得x的值，在 OBM中，设OM=m,则 EB BNOE=OB=m4,根据勾股定理列方程可得结论.【解答】证明：(1)连接AG BC,丁 / CEAW CBA.E为标的中点，BE=CE,丁 / CAE4 BAE丁. / CAB=2/ BAE:AB是直径，./ACB=90,第21页

26、(共124页)./ CAE+/CBA=90,.2/ BAEZ AEC=90, ./AEC=90-2/BAE(2)连接EO,v OA=OE丁 / OEA2 OAE设/ OEA&OAE=,.EG为切线,OE! EG,./ OEG=90,丁. / GEA=90 - / AEO=90 - a,v DG AB,丁. / FDA=90,./ FADfZAFD=90,./AFD=90 - a 4 GFE./ GFEW GEF=90- a,GE=GF(3)如图3,连接CE CR OE OC, CB与AE交于点N, CB与OE交于点M, E为前的中点,丁. / COM=/ BOM,VOC=OBOMXBC,丁.

27、/ OMB=90 ,由(2)得/ GEM=90,.CM/ EG./ GEFW CNFGFEW GEF第22页（共124页） ./ CFEhCNF,CF=CN=5设 MN=x,贝U CM=BM=6+-x,cosZ EBM=MB EB6+k =避 41/5 6+2x解得：xi=2, =-11 （舍），MB=6+x=6+2=8,由勾股定理得：M E q be?在OBM 中，设 OM-m, OM2+MB2=O, 即 m2+82= (m+4) 2,0M=m=6, OE=OB=64=10.(亚)21户4,OE=OB=nt4,则。O的半径为10.第23页（共124页）图1【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的

28、切线的性质、勾股定理、三角函数、圆 周角定理、垂径定理等知识，在圆中求线段的长常利用三角函数或勾股定理列等 式求解，本题也是如此，第三问设未知数列方程是关键.10.如图，在。O中，弦AC BD相交于点E, AFI BD于点F, AE=AB连接AB、CD.靶图3(1)如图 1,求证：CD+BD=2DF(2)如图2,当BD经过圆心O时，连接AO并延长，交。O于点G,连BC,求 证：/ D=/ DOG;(3)如图3,在(2)的条件下，连接EG CG当OF=1, EG=4时，求CG的长.【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)只要证明DC=DE EF=FB再根据线段的和差定义即可解决问题；(2)只要证

29、明/ D=/ AOB,即可解决问题；(3)如图3中，设OA=OB=r EC=y AE=EB=x想办法构建方程组求出 黄=1,即 可解决问题；【解答】(1)证明：如图1中，第24页(共124页)c 图1. AE=AB AF EB, .EF=FB Z AEB=Z B,vZ AEB=Z DEC / B=Z C, ./ DECW C,DC=DE CaBD=D&DE+BE=2 (DE+EF) =2DF.(2)证明：如图2中,./C=/ DEC? AEB4 B,.D+2ZC=18(J,v OA=OB丁. / OAB=Z OBA,.AO&2/ABO=180,vZ C=/ ABO, / D=/ AOB,/ D

30、OG之 AOB, / D=/ DOG(3)解：如图 3 中，设 OA=OB=r EC=y AE=EB=x第25页(共124页)图3贝U FB=EF=r 1, OE=R_ 2,DE=DC=2由ADCaAAEB5,可得：口即2=J，AE EB x 2r-2由ADCaAOAB,可彳导地&,即2/， OA AB r x. AFOA2oF=aWE声,可得：r2- 12=x2- (r-1) 2由解得y2=1,.AG是直径,丁. / ECG=90,CG=Je g 2 -CE 2勾16 ;=、/T .【点评】本题考查圆综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知

31、识解决问题， 学会利用参数构建方 程组解决问题，属于中考压轴题.11.如图，在。O中，AB为直径，OC，AB,弓C CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED(1)求证：DE是。的切线;(2)若tanA3,探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明;(3)在(2)的条件下，若OF=1,求圆O的半径.CED第26页(共124页)【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)先判断出/ OCF+/CFO=90,再判断出/ OCF=/ ODF,即可得出结 论；(2)先判断出/ BDE之A,进而得出 EBD EDA 得出 AE=2DE DE=2BE 即可得出结论；(3)设 BE=k WJ DE=

32、EF=2x AB=3x,半径 OD=；x,进而得出 OE=1+2x,最后用 2勾股定理即可得出结论.【解答】(1)证明：连结OD,如图，v EF=ED/ EFD4 EDF/ EFD4 CFO./ CFOWEDFv OCX OF,/ OCE/CFO=90,OC=OD/ OCFW ODF,/ODG/EDF=90,即/ ODE=90,OD DE,点D在。O上,DE是。O的切线；(2)线段AR BE之间的数量关系为：AB=3BE证明：.AB为。O直径，./ADB=90,丁. / ADO=/ BDE,v OA=OD./ADO=/ A,/ BDE玄 A,而/ BED之 DEA第27页（共124页）.EBM

