考点19平面向量的基本定理及坐标表示-高考全攻略之备战2019年高考数学理考点一遍过

1、考点19平面向量的基本定理及坐标表示考网点支 TOC o 1-5 h z (1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件会知识整乡一、平面向量基本定理如果ei, %是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 机尬，使2=+ %e2.其中，不共线的向量ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、

2、j作为基底，对于平面内的一个 向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把(x, y)叫做向量a的坐标，记作a= (x, y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标.三、平面向量的坐标运算.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设 A (x1，y , B (x2, y2),则 AB = (x2x，y2-yi).向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a = (x1, y)，b= (x2, y2),贝U a+ b= (x2+x1，y2+y1)，a - b= (x1一

3、x2, y1一 y2), 启=(入 1,入1)，|a|=qM+y2 , |a+ b|= J(x+x2)2+( y+y2)2 .平面向量共线的坐标表示设 a = (x1, y1), b= (x2, y2),贝U a / b? x1y2x2yl=0.向量的夹角已知两个非零向量 a和b,彳oA=a, OB=b,则/ AOB= 0 (0咨180)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90,我们说a与b垂直，记作ab.考向一平面向量基本定理的应用.应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至

4、关重要的作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.应用平面向量基本定理的关键点(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表不出来.(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算.(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式 .典例引领 . 一 1一一 1一V 一.

5、典例1如图所不，在ABO中，OC = OA , OD = OB , AD与BC相交于点M，设OA= a, OB = b .42(1)试用向量a , b表示OM，;（2）过点MI作直线EF ,分别交线段 AC , BD于点E , F .记oE一 一13=*a , OF = bb,求证：一十 为【答案】（1）【解析】（1）OM =；a +| b；(2)证明见解析.由A, M , D三点共线，可设OM = mOA+(1 m OD =ma + 1 2m b ,C三点共线，可设OM = nOo 1 -n OB =na 1 -n b,4,解得=1 -n1m =一7由& M, F三点共线，设皿=二。十（+。

6、尸=3+（1无）,由（1）知匕I二13- = 7k r = 7-7k?Z社3- = 7,为定值一 A【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，以及平面向量的线性运算，其中根据三点共线,合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答向量问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.变式拓展1 .在4ABC中，点D是线段BC上任意一点,M是线段 AD的中点，若存在实数BM = AB AC,则二-2A. 2考向二平面向量的坐标运算.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标,则应先求

7、向量的坐标.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.典例引领典例2已知巩00, 0为坐标原点，点C在/AOB内，且乙4。=45”,设c -入心+ (1 -均E R)则4的值为1A. 5B.C.D.1323【答案】C解析】“ZGC = 45- 设C&-X则在二 住一工),x=-3z.x = 22a又力(-3,0),见02,根据向量的坐标运算知+ 9=(3九2 2Q,所以， 典例 3 已知 A(2,4), B(3, -

8、1), C(3,4),设 7B = a, BC = b, cA = c.(1)求 3a +b -3c ；(2)求满足a =mb +nc的实数m, n.【解析】(1)由已知得 a =(5, -5), b = (-6,-3), c = (1,8),则 3a . b _ 3c- - j - . .- . _ ,(2) ; mb +nc = (6m+n, 3m+8n),-6 m n = 5-3m 8n = -5= m = n = -1.变式拓展2.已知定=(5,3), 0(-1,31CD =2aB,则点D的坐标是A. (11,-3)B. (9,-3)C. 9,3D. 4,0考向三向量共线(平行)的坐标

9、表示.利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量 a共线的向量时，可设所求向量为Ka(人三R ),然后结合其他条件列出关于人的方程，求出 九的值后代入儿a即可得到所求的向量.利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用若a = (%,%),b =(X2, y2),则a / b的充要条件是x/2 = %y1”解题比较方便.T T.三点共线问题.A, B, C三点共线等价于 AB与AC共线.利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.典例引领典例4已知是平面内两个不共线的非零向量偿=2e1+ 2,诙=-e

10、+入包比=-2e+ &,且A,E,C三点共线.(1)求实数入的值；(2)若e1 = (2,1),色=(2,-2)，求比的坐标;(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标.【解析】(1)麻=八*+鹿=(2e1+ &)+(- e+入e2)=e1+(1 +入)金. A,E,C三点共线，存在实数 k,使得心=kE即 e+(1+4e2=k(- 2e1+ e2),即(1 + 2k)&+(1 + 入-k)e2= 0. TOC o 1-5 h z e1, e2是平面内两个不共线的非零向量， HYPERLINK l bookmark10 o Curr

