自动控制原理第7章离散系统分析课件

1、第七章 线性离散系统分析线性离散系统的基本概念 A/D转换与采样定理及D/A转换Z变换脉冲传递函数线性离散系统稳定性分析线性离散系统的时域分析 主要内容了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系；熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法； 掌握线性离散系统的时域分析方法学习重点离散系统： 系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码离散系统类型：采样系统 时间离散，数值连续数字系统 时间离散，数值量化7.1 线性离散系统的基本概念 计算机控制系统的描述方法 计算机控制系统 字长足够 认为 e*(

2、kt)=e(kt) （1）A/D 过程 采样 时间上离散量化 数值上离散 t T 认为采样瞬时完成理想采样过程 开关打开时，没有输出； 开关闭合时才有输出，其值等于采样时刻的 的模拟值。 （2）计算过程描述 零阶保持器 (ZOH)（3）D/A 过程解码 复现 7.2.1 信号采样 (1)理想采样序列7.2 信号采样与保持例1 ，求 解 例2 ，求 解 (3)傅氏变换 dT(t)是周期函数，可展开为傅氏级数连续信号 离散信号 F连续信号e(t)与离散信号e*(t) 的频谱分析 F频谱 信号按频率分解后的表达式香农（Shannon）采样定理 采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即由采样得到的

3、离散信号能无失真的恢复到原来的连续信号。香农(Shannon)采样定理 信号完全复现的必要条件理想滤波器采样开关4. 信号的复现D/A转换(1)信号复现 把采样信号恢复为原来连续信号的过程通常称为信号的复现。 (2)信号复现方法加入理想滤波器 （理论上） 加入保持器 （实际上） 为了从离散信号复现出连续信号，需要考虑： 理论上能否从离散信号恢复到原连续信号？ 在实际中采用什么样的保持器？零阶保持器 最简单最常用的是零阶保持器(zero-order hold，简记为ZOH)，它与一阶、高阶保持器相比，具有相位滞后小以及易于工程实现等优点。7.2.2 零阶保持器 D/A:用 ZOH 实现零阶保持器

4、对系统的影响7.3 Z变换1. Z变换的定义2. Z变换的方法3. Z变换的性质4. Z反变换此式称为离散信号 的Z变换。Z变换是离散信号的拉氏变换的一种变形，可由拉氏变换导出，又称为采样拉氏变换1. Z变换的定义两点说明离散信号f*(t) 由对连续信号f(t)采样得到，所以习惯上称F(z) 是f(t) 的Z变换，实际上是指f(t) 经采样后得到的离散信号f*(t)的Z变换。同样，习惯上也称F(z)是F(s) 的Z变换。F(s) 是 f(t) 的L变换的记号，F(z) 是f(kT)的Z变换的记号 F(z) F(s)|s=z ； 级数求和法 部分分式法 留数计算法2. Z变换的方法例 求1*（t

5、）的Z变换 。(1) 级数求和法例 求 的F(z)。 例 求解 的Z变换 。(2) 部分分式法 首先把F(S)分解为部分分式之和，然后再对每一部分分式求Z变换。 例 求(3)留数计算法例解常见函数的z变换 z变换定义 1.线性性质 z变换的基本定理 2.实位移定理 延迟定理3.复位移定理 超前定理4.初值定理 5.终值定理 6.卷积定理 (1) 幂级数展开法(2) 部分分式法(3)留数法4. Z反变换(1) 幂级数展开法 用长除法把 按降幂展成幂级数，然后求得 ，即将 展成 对应原函数为 实际应用中，常常只需要计算有限几项(2) 部分分式法把 分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。因为Z变

6、换表中 的分子常有因子 ，所以通常将 展成 的形式，即 式中系数 用下式求出 基本思想： 利用已知的F(z)，通过查z变换表找出相应的f*(t)或f(nT)通常需要将F(z)展开成部分分式以便查表。(3) 留数法表示 的第个极点。 单极点重极点 实际应用中，F(z)可能是超越函数，无法应用部分分式法或是幂级数法求反变换。7.4 离散系统的数学模型差分方程脉冲传递函数离散状态空间表达式(1) 差分定义 e(kT) 简记为 e(k)前向差分1阶前向差分2阶前向差分n阶前向差分后向差分1阶后向差分2阶后向差分n阶后向差分7.4.1 线性常系数差分方程及其解法(2) 差分方程n阶线性定常离散系统(后向