33、 AEDA,AE DE ADv RltAABD 中，tanA=J_AD 2IE N =AE -DE 2AE=2DE DE=2BE. AE=4BE. AB=3BE(3)设 BE=k WJ DE=EF=2x AB=3x,半径 OD=：；x2v OF=1,OE=+2x在 RtODE中，由勾股定理可得：(x) 2+ (2x) 2= (1+2x) 2, 2；x=-2 (舍)或 x=2, g圆O的半径为3.【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出EBDAEDAM解本题的关键.12.如图，AB是。O的直径，点C在。O上，/

34、ABC的平分线与AC相交于点D, 与。O过点A的切线相交于点E.(1) /ACB= 90 ; 理由是： 直径所对的圆周角是直角 ：(2)猜想 EAD的形状，并证明你的猜想；(3)若 AB=8, AD=6,求 BD.第28页(共124页)【考点】MR:圆的综合题.【分析】（1）根据AB是。O的直径，点C在。上利用直径所对的圆周角是直 角即可得到结论；（2）根据/ ABC的平分线与AC相交于点D,得到/ CBDW ABE,再卞g据AE是 OO的切线得到/ EAB=90,从而得到/ CD母/ CBD=90,等量代换得到/ AED= /EDA从而判定 EAD是等腰三角形.（3）证得ACDE4AEB后设

35、 BD=5k贝U CB=4xCD=3x,从而得至U CA=CDDA=3x+6, 然后在直角三角形 ACB中，利用Ad+BCAB2得到（3x+6） 2+ （4x） 2=82解彳# x 后即可求得BD的长.【解答】解：（1）;AB是。O的直径，点C在。O上，./ACB=90 （直径所对的圆周角是直角）（2） ZXEAD是等腰三角形.证明：:/ ABC的平分线与AC相交于点D,/ CBD玄 ABE.AE是。O 的切线，./ EAB=90/AEBf/EBA=90,vZ EDA之 CDB / CDBfZ CBD=90,/ CBEWABE,丁. / AED=Z EDAAE=AD.EAD是等腰三角形.第29

36、页（共124页）(3)解：v AE=AD AD=6, AE=AD=6v AB=8,在直角三角形AEB中，EB=10/CDB玄 E, /CBD4 ABE .CDB AAEB, AE - DC = 6 - 3 AB BC S 4.设 CB4K CD3x贝U BD5x, . CACRDA3刈6,在直角三角形ACB中，Ad+Bd-A3即：(3x+6) 2+ (4x) 282,解得：x- 2 (舍去)或xBD5x 5等腰三角形的动点E在BA【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中涉及到了圆周角定理、 判定与性质及相似三角形的判定与性质，难度中等偏上.13.如图所示，在 ABC中，ABAC2 /A90, O

37、为BC的中点, 边上移动，动点F在AC边上移动.(1)当点E, F分别为边BA, AC的中点时，求线段EF的长；(2)当 / EOF45时，设BEx CFy求y与x之间的函数解析式；第30页(共124页)若以O为圆心的圆与AB相切（如图），试探究直线EF与。O的位置关系，并 证明你的结论.【考点】MR:圆的综合题.【分析】（1）当E、F分别为BA AC中点时，EF为三角形ABC中位线，在直角 三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出EF的长；（2）根据题意利用等式的性质得到一对角相等， 再由一对角为45。，利用两对 角相等的三角形相似得到三角形 BOE与三角形OCF相似，由相似得比

38、例列出y 与x问的函数解析式，并求出x的范围即可；EF与圆O相切，理由为：由得出的三角形BOE与三角形COF相似，得比例， 把CO换为BO,变形后利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角 形BEO与三角形OEF相似，利用相似三角形对应角相等得到/ BEOq FEO利用角平分线定理得到O到ER EF的距离相等，而AB与圆O相切，可得出/ OFE=90, 即OF与AC垂直，且OF为半径，即可确定出EF与圆O相切.【解答】 解：（1）在 ABC 中，AB=AC=2 /A=90,根据勾股定理得，BC=/22+22=2v,点E, F分别为边BA, AC的中点,. EF是 ABC的中位线.EF=/

39、2;(2)在 OEB和AFOC中，. AB=AC /A=90,./ B=45./EOBf/FOC=135, /EOBf/OEB=135, ./ FOCWOEB又. / B=/ C,第31页（共124页）.OEM AFOC, be 二 bo=.CO FC. BE=x CF=y OB=OC近；-=返，IP y, (1xAP=20.【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定 和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形 RtA ABF和 RtA CBF是解本题的关键.17.如图，已知。O是以AB为直径的圆，C为。上一点，D为OC延长线上点，BC的延长线交 A