11、ent Document 3+2k=0 且 1 +入-k=0,解得 k=-入=一2 故实数入的值为-3.23(2)由(1)知也=-e2 e2,11则 =+=- 3e2 e2=- 3(2,1)- 2 (2,- 2) = (- 6,- 3)- (1,- 1)=(- 7,- 2). A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，加=就.设 A(x,y),则疝=(3- x,5- y).由(2)知：=(-7,- 2),3-x = -75 - y = -2x =10，解得 )y =7.点A的坐标为(10,7).变式拓展3.已知 a = (1,2 ),b = (0,1),c = (2,k ),若 a +2b

12、/ c ,则 k =A. 8B.七1D.一2、产点冲先丸I1.在如图所示的平面直角坐标系中，向量 AB的坐标是A. 2,2B”2,-2C. 1,1D.-1, -12.下列各组向量中，能作为平面上一组基底的是& =(0,2 ), e2 =(0,T )e =(2,1), e2 =(0,0 )5c. e =(3,1), e2 = p，3 jD. e=(2,1), e=(4,2)3.若A(1,1)B(1,3) ,C(x,5)共线，且 症=?彘，则人等于a.B. 2C.D. 44.已知向量a -b = (3,1), b = (1, -2),若向量 1 a +m b与向量ab平行，则实数 m =A. -4

13、B. -2C. 4D. 25,已知向量a =(1,3), b = (m,2m3),平面上任意向量c都可以唯一地表示为c =，a + Nb(九* WR),则实数m的取值范围是A. (-,0 )U(0,依B.一二,3c.：i：-工,-3 U -3, ,二D.1-3,36.已知在 RtAABC中，两直角边 AB=1, AC=2, D 是 AABC 内一点，且 N DAB =60，设AD =九 AB+N AC A NWR ),则 yr =B.A,正3C. 3D.2.3.已知向量 a = (m,2m T ), b = (1, -2 ),若 a/ b ,2? .如图所示，已知在zABC中，AE=AC ,

14、BD3则 4a + 2 b =1二一 BC ,3BE 交 AD 于点 F, AF = AB + NAC,9.已知点 A(2,4 ),B(3,T ),C(3,-4 ),设向量 AB =a,BC =b,CA = c.(1)若a =mb + nc ,求实数 m, n的值;10.如图,CN =在平行四边形 ABCD求实数U的值；记 a =CA，b =CB求向量MN中，CM NCB, 3一 - 41N 是 AM 上一点,且 CN = uCA + CB .7试用a, b表示向量am , dM , dn .直通商、 办蝉r(2016新课标全国n理科)已知向量a = (1,m), b=(3, -2),且(a+

15、 b) .L b,则m=B. -6A. -8C. 6D. 8（2017新课标全国出理科） 在矩形ABCD中，AB=1 , AD=2,动点P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上.右 AP =ZAB + NAD ，则九+ N的最大值为A . 3C. ,5B. 2,2D. 2(2015 江苏)已知向量 a= (2,1) , b= (1,-2),若 ma +nb = (9,8)(m,nw R，则 mn 的值为（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量 OA,慈，OC的模分别为1,1,我，oA与oC的夹角为 0，且匕n 0( =7, OB与OC 的夹角为 45 .若OC = mOA+nOB (m,n W

16、R)则 m + n =（第12题）（2018新课标全国出理科）已知向量a =（1,2）, b =（2,1）, c=（1,入）.若c/（2a+ b）,贝U九=皋参考答卷变式拓展1 .【答案】DT T T T【解析】如图所示，因为点 D在线段BC上，所以存在tw R,使得BD=tBC =t(ACAB), 11 = 1 r r r 1 r i-1因为 M 是线段 AD 的中点，所以 BM =一 BA + BD = AB+tAC -tAB =一一 t+1 AB+tAC ,2222又 BM=AB+nAC 所以 = l(t+1), N=1t,所以九+ N = _1.222本题选择D选项.A【名师点睛】(1

17、 )应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.(3)对于本题，由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD, 1M,然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【答案】B【解析】设点比工蠹)，所以无=2AB- (10, -6),所以I月解之得产久产-3一所以点。的坐标为(% -3). -3 = -6故答案为B.【名师点睛】(1)本题主要考查向量的坐标表示和运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. A(x

18、i,y1),8&,丫2 1则 AB -2,出-小).【答案】B【解析】.a =(1,2 ),b = (0,1),c = (2,k), . . a +2b =( 1, 2)+(0, 2)=( 1, 4), a +2b/l c , . k=- 8.故选 B.【名师点睛】本题考查用向量坐标来表示两个向量平行的关系.解本题时，先求出a十2b,再由a +2b/ c ,能求出k=-8.考点冲关.【答案】DT【解析】因为A(2, 2), B(1, 1),所以AB = (1,1 )故选D.【答案】D【解析】对于A,m=-2e2,向量0,e2共线，不能作为基底；对于B,零向量不能作为基底；3对于C, e1 =

