控制工程基础教案第七章

1、控制工程基础教案第七章控制工程基础教案第七章控制工程基础教案第七章控制工程基础 教 案 年至 年 第 学期 第 周 星期 课题名称（含教材章节）： 第七章 线性离散系统分析 教学目的和要求：1、正确理解离散系统的基本概念,熟悉信号采样定理； 2、理解Z变换原理,熟练离散系统数学模型的解法； 3、掌握离散系统稳定性与稳态误差的判定与计算方法。 教学重点：信号采样定理，Z变换 教学难点：离散系统的稳定性与稳态误差的计算方法 教 学 内 容 （ 要 点 ）1. 基本概念；2. 信号的采样定理；3. Z变换；4. 离散系统的数学模型；5. 离散系统的稳定性与稳态误差。X X X X 学 院 教 案 纸

2、第七章 线性离散系统71基本概念采样控制系统数字控制系统离散控制系统的特点采 样 信 号自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型（1）连续控制系统（2）采样控制系统（3）数字控制系统采样系统的特点在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；通常采样周期远小于被控对象的时间常数；采样开关合上的时间远小于断开的时间； 采样周期通常是相同的。 72信号的采样定理离散时间函数的数学表达式 先看一下原理示意图：采样函数的频谱分析图7-1 采样过程图7-2 控制框图香农（Shannon）采样定理图7-2 采样信号频谱为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，

3、即信号的复现把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。实用的办法是加入保持器。常用的为零阶保持器。零阶保持器的传递函数为：零阶保持器的幅频与相频特性如下图所示：图7-3 零阶保持器的幅频与相频特性7.3 Z变换Z变换的性质线性定理若，a为常数，则 实数位移定理实数位移定理又称平移定理。实数位移的含意，是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为滞后。实数位移定理如下：如果函数是可拉普拉斯变换的，其变换为，则有 其中，为正整数。 （3）复数位移定理如果函数是可拉普拉斯变换的，其变换为，则有 （4）终值定理如果函数的变换为，函数序列为有限值（n=0，1，2，.

4、），且极限存在，则函数序列的终值 （5）卷积定理设和为两个采样函数，其离散卷积定义为 则卷积定理：若必有 卷积定理指出，两个采样函数卷积的变换，就等于该两个采样函数相应变换的乘积。在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与域的桥梁。7.4离散系统的数学模型一、离散系统的数学定义线性离散系统如果离散系统（7.42）满足叠加定理，则称为线性离散系统，即有如下关系式：若，且有，其中a和b为任意常数。则线性定常离散系统输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统，称为线性定常离散系统。例如：当输入序列为时，输出序列为；如果输入序列变为，相应的输出序列为，其中，则这样的系统称为线性定常离散系统。本章所研究的离

5、散系统为线性定常离散系统，可以用线性定常（常系数）差分方程描述。二、线性常系数的差分方程及其解法对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出，不但与k时刻的输入有关，而且与k时刻以前的输入，等有关，同时还与k时刻以前的输出，有关。这种关系一般可以用下列n阶后向差分方程来描述： 式中，和为常系数，。式（7.43）称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离散系统。常系数线性差分方程的求解方法有经典法、迭代法和Z变换法。与微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法也要求求出齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便，迭代法可以得到解序列的前几拍数值，Z变换法可以获得解函数的解析表达式。

6、这里仅介绍工程上常用的后两种解法。迭代法若已知差分方程（7.43），并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步地算出输出序列。例7-1 已知差分方程输入序列，初始条件为，试用迭代法求输出序列。解： 根据初始条件及递推关系，得Z变换法用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的实数位移定理，得到以Z为变量的代数方程，然后对代数方程的解取Z反变换，求得输出序列。例7-2 试用Z变换法解下列二阶差分方程设初始条件。解：对差分方程的每一项进行Z变换，根据实数位移定理：于是，差分方程变换为如下Z代数方程解出 查Z变换表，求出Z反变换 差分方程的解，可以提供线性