40、D于E, /DAC之DCE(1)求证：AD为。的切线；(2)求证：Dd=ED?DA(3)若 AB=2, sinD，求 AE 的长.3【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)由圆周角定理和已知条件求出 AD AB即可证明DA是。O切线;第40页(共124页)(2)由/DAC玄 DCE, /D=/ D 可知DE8 DCA(3)由题意可知 AO=1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到DC2=DE?AD,故此可求得DE的长，于是可求得AE的长.【解答】(1)证明：: AB为。的直径，./ACB=90,./ CAB+/B=90,vZ DAC玄 DCE / DCEW BCO丁 /

41、 DAC玄 BCOv OB=OC / B=/ BCO丁 / DAC玄 B,./ CABf/DAC=90.AD AB.OA是。O半径, DA为。的切线；(2)解：/ DAC之 DCE./ D=/D,.CED AACD,:D醒AD -CD，. CE2=DE?AD(3)解：在 RtAAOD 中，OA必AB=1, sinD=, 23- OD= 1 L =3 口和，CD=OD- OC=2. AD= |=2 三,V CE2=DE?ADCD，DE=, AD第41页（共124页）. AE=AA DE=2& - &=贝.【点评】此题是圆的综合题，主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理 的应用、相似三角形的

42、性质和判定，证得 DE84DCA是解题的关键.18.如图， ABC内接于。O,弦AD，BC,垂足为H,连接OB.(1)如图 1,求证：/ DAC=ZABO;(2)如图2,在弧AC上取点F,使/CAF=Z BAD,在弧AB取点G,使AG/ OB,若/ BAC=60,求证：GF=GD(3)如图3,在(2)的条件下，AF、BC的延长线相交于点E,若AF: FE=1: 9,求sin/ADG的【考点】MR:圆的综合题.【分析】(1)根据等角的余角相等即可证明;(2)想办法证明/ GDF=/ GFD=60即可；(3)如图3,延长GA,彳FCUAG,垂足为Q,作ON，AD,垂足为N,作OM XBC,垂足为M

43、,延长AO交。O于点R,连接GR.彳DP AG, DK AE,垂足 为 P、K.由 AF: FE=1: 9,设 AF=k, WJ FE=9K AE=10k,在AAHE中，/ E=60, 推出 AH=5k.设 NH=x,则 AN=5k- x 与，由 ONLAD,推出 AD=2AN=10k- 2x, 想办法构建方程，求出x与k的关系，再根据sin/ADG=sinZ R卷，求出AG、 AR (用k表示)即可解决问题；【解答】(1)证明：如图1,延长BO交。O于点Q,连接AQ.第42页(共124页)Av BQ是。O直径, Z QAB=90 .v ADXBC, Z AHC=90.弧 AB=M AB,./

44、AQB=/ACR. Z AQBZABO=90,Z ACB-Z CAD=90Z ABO=Z CAD.(2)证明：如图2,v AG/ OB,Z ABO=Z BAG, vZ ABO=Z CAD, Z CAD七 BAG vZ BAC=60, Z BACH-Z CAD土 BAEH-Z BAG=60,第43页(共124页)vZ BAD=Z CAF./ CAF+/CAD=60, / GAD之 DAF=60 , /GAF=120,二.四边形AGDF内接于。O,./ GDF=60,弧 GD= GD,/ GAD之 GFD=60,/ GDF玄 GFD=60, GD=GF(3)解：如图3,延长GA,彳FQAG,垂足为

45、Q,作ON，AD,垂足为N,作 OMXBC,垂足为 M,延长AO交。O于点R,连接GR彳DPI AG, DK, AE, 垂足为P、K. AF: FE=1: 9,.设 AF=k,贝U FE=9K AE=10K 在AHE 中，/ E=60, . AH=5k.设 NH=x,则 AN=5k- x, = ONXAD, . AD=2AN=10k 2x又在 4AQF 中，/GAF=120,丁. / QAF=60 , AF=kAQ卓FQ哼k,由（2）知：/ GDF之DAF=60,.GDF是等边三角形，第44页（共124页）.GD=GF=D FvZ GAD=Z DAF=60,DP=DK.GPEAFKD, APgAAKDFK=GP AP=AK / ADK=30,AD=2AK=APAK=AF+AG. AG=10k- 2x- k=9k- 2x,v# QMXBC, ONAD,OM=NH=x vZ BOD=1Z BOC4 BAC=60BC=2BM=2/枭，BOCW GOF,GF=BC=2 三 x在AGQF中，GQ=AGnAQ=k- 2x, QF亚k, GF=2x,22.GCf+FQ2=GF?,（yk-2x） 2+ （亭k） 2= （2V3x） 2,. Xi=k, x2= -k （舍弃）， 42 .AG=9k- 2x= k, AR=2OB=4OM=4x=7k在AGAR