19、e2,向量ei,e?共线，不能作为基底；5对于D,向量e,e?不共线，可作为基底.故选D.【名师点睛】本题考查了向量共线的判定、基底的定义，属于基础题，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键.注意只有两向量不共线才可以作为基底，判定各组向量是否共线即可.【答案】B【解析】由 A(1, 1),B(1,3) ,C(x,5)共线，且 AB=九 BC，可得(2,4)=九(x1,2),解得九= 2,x=2 .故选B.【名师点睛】本题考查向量共线的充要条件的应用，是对基础知识的考查.解本题时，利用共线通过AB= 7lBC，得到方程，求出X,h即可.【答案】D【解析】由向量=得s = _A+3=(3_L_l

20、_2) = (43)，贝1+ mb = i| -8 + m,6 27n),向量用占与向量o 3平行,二(一1)(8 +加)一3(6 =0 p得？2 =2 ,故选D.【名师点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：(1)两向量平行，利用 xy2 -X2y1 =0解答；(2)两向量垂直，利用 x1x2 +y1y2 =0解答.【答案】C【解析】根据平面向量基本定理可知， 若平面上任意向量 c都可以唯一地表示为 c =，ua + Nb(九,N RR), 则向量a, b不共线，由a= (1,3), b = (m,2m3R|2m33m,解得m # 3 ,即实数m的取值 范围是(-0,

21、-3 )U(-3, ).故选 C .【答案】A【解析】如图，以 A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1,0）, C点坐标为（0, 2）,因为/ DAB =60 ,所以可设D点坐标为（m, J3m）,则 AD = Z.AB + NAC =入 11, 0） +（0, 2） = （% 2 而? ?=m, = 3m， 22 3 所以一二.故选 A .3【名师点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于/ DAB=60。，可设D点坐标为（m, J3m）,再由平面向量坐标表示，即可求出入和改7 .【答案】

22、3出【解析】:响量”（风2附-1）, 3 = （L -2）,且o ,/. 4+25 = (1-6), |4期二附+(Y/二35 故答案为34一【名师点睛】本题考查两个向量共线的性质，两个向量的线性运算以及向量模的计算，属于基础题6.【答案】-一一一 V .一. .1 一 T, 2T.1F【解析】设 AD =kAF k = 0 ,AD =AB BD = AB - AC - AB = - AB AE , TOC o 1-5 h z 3322rL -*2r ir即 kAF= AB+ AE , . . AF = AB + AE , 323k 2k,_ _ _21.7由F、B、E二点共线，得* =1解得

23、k =.3k 2k62 1 1 4 3 4T 2-4 . 2, 6 .AF= AB+ AE =AB+AE = AB+AC= .九+R= 3k 2k 7777777.【答案】(1) m=n = 1； (2) MN =(9,-18).【解析】（1）由题得a+b+c=0,a=bc,又b, c不共线，a =mb +nc,所以由平面向量的基本定理得mn = - 1.由题得 b = (6,4),c= (1,8 ),所以木刀荷二2b- 3-8 .【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算的问题，也考查了向量的相等问题以及解方程 组的应用问题，是基础题.1 ,、一 21 一 5l 一 11L 6二/

24、皿一 DM =小一白，D.V = f一二。 733【解析】i）因为近7 =而,3*所以磁=严，所以CY =段C4+CB uCA + 黑二CAf - uCA-CM , 77 27因为三点、共线,猛刀京AM=CB AM = b 2 b-a =3T T 7 U,1T?,4二 11.6DN =DA - AN = CB - CN -CA = CB CA , CB -CA = b - - a .直通高考【解析】a +b =(4,m-2),由(a+b)，b得 4 M3+(m-2)M(-2) = 0 ,解得 m = 8 ,故选 D.【名师点睛】已知非零向量a =（为，刈），b = （x2,y2）:几何表小坐标

25、表小模|a|= 4a aia=Jx2夹角cos 8 = a b |a| |b|x 十 yy2COSo =-=?J 22/22yx +y1+y2ab的充要条件a b = 0 x1x2+ yy2= 0.【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设 A 0.1 ,B 0,0 ,C 2,0 ,D 2,1 ,P x,y , TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 2一 2易得圆的半径r =/,即圆C的方程是（x-2）= (x, y-1 ), AB = (0,-1 ),AD=(2,0 ),若，t足 Ap=AB + aD , HYPERLINK l bookmark164 o Current Document x = 2 1xx则士, R = _，九=1y ,所以九