7、定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。因此，需要研究线性定常离散系统的另一种数学模型脉冲传递函数。7.5离散系统的稳定性与稳态误差正如在线性连续系统分析中的情况一样，稳定性和稳态误差也是线性定常离散系统分析的重要内容。一个可以正常工作的离散系统必须是稳定的，离散系统的稳定性是系统设计中首先要保证的条件。本节主要讨论如何在Z域和S域中分析离散系统的稳定性，并给出离散系统稳定的时域和Z域条件，以及各种判断闭环稳定性的方法，同时给出计算离散系统在采样瞬时稳态误差的方法。为了把连续系统在S平面上分析稳定性的结果移植到在Z平面上分析离散系统的稳

8、定性，首先需要研究S平面与Z平面的映射关系。一、 S域到Z域的映射在Z变换定义中，给出了S域到Z域的关系。S域中的任意点可表示为，映射到Z域则为 于是，S域到Z域的基本映射关系式为 在特定的情况下，可分为以下三种情形：（1）令，相当于S平面的虚轴，当从变到时，映射到Z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆；（2）令，相当于S平面的左半平面，当从变到时，映射到Z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆内部；（3）令，相当于S平面的右半平面，当从变到时，映射到Z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆外部；在采样周期特定的情况下，由式（7.57）可知，S平面上的等水平线，映射到Z平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其

9、相角从正实轴计量。二、 离散系统稳定的充分必要条件若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。众所周知，在线性定常连续系统中，系统稳定的充分必要条件是指：系统齐次微分方程的解是收敛的，或者系统特征方程式的根均具有负实部，或者系统传递函数的极点均位于左半S平面。连续系统这种在时域或S域描述系统稳定性的方法同样可以推广到离散系统。对于线性定常离散系统，时域中的数学模型是线性定常差分方程，Z域中的数学模型是脉冲传递函数，因此在线性定常离散系统稳定的充分必要条件，可以从以下两方面进行研究。1. 时域中离散系统的充分必要条件设线性定常差分方程为系统稳定的充分必要条件是：

10、当且仅当差分方程所有特征根的模，则相应的的线性定常离散系统是稳定的。2. Z域中离散系统稳定的充分必要条件设典型离散系统结构图如图7.10所示，其特征方程式为（7.55），即不失一般性，设特征方程的根或闭环系统脉冲传递函数的极点为各不相同的。由S域到Z域的映射关系知：S左半平面映射为Z平面上的单位圆内的区域，对应稳定区域；S右半平面映射为Z平面上的单位圆外的区域，对应不稳定区域；S平面上的虚轴，映射为Z平面上的单位圆周，对应临界稳定的情况。因此，在Z域中，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：当且仅当离散系统特征方程的全部特征根均分布在Z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即，相应的

11、线性定常离散系统是稳定的。应当指出：上述稳定条件虽然是从特征方程无重特征根情况下推导出来的，但是对于有重根的情况，也是正确的。此外，在现实系统中，不存在临界稳定情况，设若或，在经典控制理论中，系统也属于不稳定范畴。三、离散系统的稳定性判据连续系统的劳斯稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定性的。这种对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判据，实质是判断系统特征方程的根是否都在左半W平面。但是，在离散系统中需要判断系统特征方程的根是否都在z平面上的单位圆内。因此，连续系统的中的劳斯判据不能直接套用，必须引入另一种Z域到S域的线性变换，使Z平面上的单位圆内区域，映射成W平

12、面上的左半平面，这种新的坐标变换，称为S变换，或称为双线性变换。如果令 则有 上两式表明，复变量Z与S互为线性变换，故S变换又称双线性变换。令复变量，代入式（7.59），得显然由于上式的分母始终为正，因此等价为，表明S平面的虚轴对应于Z平面上的单位圆周；等价为，表明左半S平面对应于Z平面上单位圆内的区域；等价为，表明右半S平面对应于Z平面上单位圆外的区域。Z平面和S平面的这种对应关系，如图7-4所示。图7-4 Z平面与S平面的对应关系由S变换可知，可将线性定常离散系统在Z平面上的特征方程，转换为在S平面上的特征方程。于是，离散系统稳定的充分必要条件，由特征方程的所有根位于Z平面上的单位圆内，转