7、)差分方程(前向)差分方程(3) 差分方程的解法经典法 求出齐次方程通解和非齐次方程一个特解迭代法Z变换法解例1 已知连续系统微分方程： 现将其离散化，采用采样控制方式(T=1)，求相应的前向 差分方程并解之。解差分方程解法I 迭代法解差分方程解法II z 变换法7.4 脉冲传递函数1. 脉冲传递函数的定义2. 开环系统脉冲传递函数3. 闭环系统脉冲传递函数1. 脉冲传递函数的定义z传递函数，脉冲传递函数 零初始条件下，输出量的采样信号的z变换与输入量的采样信号的z变换之比。通常在输出端虚设一个理想采样开关，与输入采样开关同步工作采样拉氏变换两个重要性质采样函数的拉氏变换具有周期性采样函数拉式

8、变换E*(s)与连续函数拉氏变换G(s)相乘后离散化，则E*(s)可从离散符号中提出来G1(S)G2(S)C(t)T一.线性离散系统的开环脉冲传函1.串联环节之间无同步采样开关两个串联线性环节之间没有采样开关隔离时,其脉冲传函为两个环节的传函相乘之积的Z变换。结论可推广到n个环节串联的情况。 例.求右图所示的两个串联环节的脉冲传函,其中G1(S)G2(S)C(t)TG2(s)G1(s)TC(t)M(t)2.串联环节有同步采样开关两个串联线性环节之间有采样开关隔离时，其脉冲传函为两个环节分别求Z变换后的乘积。结论可推广到n个环节串联的情况。例.求图所示二环节串联的脉冲传函解:G2(s)G1(s)

9、TC(t)M(t)结论： 串联环节之间有采样器的系统，总的等效脉冲传递函数等于各环节脉冲传函之积； 而串联环节之间没有采样器时，其总的等效脉冲传递函数等于各环节相乘后再取Z变换。G2(s)零阶保持器G1(s)C(t)3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函例.设与零阶保持器串联的环节的传函为G(S)=1/(S+a),试求系统的脉冲传递函数。解： 由于采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，闭环离散系统结构形式不唯一。二.线性离散系统的闭环传递函数闭环离散系统结构图R(S)G1(S)H(S)G2(S)C(S)Y(S)-试求下图所示系统的闭环传函H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)C(S)-试求

10、下图所示系统的闭环传函解：C(s)R(s)-例3.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函解: 设闭环离散系统结构图如下图所示，试求其输出采样信号的Z变换。 由于误差信号e(t)处无采样开关，从上式解不出C(z)/R(z) 只要误差信号处没有采样开关，输入信号便不存在，此时不能求出闭环离散系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换。典型闭环离散系统及输出z变换函数 闭环系统脉冲传递函数F(z)(一般不能用Mason公式)例 求如图闭环系统的脉冲传递函数F(z)例 求如图闭环系统的脉冲传递函数F(z)例 求例 求7.5 稳定性分析一.S平面与Z平面的映射关系结论：S平面的稳定区域在

11、Z平面上的映射是单位圆内部区域H(S)G1(S)G2(S)C(S)R(S)-Y(S)二.线性离散系统稳定的充要条件闭环系统特征方程： 210)(1=+ZHGG线性离散系统稳定的充要条件是 系统闭环脉冲传函的全部极点即系统特征方程的根均位于Z平面的单位圆内,或全部特征根的模小于1例.试分析特征方程为Z2-Z+0.632=0的系统的稳定性.解:由题意可知系统是稳定的 618.05.0528.15.05.0Z 1,2=-=1795.0618.05.0|Z|2221=+=Zj三.Routh稳定判据 引入Z域到W域的线性变换，使得Z平面单位圆内区域映射成W平面上的左半平面，称为双线性变换或W变换.例 .

12、设闭环采样系统的特征方程为D(Z)=45Z3-117Z2-39=0判断其稳定性.解:r(t)-T例 .判断如图所示系统的稳定性,采样周期T=0.2(秒)解:-R(S)G(S)C(S)T解:7.6 闭环极点与动态响应的关系当r(t)=1(t),离散系统输出的z变换假设无重极点，离散系统的稳态误差连续系统误差计算方法可适用于离散系统。采样系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。误差稳态误差:误差信号的稳态分量： ( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 )2. 静态误差系