利用matlab求解圆柱内稳定温度分布

1、数学物理方法论文（圆柱体齐次边界条件以及matlab的可视化）学院：信息院年级：2011级班级：通信一班姓名:*、应用背景:现在由于公寓楼采用集体供暖的措施，需要在地下铺设圆柱形 长管道，而对于管道的半径选取需要进行一定的计算，才能使得热水在 传送过程中不会因温度过低而达不到用户的要求。对于以上的问题，我们可以简化到应用数学中来解决。二、简化例题：若一供暖公司采用的运输管道为标准圆柱体，其半径为P。，长 为L,设管入口有均匀分布的强度为q。的热流流入，出口有相同的 热流流出，管道侧面保持温度为0C。求解管道内的稳恒温度。三、例题解答:数故解：因为上下底非齐次边界的非齐次项是常数故可较易化成齐

2、次边界。这样本征值问题就变成傅里叶级数本征问题而不是贝塞尔 函数本征问题，同时系数的求解也较为简单。q令 V 1 = -kQZ则v的定解问题为:A 2V = 0=0Vz z=L=0z=0p=p 0忍分离变数得到的本征值问题为:“Z+h 2 Z = 0=0z = L解得 h=l=0,1,2)小Z - A cos l z问题在柱内的有限解为:v（p，z）=84 An cos=0由初始条件，得n冗-cos zL8 AIn 0 n=0则有将上式右端展为傅里叶余弦级数，LI （n；% L ） 4 牛z - COS 罕改2q0L k In兀p0kL2 nnz L nz Ic o-+z-s i-n- IL

3、nn L 011）一】Lk F000,G = 2m但不等于0 ), (n = 2m +1)k兀 2n21 mp ；L)00;,A =j L - q0 zdz =-0 L 0 kq L 4q L -.V = - % + ：0 ZIkTm=0(2m +1)丸pk L 7(2m +1_丸pk 0 7(2m +1I02m +1丸zL+v四、以上问题的Matlab的可视化:建立圆柱体：t=linspace(-pi,pi,200);y=linspace(0,4,200);T,Y=meshgrid(t,y);X=sin(T);Z=cos(T);mesh(X,Y,Z);axis equal由于本题中需要四维的

4、数学建模（三维立体图形，再加一维的 温度坐标），对于专业知识要求较高，以现有的知识水平还无法对四 维进行分析求解，因此采用三维坐标（二维管道的横截面，再加一维 的平面温度分布），进行求解。在此的简略，还望老师谅解！ 对于二维平面的温度分析如下：（利用菜单命令进行仿真）第一步:在matlab中进入GUI界面，在Options菜单下选择Grid命令，打开栅格，然后绘制平面图形。第二步：选择Boundary菜单中的Boundary Mode命令，进入边界模式。单击 Boundary菜单中的Specify BoundaryConditions对话框，输入边界条件，本体为全部边界条件为齐次Dirichl

5、et条件。第三步：选择PDE Mode命令，进入PDE模式，打开PDESecification选项，设置方程类型。第四步：选择Mesh菜单中的Initialize Mesh命令，进行网格剖 分。选择Refine Mesh命令，使网格密集化。田。任 2PDE 瓯:=遇促Generic Scalar；X: 1.491Y: -0.917Set formula:同0.80.60.40.2-0.2-0 4-0.6-0.8-1L-1.5-1! 5 5-：. ：-0.50.51.5ExitInfo: R&finedl mesh consists of S769 nod&s and 17280 triangl&s.第五步：选择Solve菜单中Solve PDE,显示第六步：单击Plot菜单中Parameter选项，进行对话框内的勾选，可以显示等值线图和矢量场图。第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，进行对话框内的勾 选，可以显示三维图形解。ColorHeight五、本课题总结：通过本次的实验练习，我对于边界条件的认识有了进一步的掌 握，感受到了数学物理方法的实际应用性，对于生活中的一些实际问 题有了新的认识层面。同时，我对于应用数学的matlab解法有