13、换为特征方程的所有根位于左半S平面。这后一种情况正好与连续系统应用劳斯稳定判据的情况一样，所以根据S域中的特征方程系数，可以直接应用劳斯表判断系统的稳定性。例7-3 设闭环离散系统如图7-5所示，其中采样周期，试求系统稳定时K的临界值。r(t)c(t)T图7-5 闭环离散系统解：求出的Z变换因闭环脉冲传递函数故闭环特征方程令，得化简后，得S域特征方程列出劳斯表从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使和，即。故系统的临界增益。四、离散系统的稳态误差在连续系统中，可以利用建立在拉普拉斯变换终值定理基础上的计算方法，求出系统的稳态误差。这种计算稳态误差的方法，在一定条件下可以推广到离散系统

14、。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，所以误差脉冲传递函数也给不出一般的计算公式。离散系统的稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。这里仅介绍利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的稳态误差。r(t)c(t)Te(t)e*(t)E(z)图7-6 单位反馈离散系统设单位反馈误差采样系统如上图所示，其中为连续部分的传递函数，为系统连续误差信号，为系统采样误差信号，其Z变换函数为其中 为系统误差脉冲传递函数。如果的极点全部位于Z平面上的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差 上式表明，线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数

15、有关，而且与输入序列的形式及幅值有关。除此以外，由于还与采样周期T有关，以及多数的典型输入也与T有关，因此离散系统的稳态误差数值与采样周期的选取有关。例7-4 设离散系统如图7-6所示，其中，输入连续信号分别为和，试求离散系统相应的稳态误差。解： 不难求出相应的Z变换为因此，系统的误差脉冲传递函数由于闭环极点，全部位于Z平面上的单位圆内，因此可以应用终值定理方法求稳态误差。当，于是由式求得当，于是由式求得如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者希望求出离散系统在扰动作用下的稳态误差，只要求出系统误差的Z变换函数，在离散系统稳定的前提下，同样可以应用Z变换的终值定理算出系统的稳态误差。上

16、式只是计算单位反馈误差采样离散系统的基本公式，当开环脉冲传递函数比较复杂时，计算仍有一定的计算量，因此希望把线性定常连续系统中系统型别及静态误差系数的概念推广到线性定常离散系统，以简化稳态误差的计算过程。五、 离散系统的型别与静态误差系数在讨论零阶保持器对开环系统脉冲传递函数的影响时，我们曾经指出，零阶保持器不影响开环系统脉冲传递函数的极点。因此，开环脉冲传递函数的极点，与相应的连续传递函数的极点是一一对应的。如果有个的极点，即个积分环节，则由Z变换算子关系式可知，与相应的必有个的极点。在连续系统中，我们把开环传递函数具有的极点数作为划分系统型别的标准，并分别把的系统称为型、型和型系统等。因此

17、，在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数具有的极点数作为划分离散系统型别的标准，类似地把中的系统，称为型、型和型离散系统等。下面讨论图7-6所示的不同型别的离散系统在三中典型输入信号作用下的稳态误差，并建立离散系统静态误差系数的概念。1. 单位阶跃输入时的稳态误差当系统输入为单位阶跃函数时，其Z变换函数为，因而，由上式知，稳态误差为 上式代表离散系统在采样瞬时的稳态位置误差。式中 称为静态位置误差系数。若没有的极点，则，从而，这样的系统称为型离散系统；若有一个或一个以上的极点，则，从而，这样的系统相应称为型或型以上的离散系统。因此，在单位阶跃函数作用下，型离散系统在采样瞬时存在位置误差；型或型

18、以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。2. 单位斜坡输入时的稳态误差当系统输入为单位斜坡函数时，其Z变换函数为，因而稳态误差为 上式也是离散系统在采样瞬时的稳态速度误差。式中 称为静态速度误差系数。因而型系统的，型系统的为有限值，型及型以上系统的，所以有如下结论：在单位斜坡函数作用下，型离散系统不能承受单位斜坡函数作用；型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差；型及型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。3. 单位加速度输入时的稳态误差当系统输入为单位加速度函数时，其Z变换函数，因而稳态误差为 当然，式（7.65）也是系统的稳态加速度误差。式中 称为静态加速度误差系数。由于型及型系统的，型系统的为常值，型及型以上系统的，因此有如下结论成立