2022高考总复习 数学(人教A理一轮)2.8　函数与方程

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.8函数与方程第二章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.(2)与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与有交点函数y=f(x)有.f(x)=0 x轴 零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 连续不断的 f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 函数y=ax2+bx+c(a0)0=00图象与x轴的交点无交点零点

2、个数(x1,0),(x2,0) (x1,0) 2103.二分法函数y=f(x)的图象在区间a,b上连续不断,且,通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)0 一分为二 零点 常用结论1.若y=f(x)在闭区间a,b上的图象连续不断,且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点.2.f(a)f(b)0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在a,b上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)f(b)0函数f(x)在区间a,b上只有一个零点.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正

3、确的画“”,错误的画“”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.()(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.()2.(2020云南玉溪一中二模)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案 B解析 易知f(x)=2x+3x在R上单调递增,且

4、f(-2)=2-2-60,f(-1)=2-1-30,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B.3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)答案 C解析 易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-40,f(1)=-20,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.4.若函数f(x)=2x-a2-a在(-,1上存在零点,则正实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1C.(0,2)D.(0,2答案 B解析 由f(x)=2x-a2-a=0,得2x=a2+a,由x(-,

5、1,得2x(0,2,可得0a2+a2,解得0a1,故选B.5.(2020天津和平区一模)已知x表示不超过实数x的最大整数,g(x)=x为取整函数,x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)=.答案 2解析函数f(x)=ln x+x-4在定义域(0,+)上单调递增,且其图象是连续不断的,f(e)=1+e-40,函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=x0=2.关键能力 学案突破考点1判断函数零点所在的区间【例1】 (1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为()A.-1B.0C.1

6、D.2(2)设定义域为(0,+)内的单调函数f(x),对任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1) C.(0,e-1)D.(1,e)x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345答案 (1)C(2)D解析 (1)令f(x)=ex-x-2,由表格知f(1)0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给

7、定区间上.(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)- 的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3

8、)答案 (1)B(2)B解析 (1)f(1)=ln 2-2ln e-1=0,即f(1)f(2)0,函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.(2)由图象知 1,得1b2,f(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f(x)=ex+2x-b,由g(0)=1-b0,所以g(0)g(1)0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.考点2判断函数零点的个数【例2】 (1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x-1,0时,f(x)=-x,则函数F

9、(x)=f(x)+ 在区间-9,10上零点的个数为()A.10B.12C.18D.20答案 (1)B(2)A 解题心得判断函数零点个数的方法(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图象连续不断

10、的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间-1,1上恰有5个零点,则f(x)在区间0,2 020上的零点个数为()A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x0,+),满足f(x+2)=f(x),若当x0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为.答案 (1)B(2)7解析 (1)由f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=f(2 020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图象关于y轴对称,由y

11、=|f(x)|在-1,1上恰有5个零点,则y=|f(x)|在-1,0)和(0,1上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2上也有两个零点,同理在(2,3,(2 019,2 020上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图象是由f(x)的图象关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间0,2 020上的零点个数为1+2 0202=4 041.(2)由题意作出y=f(x)在区间-2,4上的图象,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为7.考点3函数零点的应用(多考向探究

12、)考向1已知函数零点所在区间求参数 解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图象利用数形结合法求参数的范围.对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3)C.(-3,1)D.(1,+)(2)若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是.解析 (1)由f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1

13、)0,即(-3a+3)(a+3)0,且a1)与一次函数y=x的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是.解析 (1)令f(x)=t,则t2-2at+3a=0,作出函数f(x)和直线y=t的图象如图所示,由图象可知y=t与y=f(x)最多有3个不同交点,又当x0时,2x+1+22,要使关于x的方程f(x)2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2(2,4,设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数

14、范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数 若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是()A.0,2)B.0,1)C.(-,2D.(-,1(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,xR都有f(2-x)=f(2+x),且当x0,2时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a0,a1)在区间(-1,9内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是.解析 (1

15、)函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,等价于方程f(x)-x-a=0有3个实数根,即方程a=f(x)-x有3个实数根,设h(x)=f(x)-x,当x0时,h(x)=x3-3x,h(x)=3x2-3,由h(x)0得x1(舍去),此时h(x)单调递增.由h(x)0得-1x1,x0,-1x0时,h(x)=f(x)-x=-ln x-x单调递减,作出函数h(x)的图象如图所示,要使a=h(x)有3个根,则0a0,且a1).函数y=f(x)和y=loga(x+1)的图象在区间(-1,9内有3个不同的公共点.作函数f(x)与y=loga(x+1)在(-1,9上的图象如下,要点归纳小结1.函数零点的常用判定方法:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)